Potenzen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Sa 10.08.2013 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Sei $z$ eine komplexe Zahl mit $|z+1|>2$
Zeige [mm] $|z^3+1|>1$ [/mm] |
Brute force (z=a+ib) hat leider nichts gebracht....
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> Sei [mm]z[/mm] eine komplexe Zahl mit [mm]|z+1|>2[/mm]
> Zeige [mm]|z^3+1|>1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Brute force (z=a+ib) hat leider nichts gebracht....
Hallo wauwau,
ich würde es mal so versuchen:
Setze
$\mbox{\Large{ z:=\ \ -1+\ r\,*\,e^{i*\varphi}}$
wobei r>2 .
Oder eine etwas andere Idee, die eventuell helfen könnte:
Es gilt:
$\mbox{\Large{ z^3+1\ =\ (z+1)*(z^2-z+1)}$
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:34 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Sei [mm]z[/mm] eine komplexe Zahl mit [mm]|z+1|>2[/mm]
> Zeige [mm]|z^3+1|>1[/mm]
> Brute force (z=a+ib) hat leider nichts gebracht....
wäre aber auch gegangen:
Mit [mm] $z=a+ib\,$ [/mm] folgt aus $|z+1| > 2$ sofort
[mm] $\sqrt{(a+1)^2+b^2} [/mm] > 2,$
und letzteres ist gleichwertig mit
[mm] $(a+1)^2+b^2 [/mm] > [mm] 4\,,$ [/mm]
also mit
(*) [mm] $a^2+2a+1+b^2 [/mm] > [mm] 4\,,$
[/mm]
also gilt auch diese Ungleichung.
Nun ist [mm] $z^3=(a+ib)^2(a+ib)=(a^2-b^2+i2ab)(a+ib)=(a^3-ab^2-2ab^2+i(2a^2b+a^2b-b^3))$
[/mm]
[mm] $=(a^3-3ab^2)+i(3a^2b-b^3)\,.$
[/mm]
Also
[mm] $(\,|z^3+1|\,)^2=(a^3-3ab^2+1)^2+(3a^2b-b^3)^2=(a^3-3ab^2)^2+2(a^3-3ab^2)+1^2+(9a^4b^2-6a^2b^4+b^6) [/mm]
[mm] $=...=a^6-6a^4b^2+9a^2b^4+(9a^4b^2-6a^2b^4+b^6)+2(a^3-3ab^2)+1$
[/mm]
[mm] $=a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6+2a^3-6ab^2+1\,.$
[/mm]
Es ist nun also, mithilfe von (*), folglich
[mm] $a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6+2a^3-6ab^2 [/mm] > 0$
zu beweisen...
Naja, hier mache ich mal 'nen break, denn selbst, wenn man das noch
weiter rechnen und abschätzen kann (was aber gehen sollte), so sieht mir
das alles andere als elegant aus. ^^
Edit: Man kann natürlich nun auch mal die Funktion
[mm] $f(a,b):=a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6+2a^3-6ab^2$
[/mm]
untersuchen...
Gruß,
Marcel
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Hallo wauwau,
ich habe zur Aufgabe mal ein Bild produziert. Gezeigt
wird das Bild f(k) des Kreises k: |z+1|=2 in der
komplexen Ebene unter der Abbildung
$\ f:\ [mm] z\,\mapsto\, z^3$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
k ist der blau dargestellte Kreis
f(k) ist die schwarz gezeichnete Kurve
Die Bildkurve kringelt sich dreifach um den Ursprung,
und sie bleibt dabei außerhalb der (rot markierten)
Einheitskreisscheibe, welche sie einzig im Punkt z=1
berührt. Das Bild des Äußeren von k unter der Abbildung f
liegt ganz außerhalb dieser Kreisscheibe.
Korrektur:
Ich habe oben die Abbildung $\ f:\ [mm] z\,\mapsto\, z^3$ [/mm] betrachtet
anstelle von $\ g:\ [mm] z\,\mapsto\, z^3+1$ [/mm] .
Die richtige Zeichnung sollte also so aussehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es geht nun darum, dass auch diese neue (gegenüber der
ersten um 1 nach rechts verschobene) Kurve nicht in das
Innere der Einheitskreisscheibe eindringt.
