Potenzen äquivalent umformen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Fr 22.08.2014 | | Autor: | elke69 |
| Aufgabe | Bitte lösen Sie nach n auf:
[mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1 |
so weit komme ich:
[mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1 [mm] /\cdot n^3-504
[/mm]
[mm] n=n^3-504
[/mm]
hier komme ich dann nicht weiter, weil Potenzen nur bei gleicher Basis und Exponent subtrahiert werden dürfen, oder?
[mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1
hier [mm] n^1 [/mm] mit [mm] n^3 [/mm] kürzen darf ich ja auch nicht, weil [mm] (n^3-504) [/mm] ja Vorrang hat;
ein echtes Dilemma für mich! Danke im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Mo 25.08.2014 | | Autor: | elke69 |
| Aufgabe | | Überprüfen, ob es noch mehr Lösungen gibt, mit Polynomdivision |
Vielen Dank bis hierhin.
Das Ergebnis habe ich n=8
Wie ich hier jetzt mit Polynomdivision weitermachen könnte, verstehe ich nicht und auch eigentlich nicht so genau warum das sein muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mo 25.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen, ob es noch mehr Lösungen gibt, mit
> Polynomdivision
> Vielen Dank bis hierhin.
> Das Ergebnis habe ich n=8
>
> Wie ich hier jetzt mit Polynomdivision weitermachen
> könnte, verstehe ich nicht und auch eigentlich nicht so
> genau warum das sein muss.
Du suchst doch alle Lösungen der Gleichung [mm] n^3-n-504=0. [/mm]
n=8 ist eine.
Dann stellt sich die Frage, ob es noch weitere gibt oder nicht.
Polynomdivision liefert Dir
[mm] n^3-n-504=(n-8)(an^2+bn+c)
[/mm]
Berechne also a,b und c und prüfe, ob die Gleichung
[mm] an^2+bn+c=0
[/mm]
reelle Lösungen hat.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Fr 22.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wie Loddar schin erwähnt hat, geht es hier nur durch Probieren, wenn du den Term aber geschickt umformst, geht das ganze recht fix.
$ [mm] \bruch{n}{n^3-504}=1 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow n=n^{3}-504 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow n^{3}-n=504 [/mm] $
Und jetzt teste mal, bei welcher Zahl die 3 Potenz sich von der Zahl selber un 504 unterscheidet. Dazu sollte die dritte Potenz knapp über 500 liegen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin Marius,
> Wie Loddar schin erwähnt hat, geht es hier nur durch
> Probieren,
Das stimmt ja nun so nicht, obwohl es auch hier bei uns immer wieder so gepostet wird. Im Falle Gleichungen 3. und 4. Ordnungen geht es mit den Mitteln der Schulmathematik nicht analytisch, erst ab der 5. Ordnung ist es dann so, dass es i.A. wirklich nicht mehr analytisch geht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Moin Marius,
>
> > Wie Loddar schin erwähnt hat, geht es hier nur durch
> > Probieren,
>
> Das stimmt ja nun so nicht, obwohl es auch hier bei uns
> immer wieder so gepostet wird. Im Falle Gleichungen 3. und
> 4. Ordnungen geht es mit den Mitteln der Schulmathematik
> nicht analytisch, erst ab der 5. Ordnung ist es dann so,
> dass es i.A. wirklich nicht mehr analytisch geht.
Du hast zum einen ![[]](/images/popup.gif) Recht (klick!), und zum
anderen habe ich ja nicht umsonst geschrieben:
Gleichung ist äquivalent zu
[mm] $(n-1)*n*(n+1)=7*8*9\,.$
[/mm]
Wobei ich das Produkt rechterhand nun wirklich noch in eine offensichtliche
Form gebracht habe (eigentlich sagte ich ja nur, dass man ruhig mal eine
Primfaktorzerlegung von [mm] $504\,$ [/mm] machen sollte).
