Potenz n einer Matrix A < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Mo 17.12.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | | Diagonalisieren Sie die Matrix A = [mm] \pmat{ -4 & 1 \\ -6 & 1 } [/mm] und bestimmen Sie damit die Potenzen [mm] A^{n}= \underbrace{A \cdots A}_{n mal} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Problem kommt ganz am Ende:
1) Zu aller erst wird diagonalisiert über Eigenwerte und Eigenvektoren:
[mm] p_{A}(\lambda)=(-4-\lambda)(1-\lambda)+6 =(\lambda+1)(\lambda+2)
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=-1
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-2 [/mm] beide mit alg. Vfh. "1"
Eigenvektoren bestimmen über [mm] Av=\lambda [/mm] v [mm] \gdw (A-\lambda E_{n})v=0
[/mm]
Für [mm] v_{1} [/mm] erhalte ich dann [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Jetzt diagonalisieren über
D = [mm] SAS^{-1}
[/mm]
[mm] S^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 2}
[/mm]
Die Inverse dazu lautet [mm] S=\pmat{ -2 & 1 \\ 3 & -1 }
[/mm]
Also ist D = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -2 }
[/mm]
Frage: Was sind jetzt aber die Potenzen von A ?
Sind das die gleichen wie die Potenzen von D?
Also [mm] D^{n}=A^{n}?
[/mm]
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Hallo,
> Frage: Was sind jetzt aber die Potenzen von A ?
> Sind das die gleichen wie die Potenzen von D?
> Also [mm] D^{n}=A^{n}? [/mm]
Wohl kaum, denn für $n=1$ geht das schon in die Hose.
Aber nimm doch deine Beziehung [mm] $D=SAS^{-1}$ [/mm] und löse sie nach A auf. Dann kannst du mal schauen, was passiert, wenn du [mm] A^2 [/mm] berechnest. So kommst du garantiert auf allgemeine [mm] A^n.
[/mm]
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 17.12.2007 | | Autor: | JanJan |
Danke für deine Antwort ;)
Wenn ich nach A auflöse erhalte ich ja:
[mm] A=S^{-1}DS
[/mm]
und somit
[mm] A^{2}=(S^{-1}DS)^{2} [/mm] also auch [mm] A^{n}=(S^{-1}DS)^{n}
[/mm]
Aber das bringt mich ja kein Stück weiter - oder übersehe ich da etwas?
Gilt vllt sowas wie: [mm] A^{n}=(S^{-1}DS)^{n} [/mm] = [mm] S^{-1}D^{n}S [/mm] ?
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Hallo,
ja, du übersiehst das Offensichtliche:
$A = [mm] S^{-1}DS$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow A^2 [/mm] = [mm] (S^{-1}DS)^2 [/mm] = [mm] (S^{-1}DS)(S^{-1}DS) [/mm] = [mm] S^{-1}D(SS^{-1})DS [/mm] = [mm] S^{-1}DDS [/mm] = [mm] S^{-1}D^2S$
[/mm]
Klar, worauf das jetzt für beliebige $n$ hinausläuft?
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Mo 17.12.2007 | | Autor: | JanJan |
Wie der Betreff schon sagt, vielen Dank! :D
Hab das einfach nicht gesehen, wahrscheinlich wäre mein kleiner Bruder da eher drauf gekommen, obwohl der noch gar keine Matrizen kennt ;)
Also stimmt:
A= [mm] S^{-1}D^{n}S [/mm]
, wie ich etwas weiter oben vermutet hatte, nur überhaupt nicht herleiten konnte, warum das so ist :)
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