Ich sähe jetzt noch folgenden (skizzierten) Lösungsweg:
Betrachte den Betrag von [mm] z^3+1 [/mm] mit [mm] z=-1+2*(cos(\varphi)+i*sin(\varphi)
[/mm]
als Funktion von [mm] \varphi [/mm] und untersuche diese Funktion
mittels Differentialrechnung auf ihr absolutes Minimum.
Aus Symmetriegründen würde es dabei genügen, sich
auf das Intervall [mm] 0\le \varphi \le \pi [/mm] zu beschränken.
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Sei [mm]z[/mm] eine komplexe Zahl mit [mm]|z+1|>2[/mm]
> Zeige [mm]|z^3+1|>1[/mm]
mit Als zweiter Idee:
Wegen [mm] $z^3+1=(z+1)*(z^2-z+1)$ [/mm] folgt
[mm] $|z^3+1|=|z+1|*|z^2-z+1| \;\;>\;\; 2*|z^2-z+1|\,.$
[/mm]
Wir brauchen nun also nur noch
[mm] $|z^2-z+1| \;\;\ge\;\; [/mm] 1/2$
zu beweisen:
Hmh... ich bin gerade blind. Aber vielleicht kann man das noch zu Ende
führen?!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 11.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Marcel
> Hi,
>
> > Sei [mm]z[/mm] eine komplexe Zahl mit [mm]|z+1|>2[/mm]
> > Zeige [mm]|z^3+1|>1[/mm]
>
> mit Als zweiter Idee:
>
> Wegen [mm]z^3+1=(z+1)*(z^2-z+1)[/mm] folgt
>
> [mm]|z^3+1|=|z+1|*|z^2-z+1| \;\;>\;\; 2*|z^2-z+1|\,.[/mm]
>
> Wir brauchen nun also nur noch
>
> [mm]|z^2-z+1| \;\;\ge\;\; 1/2[/mm]
Es gilt:
[mm] z^{2}-z+1=z^{2}-z+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}
[/mm]
>
> zu beweisen:
> Hmh... ich bin gerade blind. Aber vielleicht kann man das
> noch zu Ende
> führen?!
Man kann
>
> Gruß,
> Marcel
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Marius,
> Hallo Marcel
>
> > Hi,
> >
> > > Sei [mm]z[/mm] eine komplexe Zahl mit [mm]|z+1|>2[/mm]
> > > Zeige [mm]|z^3+1|>1[/mm]
> >
> > mit Als zweiter Idee:
> >
> > Wegen [mm]z^3+1=(z+1)*(z^2-z+1)[/mm] folgt
> >
> > [mm]|z^3+1|=|z+1|*|z^2-z+1| \;\;>\;\; 2*|z^2-z+1|\,.[/mm]
> >
> > Wir brauchen nun also nur noch
> >
> > [mm]|z^2-z+1| \;\;\ge\;\; 1/2[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]z^{2}-z+1=z^{2}-z+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}[/mm]
ja, aber der Schein trügt: Man muss beachten, dass [mm] $z-\tfrac{1}{2} \in \IC$ [/mm] gilt.
(Ich hatte nämlich auch schonmal gleiches gerechnet und so getan, als wenn
[mm] $z-\tfrac{1}{2} \in \IR$ [/mm] wäre  !)
Daher kannst Du nicht [mm] $|(z-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{3}{4}| \;\;\ge\;\;\tfrac{3}{4}$ [/mm] schließen.
Auch mit der Idee
[mm] $|z^2-z+1|=|{(z+1)}^2-3z|\;\;\ge\;\; |z+1|^2 [/mm] -3|z|$
kam ich nicht weiter - weil man nun [mm] $|z|\,$ [/mm] passend "nach oben" abschätzen müßte...
Jetzt kann man sich auch mal
[mm] $|z^2-z+1|=|(z-1)^2+z|$
[/mm]
anschauen, aber auch da sehe ich gerade nicht, wie man da weiter vorgehen
könnte.
Noch 'ne Idee:
[mm] $|z^2-z+1|=|z^2+2-(z+1)| \;\;\ge\;\; |z^2+2| [/mm] - |z+1| > [mm] |z^2+2| [/mm] -2$
Vielleicht kann man wenigstens das weiter ausbauen...?
