Positiv definite Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
sei M eine positive, symmetrische und invertierbare (nicht singuläre) Matrix. Folgt dann, dass M positiv definit ist? Was ich erkenne ist das kein Eigenwert Null sein kann. Aber sind auch alle Eigenwerte größer 0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> sei M eine positive, symmetrische und invertierbare (nicht
> singuläre) Matrix. Folgt dann, dass M positiv definit ist?
> Was ich erkenne ist das kein Eigenwert Null sein kann. Aber
> sind auch alle Eigenwerte größer 0?
Wenn M eine positive und symmetrische Matrix ist, so sind alle Eigenwerte [mm] \ge [/mm] 0. Ist M auch noch invertierbar, so sind alle Eigenwerte [mm] \ne [/mm] 0.
Fazit: alle Eigenwerte sind >0.
FRED
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Hallo FRED,
folgt aus der Symmetrie alleine schon, das alle Eigenwerte größer gleich 0 sind? Weil eine Zerlegung von M=QQ' existiert, sodass [mm] x'QQ'x=\|Q'x\|^2\leq [/mm] 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
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> folgt aus der Symmetrie alleine schon, das alle Eigenwerte
> größer gleich 0 sind?
Nein, natürlich nicht !
> Weil eine Zerlegung von M=QQ'
> existiert, sodass [mm]x'QQ'x=\|Q'x\|^2\leq[/mm] 0?
??? Es ist doch [mm] \|Q'x\|^2\ge [/mm] 0 !!!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 28.04.2013 | | Autor: | Reduktion |
Ich meinte auch [mm] $\|Q'x\|^2\geq [/mm] 0$. Meine Frage ist ob eine solche Zerlegung, falls sie denn existiert, als Argument ausreichend ist, denn ich sehe nicht inwiefern es eine Rolle spielt das die Elemente von M positiv sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich meinte auch [mm]\|Q'x\|^2\geq 0[/mm]. Meine Frage ist ob eine
> solche Zerlegung, falls sie denn existiert, als Argument
> ausreichend ist, denn ich sehe nicht inwiefern es eine
> Rolle spielt das die Elemente von M positiv sind?
M heist positiv [mm] \gdw [/mm] <Mx,x> [mm] \ge [/mm] 0 für alle x
<*,*> Skalarprodukt
M heißt positiv definit [mm] \gdw [/mm] <Mx,x> > 0 für alle x [mm] \ne [/mm] 0
Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von M, so wähle einen zugeh. Eigenvektor, der normiert ist:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] <\lambda [/mm] x,x>=<Mx,x>
Jetzt klar ?
FRED
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Nein noch nicht ganz.
1) Habe ich die Begrifflichkeiten durcheinander gebracht, da ich annahm mit positiv ist einfach gemeint das die Elemente der Matrix größe 0 sind. Unter positiv sollte man also positiv semidefinit verstehen?
2) Wenn aus der Symmetrie eine Zerlegung M=QQ' folgt, wodurch [mm] =x'Mx=\|Q'x\|^2\geq [/mm] 0 ist, dann ergibt sich automatisch das M positiv semidefinit ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 30.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Muss M positiv semidefinit, symmetrisch und invertierbar sein, damit die positive Definitheit folgt?
bspw. ist [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] invertierbar und symmetrisch, aber nicht positiv definit.
Dann stellt sichmir noch folgende Frage:
In welchem Detail, der folgenden Definition, kann man rauslesen das das die Kovarianzmatrix in jedem Fall positive semidefinit ist?
Ein k-dimensionaler Zufallsvektor $X$ heißt k-variat normalverteilt, falls ein [mm] $\mu\in\mathbb{R}^k$ [/mm] und ein [mm] $L\in\mathbb{R}^{k\times m}$ [/mm] existiert mit $rg(L)=m$, so dass [mm] X=LZ+\mu, [/mm] wobei [mm] $Z=(Z_1,\ldots,Z_m)^T$ [/mm] und [mm] $Z_i$ \gls{IID} [/mm] sind mit [mm] $Z_1\sim\mathcal{N}(0,1)$.
[/mm]
In Zeichen schreibt man [mm] $X\sim\mathcal{N}_k(\mu,\Sigma)$ [/mm] mit [mm] $\Sigma=LL^T$. [/mm] Ist $k=m$, so sagt man, dass $Y$ eine nicht singuläre Normalverteilung besitzt, andernfalls $(k>m)$ ist $X$ singuläre normalverteilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 03.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich möchte noch eine zusätzliche Frage stellen, falls A symmetrisch und invertierbar ist und B symmetrisch, ergibt sich dann das die Matirx [mm] A^{1/2}BA^{1/2} [/mm] invertierbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich möchte noch eine zusätzliche Frage stellen, falls A
> symmetrisch und invertierbar ist und B symmetrisch, ergibt
> sich dann das die Matirx [mm]A^{1/2}BA^{1/2}[/mm] invertierbar ist?
Nein. Nimm B=0
FRED
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