Natürlich ist das jetzt alles ein wenig *schöngerechnet*, im Endeffekt ist
diese Methode aber kein Probieren (im Sinne von [mm] "$n\,$ [/mm] hochlaufen lassen,
bis man ein passendes gefunden hat"), sondern es ist eher eine *glückliche
Umformung*, die ein passendes [mm] $n\,$ [/mm] sofort sichtbar macht. Und meines
Erachtens ist der Ansatz: "Primfaktorzerlegung von [mm] $504\,$" [/mm] nicht etwas,
was mit *Probieren* zu tun hat.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Fr 22.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bitte lösen Sie nach n auf:
> [mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1
> so weit komme ich:
>
> [mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1 [mm]/\cdot n^3-504[/mm]
> [mm]n=n^3-504[/mm]
> hier komme ich dann nicht weiter, weil Potenzen nur bei
> gleicher Basis und Exponent subtrahiert werden dürfen,
> oder?
>
> [mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1
> hier [mm]n^1[/mm] mit [mm]n^3[/mm] kürzen darf ich ja auch nicht, weil
> [mm](n^3-504)[/mm] ja Vorrang hat;
> ein echtes Dilemma für mich! Danke im voraus.
so witzig das Ganze jetzt auch wirkt, ich würde Marius Ergebnis noch
weiter verarbeiten:
Es ist
[mm] $n^3-n=504$
[/mm]
[mm] $\iff$ $n*(n^2-1)=504$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $n*(n+1)*(n-1)=504$
[mm] $\iff$ $(n-1)*n*(n+1)=504\,.$
[/mm]
Links steht das Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen! Daher kann
man zum Beispiel testen:
Es ist
[mm] $3*4*5=60\,,$
[/mm]
also
[mm] $n-1=3\,$ [/mm] bzw. [mm] $n=4\,$ [/mm]
wäre zu klein. Das Ganze führt dann aber zu keiner großartigen *neuen*
Methode.
Geschickter ist vielleicht folgendes: Die Primfaktorzerlegung von [mm] $504\,$ [/mm] ist
[mm] $504=2^3*3^2*7\,.$
[/mm]
Uh... ich sehe was, was Du hoffentlich auch siehst. 
P.S. Natürlich solltest Du danach auch noch
[mm] $(n^3-n-504):(n-8)\,$
[/mm]
berechnen, um Dich davon zu überzeugen, dass das auch die einzige
Lösung ist - oder Du argumentierst auf anderem Wege (es wäre auch
die einzige Lösung $n [mm] \in \IR$). [/mm] Z.B., wenn $n [mm] \in \IN$ [/mm] sein soll, dann kann man
schnell beweisen:
Ist $m' > n' [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so folgt
$(m'-1)*m'*(m'+1) > [mm] (n'-1)*n'*(n'+1)\,.$
[/mm]
Z.B. mit Induktion über $k [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $m'=n'+k\,.$ [/mm] (Der Induktionsschritt ist
quasi eine Trivialität - außerdem kann man mit ihm auch einen Algorithmus
zur schnellen Lösungsfindung bestimmen - auch, wenn das für diese
Aufgabe hier vielleicht ein wenig zu viel des Guten ist:
Für $m [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $p(m)=(m-1)*m*(m+1)\,.$ [/mm] Aus
$p(m+1)=m*(m+1)*(m+2)$
folgt
[mm] $p(m+1)=p(m)*\frac{m+2}{m-1}\,,$
[/mm]
wobei das nur für $m > [mm] 1\,$ [/mm] benutzt werden darf. (Warum wohl?)
So ist
[mm] $p(2)=6\,,$
[/mm]
folglich
[mm] $p(3)=p(2)*\frac{4}{1}=24\,,$
[/mm]
folglich
[mm] $p(4)=p(3)*\frac{5}{2}=60\,,$
[/mm]
etc. pp.)
Gruß,
Marcel
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das kann man dann noch umformen zu: [mm] $n^3-n-504 [/mm] \ = \ 0$ .
Polynomdivision