Gruß,
Marcel
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> Hi,
>
> > Sei [mm]z[/mm] eine komplexe Zahl mit [mm]|z+1|>2[/mm]
> > Zeige [mm]|z^3+1|>1[/mm]
>
> mit Als zweiter Idee:
>
> Wegen [mm]z^3+1=(z+1)*(z^2-z+1)[/mm] folgt
>
> [mm]|z^3+1|=|z+1|*|z^2-z+1| \;\;>\;\; 2*|z^2-z+1|\,.[/mm]
>
> Wir brauchen nun also nur noch
>
> [mm]|z^2-z+1| \;\;\ge\;\; 1/2[/mm]
>
> zu beweisen:
> Hmh... ich bin gerade blind. Aber vielleicht kann man das
> noch zu Ende
> führen?!
>
> Gruß,
> Marcel
Schönen Abend Marcel,
so weit war ich auch schon, habe aber dann auch ge-
merkt, dass die Aufgabe nicht ganz ohne ist.
Wir haben jetzt zwar keine dritte Potenz mehr, aber
doch immerhin noch eine quadratische Funktion
einer komplexen Variablen z, welche nach wie vor
die Bedingung |z+1|>2 erfüllen soll.
So gaaanz elegant geht's halt vielleicht doch nicht.
Mit etwas Unterstützung eines CAS habe ich mittler-
weile gefunden, dass das Minimum von [mm] |z^3+1|
[/mm]
unter der Nebenbedingung |z+1|=2 tatsächlich
exakt den Wert 1 hat. Wollte man das Ganze von
Hand durchrechnen, käme man wohl nicht um
gewisse trigonometrische Rechnungen (etwa mit
Additionstheoremen etc.) herum ...
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> > Hi,
> >
> > > Sei [mm]z[/mm] eine komplexe Zahl mit [mm]|z+1|>2[/mm]
> > > Zeige [mm]|z^3+1|>1[/mm]
> >
> > mit Als zweiter Idee:
> >
> > Wegen [mm]z^3+1=(z+1)*(z^2-z+1)[/mm] folgt
> >
> > [mm]|z^3+1|=|z+1|*|z^2-z+1| \;\;>\;\; 2*|z^2-z+1|\,.[/mm]
> >
> > Wir brauchen nun also nur noch
> >
> > [mm]|z^2-z+1| \;\;\ge\;\; 1/2[/mm]
> >
> > zu beweisen:
> > Hmh... ich bin gerade blind. Aber vielleicht kann man
> das
> > noch zu Ende
> > führen?!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
>
> Schönen Abend Marcel,
>
> so weit war ich auch schon, habe aber dann auch ge-
> merkt, dass die Aufgabe nicht ganz ohne ist.
jein - ich denke, wenn man am Ende die passenden Abschätzungen
herausgefiltert hat, erscheint der Beweis simpel. Schwierig wird's, weil
wir noch "am Filtern" sind.
> Wir haben jetzt zwar keine dritte Potenz mehr, aber
> doch immerhin noch eine quadratische Funktion
> einer komplexen Variablen z, welche nach wie vor
> die Bedingung |z+1|>2 erfüllen soll.
> So gaaanz elegant geht's halt vielleicht doch nicht.
> Mit etwas Unterstützung eines CAS habe ich mittler-
> weile gefunden, dass das Minimum von [mm]|z^3+1|[/mm]
> unter der Nebenbedingung |z+1|=2 tatsächlich
> exakt den Wert 1 hat. Wollte man das Ganze von
> Hand durchrechnen, käme man wohl nicht um
> gewisse trigonometrische Rechnungen (etwa mit
> Additionstheoremen etc.) herum ...
Vielleicht kann man das hier:
[mm] $|z^2-z+1|=|z^2+2-(z+1)| \;\;\ge\;\; |z^2+2| [/mm] - |z+1| > [mm] |z^2+2| [/mm] -2$
ja noch zu Ende denken. Kannst Du irgendwie schnell prüfen, ob für
$|z+1| [mm] \;>\;2$ [/mm] gilt
[mm] $|z^2+2| \;\ge\; [/mm] 5/2$?
(Also ich meine, mit einem Plot... dann wüßten wir, ob das zielführend ist
und weitere Abschätzungen lohnenswert).
