Potential, Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 14.08.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
a) und b) sind mir klar
$rot f= [mm] (0,\frac{\alpha}{x}-\frac{1}{x},0)$ [/mm] -> Potential für $rot f=0$ [mm] ->$\alpha=1$
[/mm]
$div f= [mm] -\frac{\alpha z}{x²}-\frac{z}{y²}$
[/mm]
Potential $U(x,y,z)=zln(xy)$
c)
Startpunkt der Kurve bei -1:(e,1,0)=a
Endpunkt der Kurve bei 1:(e,1,0)=b
Für [mm] \alpha=1 [/mm] kann ich das Kurvenintegral ja so ausrechnen: U(b)-U(a)=0
Für [mm] \alpha=0 [/mm] gibt es kein Potential-> normal berechnen mit Kurvenintegral:
[mm] C'(t)=\vektor{2te^{t²} \\ 0 \\ \pi*cos(\pi*t)}
[/mm]
[mm] f(C(t)=\vektor{0 \\ sin(\pi*t) \\ t²}
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{1}{(f(C(t))C'(t)) dt}=\integral_{-1}^{1}{\vektor{0 \\ sin(\pi*t) \\ t²}\vektor{2te^{t²} \\ 0 \\ \pi*cos(\pi*t)} dt}=\integral_{-1}^{1}{(\pi*t²cos(\pi*t)) dt}
[/mm]
Soweit richtig? Wie leite ich das auf?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Do 14.08.2008 | | Autor: | Kroni |
> Aufgabe:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> a) und b) sind mir klar
>
> [mm]rot f= (0,\frac{\alpha}{x}-\frac{1}{x},0)[/mm] -> Potential für
> [mm]rot f=0[/mm] ->[mm]\alpha=1[/mm]
>
> [mm]div f= -\frac{\alpha z}{x²}-\frac{z}{y²}[/mm]
>
> Potential [mm]U(x,y,z)=zln(xy)[/mm]
Hi,
Das ist korrekt.
>
> c)
> Startpunkt der Kurve bei -1:(e,1,0)=a
> Endpunkt der Kurve bei 1:(e,1,0)=b
>
> Für [mm]\alpha=1[/mm] kann ich das Kurvenintegral ja so ausrechnen:
> U(b)-U(a)=0
>
> Für [mm]\alpha=0[/mm] gibt es kein Potential-> normal berechnen mit
> Kurvenintegral:
>
>
> [mm]C'(t)=\vektor{2te^{t²} \\ 0 \\ \pi*cos(\pi*t)}[/mm]
Korrekt.
>
> [mm]f(C(t)=\vektor{0 \\ sin(\pi*t) \\ t²}[/mm]
>
Okay.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(f(C(t))C'(t)) dt}=\integral_{-1}^{1}{\vektor{0 \\ sin(\pi*t) \\ t²}\vektor{2te^{t²} \\ 0 \\ \pi*cos(\pi*t)} dt}=\integral_{-1}^{1}{(\pi*t²cos(\pi*t)) dt}[/mm]
>
> Soweit richtig? Wie leite ich das auf?
Gar nicht. Aufleiten gibt es nicht. Wenn schon, dann integrieren =)
Ich würde es hier mit partieller Integration versuchen, weil man dann stückweise aus dem [mm] t^2 [/mm] ein t und dann eine 1 machen kann. Danach wird das Integral lösbar. Weil die Stammfunktion zu [mm] $\cos(\pi [/mm] t)$ ist ja sehr schnell hinschreibbar.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 15.08.2008 | | Autor: | bigalow |
Aber muss ich das überhaupt integrieren? Der Flächeninhalt von [mm] cos(\pi*t) [/mm] über das Intervall [-1,1] ist doch null. Der Faktor [mm] \pi*t^2 [/mm] ändert doch daran nichts.
Nur ist die Frage wie ich das mathematisch korrekt in einer Klausur formuliere.
Vielleicht so: Im Intervall [-1,0] ist die Funktion punktsymetrisch zu x=-0,5 (->Flächeninhalt 0) und genauso im Im Intervall [0,1] ist die Funktion punktsymetrisch zu x=0,5 (->Flächeninhalt 0). Also ist der gesamte Flächeninhalt 0.
Geht das auch einfacher/schneller?
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> Aber muss ich das überhaupt integrieren? Der Flächeninhalt
> von [mm]cos(\pi*t)[/mm] über das Intervall [-1,1] ist doch null. Der
> Faktor [mm]\pi*t^2[/mm] ändert doch daran nichts.
Nein, so kannst Du nicht argumentieren: der Faktor [mm] $t^2$ [/mm] führt eine Verzerrung des Graphen von [mm] $\cos(\pi [/mm] t)$ ein, die sehr wohl zu einem nicht-verschwindenden Integral führen kann (und, wie mir ein CAS sagt, effektiv zu einen nicht-verschwindenden Integral führt):
[mm]\int\limits_{-1}^{+1}\pi t^2\cos(\pi t)\; dt=-\tfrac{\pi}{4}[/mm]
> Nur ist die Frage wie ich das mathematisch korrekt in einer
> Klausur formuliere.
Wenn das obige Argument wirklich richtig wäre, gäbe es gar keinen Grund, nach einem "mathematisch korrekten" Argument zu suchen.
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