Gruß,
Marcel
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> Vielleicht kann man das hier:
>
> [mm]|z^2-z+1|=|z^2+2-(z+1)| \;\;\ge\;\; |z^2+2| - |z+1| > |z^2+2| -2[/mm]
>
> ja noch zu Ende denken. Kannst Du irgendwie schnell
> prüfen, ob für
> [mm]|z+1| \;>\;2[/mm] gilt
>
> [mm]|z^2+2| \;\ge\; 5/2[/mm]?
Dies gilt keineswegs. Nimm zum Beispiel mal den
Punkt $\ [mm] z\,:=\ [/mm] 1.8*i$ auf der imaginären Achse, welcher
die Bedingung |z+1|>2 erfüllt.
Für dieses z ist $\ [mm] |z^2+2|\ [/mm] =\ 1.24\ <\ [mm] \frac{5}{2}$ [/mm] .
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> > Vielleicht kann man das hier:
> >
> > [mm]|z^2-z+1|=|z^2+2-(z+1)| \;\;\ge\;\; |z^2+2| - |z+1| > |z^2+2| -2[/mm]
>
> >
> > ja noch zu Ende denken. Kannst Du irgendwie schnell
> > prüfen, ob für
> > [mm]|z+1| \;>\;2[/mm] gilt
> >
> > [mm]|z^2+2| \;\ge\; 5/2[/mm]?
>
>
> Dies gilt keineswegs. Nimm zum Beispiel mal den
> Punkt [mm]\ z\,:=\ 1.8*i[/mm] auf der imaginären Achse, welcher
> die Bedingung |z+1|>2 erfüllt.
> Für dieses z ist [mm]\ |z^2+2|\ =\ 1.24\ <\ \frac{5}{2}[/mm] .
jupp - ich war zu faul zum selberdenken. Danke.
Schade - denn das heißt schon, dass die Abschätzung, die ich gemacht
habe, schon zu grob ist...
Gruß,
Marcel
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> Sei [mm]z[/mm] eine komplexe Zahl mit [mm]|z+1|>2[/mm]
> Zeige [mm]|z^3+1|>1[/mm]
Guten Abend allerseits !
Ich habe mich mal (wenigstens vorläufig) damit abge-
funden, dass die Aufgabe anscheinend doch nicht so
leicht ist, wie sie zunächst erscheinen möchte.
Darum habe ich mal Mathematica eingeschaltet.
Skizze meines Weges:
$\ z=a+i*b$ mit $\ [mm] a\,=\,-1+r*cos(t)$ [/mm] und $\ [mm] b\,=\,r*sin(t)$
[/mm]
(Idee: nachher r>2 betrachten !)
$\ [mm] z^3+1\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{a^3-3*a*b^2+1}_u+i*(\underbrace{3*a^2*b-b^3}_v)$
[/mm]
$\ Q(t):=\ [mm] \left|z^3+1\right|^2\ [/mm] =\ [mm] u^2+v^2$
[/mm]
Dies ergibt einen etwas komplizierten Ausdruck, der sich im
speziellen Fall mit r=2 reduziert zu:
$\ [mm] 4*\left(48\,c^2-84\,c+37\right)$ [/mm] mit $\ c\ =\ cos(t)$
Dann werden die Lösungen von [mm] $\frac{d Q}{dt}\ [/mm] =\ 0$ betrachtet.
Deren Hauptwerte sind t=0 und [mm] t=\pm arccos\left(\frac{3+r^2}{4\,r}\right)$
[/mm]
Die an diesen Stellen auftretenden Werte von Q sind:
$\ Q(0)\ =\ [mm] 4r^2*(9-18r+15r^2-6r^3+r^4)$
[/mm]
$\ [mm] Q\,\left(\pm arccos\left(\frac{3+r^2}{4\,r}\right)\right)\ [/mm] =\ [mm] \left(\frac{r}{2}*(r^2-3)\right)^2$
[/mm]
Speziell für r=2 wird
$\ Q(0)\ =\ 4$ und $\ [mm] Q\,\left(\pm arccos\left(\frac{3+r^2}{4\,r}\right)\right)\ [/mm] =\ [mm] Q\,\left(\pm arccos\left(\frac{7}{8}\right)\right)\ [/mm] =\ 1$
Für r>2 erhält man größere als diese Werte.
Die 1 ist also tatsächlich die größtmögliche untere
Schranke für Q(t) und auch für den Betrag $\ [mm] \left|z^3+1\right|\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{Q(t)}$ [/mm] ,
falls z nur die Bedingung |z+1|>2 erfüllt.
LG , Al-Chw.
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Mir ist noch ein ziemlich anderer Zugang eingefallen.
Für die Überlegungen betrachten wir die folgenden
drei Kreisscheiben:
K: Mittelpunkt -1 , Radius 2
S: Mittelpunkt 0 , Radius 1
D: Mittelpunkt -1, Radius 1
Zu zeigen ist: [mm] z\in \overline{K}\ \Rightarrow\ z^3+1\in \overline{S}
[/mm]
Wir gehen den umgekehrten Weg und wollen zeigen:
$\ [mm] z^3+1\in [/mm] S\ [mm] \Rightarrow\ z\in [/mm] K$
[mm] |z^3+1|\le [/mm] 1 bedeutet, dass [mm] z^3+1 [/mm] in S liegt. Dies ist
gleichbedeutend damit, dass [mm] z^3 [/mm] in der um 1 nach links
verschobenen Scheibe D liegt.
Um alle möglichen Lagen von z zu erhalten, müssen
wir nun aus jedem Punkt von D die komplexen Kubik-
wurzeln bestimmen und dabei natürlich jeweils
alle 3 Möglichkeiten betrachten. Diese 3 Lösungs-
punkte [mm] z_1, z_2, z_3 [/mm] zu einem gegebenen Punkt in D
liegen dabei immer "Mercedes-Stern-förmig" um 0
herum verteilt. Es genügt also für die Untersuchung,
zuerst ein "Blatt" der Lösungsmenge zu untersuchen
und dieses dann kleeblattartig zu verdreifachen.
Zu zeigen wäre dann, dass das gesamte Kleeblatt
in die Kreisscheibe K passt.
Um ein erstes Blatt zu erhalten, nehmen wir etwa
diejenige 3. Wurzel mit dem kleinsten positiven
Argument.
Der Randkreis d der Scheibe D kann folgendermaßen
parametrisiert werden:
$\ r(t)\ =\ [mm] 2*cos(\pi-t)$ [/mm] für $\ [mm] t\in\left[\frac{\pi}{2}\,...\,\frac{3\pi}{2}\right]$ [/mm]
Diese Kreislinie bilden wir nun ab, indem wir für
jeden ihrer Punkte die "erste" Kubikwurzel bilden.
In der Polardarstellung geht dies bekanntlich ganz
einfach: Winkel durch 3 teilen, Radius radizieren.
Nennen wir die entstehende Bildkurve, also die
Randkurve des ersten der 3 "Blätter", [mm] b_1 [/mm] .
Polardarstellung mit Radius [mm] \rho [/mm] und Winkel [mm] \beta [/mm] :
$\ [mm] \beta\ [/mm] =\ [mm] \frac{t}{3}\in \left[\frac{\pi}{6}\,...\,\frac{\pi}{2}\right]$
[/mm]
$\ [mm] \rho(\beta)\ [/mm] =\ [mm] \wurzel[3]{r(t)}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel[3]{2\,cos(\pi-t)}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel[3]{2\,cos(\pi-3\,\beta)}$
[/mm]
Das Schöne an diesen Betrachtungen (im Vergleich zu
den früheren Ansätzen) ist, dass man es nur mit recht
einfachen Polardarstellungen zu tun hat.
Nun muss man natürlich noch schauen, ob die 3
"Kleeblättchen" wirklich in die Kreisscheibe K passen.
Dies habe ich noch nicht komplett durchgeführt,
aber dazu wieder eine Grafik produziert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG , Al-Chwarizmi
Nachtrag:
Die nachfolgenden Rechnungen stellten sich leider
wieder als eher umständlich heraus, weshalb ich
wieder zu Mathematica griff. Es stellte sich aber
heraus, dass die Kleeblattkurve den Kreis k
tatsächlich in zwei Punkten berührt und also
nicht darüber hinausragt.
Für jene, die nachrechnen wollen, hier nur ein
Ergebnis: Den Berührungspunkt der Kurve [mm] b_1
[/mm]
(erstes "Blatt") an den Kreis k erreicht man, wenn
[mm] $\beta\ [/mm] =\ [mm] 2*arctan\left(\sqrt{\frac{11-4\sqrt{6}}{5}}\right)\ \approx\ 52.4^{\circ}$ [/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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