Potenzfunktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Fr 21.05.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hi
Wenn [mm]p_n \in Abb(\IR,\IR) [/mm] die Potenzfunktion [mm]p_n(x)=x^{n}, n \in \IN [/mm]bezeichnet;
Wie sieht dann die Familie [mm]\{p_n | n \in \IN\} [/mm]aus.
Ich soll nämlich die lineare Unabhängigkeit dieser Familie beweisen.
Als Tipp ist noch gegeben, dass ich mir z.B. sehr grosse Argumente für x betrachten soll.
Bis denn
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
für [mm] $p_n(x)=x^n$ [/mm] ist die Familie dann doch die folgende:
[mm]\{p_n(x)=x^n: n \in \IN\}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x), p_4(x), p_5(x), p_6(x), ...\}=\{x^1, x^2, x^3, x^4, x^5, x^6, ...\}[/mm], zumindest wenn (wie gewöhnlich) gilt: [mm] $\IN=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, ... \}$.
[/mm]
Jedes Element dieser Familie ist natürlich eine (Potenz-)Funktion.
Viele Grüsse
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Sa 22.05.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
@Marcel : Danke für deine Antwort 
Also hier ist die Aufgabe, und dann schreibe ich mal meine Lösung an.
Es bezeichne [mm]p_{n} \in Abb (\IR,\IR)[/mm] die Potenzfunktion [mm]p_{n}(x)=x^{n}, n \in \IN[/mm].
Zeigen Sie, dass die Familie [mm]\{ p_{n} | n \in \IN \} [/mm] linear unabhängig ist.
(Tipp: betrachten Sie zum Beispiel sehr grosse Argeumente [mm]x[/mm].)
[mm]\{p_{n}(x) | x^{n}, n \in \IN \} = \{ p_{1}(x), p_{2}(x), ... , p_{n}(x)\} = \{ x^{1}, x^{2}, ... x^{n}\}[/mm]
Ich soll ja dann beweisen, dass
[mm]k_{1} \cdot x^{1} + k_{2} \cdot x^{2} + ... + k_{n} \cdot x^{n} = 0 [/mm]
Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: [mm]n=1[/mm]
[mm]\gdw k_{n} \cdot x^{n}=0[/mm]
[mm]\gdw k_{1} \cdot x^{1}=0[/mm]
[mm]\gdw k_{1} \cdot x=0[/mm]
Ich dividiere durch [mm]x \ne 0[/mm]
[mm]\gdw k_{1} =0[/mm]
Induktionsannahme:
Für alle [mm]n \in \IN [/mm]gilt:
[mm]\gdw k_{n} \cdot x^{n}=0[/mm] mit [mm]x \ne 0[/mm] und [mm]k_{1}=0[/mm]
Induktionsschluss:
[mm]\gdw k_{n+1} \cdot x^{n+1}=0[/mm]
[mm]\gdw k_{n} \cdot k_{1} \cdot x^{n} \cdot x^{1}=0[/mm]
[mm]\gdw k_{n} \cdot x^{n} \cdot k_{1} \cdot x^{1}=0[/mm]
Laut Induktionsannahme: [mm]k_{n} \cdot x^{n}=0[/mm] mit [mm]x \ne 0[/mm] und [mm]k_{1}=0[/mm]
[mm]\gdw k_{1} \cdot x^{1}=0[/mm]
[mm]\gdw k_{1} \cdot x=0[/mm]
Ich dividiere durch [mm]x \ne 0 [/mm]:
[mm]\gdw k_{1}=0[/mm]
Es gilt für alle [mm]n \in \IN k_{1}=k_{2}=k_{3}= ... = k_{n} =0 [/mm]
Daraus folgt:
[mm]x^{1}, x^{2}, x^{3}, ... , x^{n} [/mm]sind linear unabhängige Vektoren.
Schöne Grüsse
nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo ,
nein, der Beweis macht so keinen Sinn.
> Ich soll ja dann beweisen, dass
> [mm]k_{1} \cdot x^{1} + k_{2} \cdot x^{2} + ... + k_{n} \cdot x^{n} = 0[/mm]
Nein, das ist nicht zu zeigen. Zu zeigen ist:
[mm]k_1 \cdot x^1 + k_2 \cdot x^2 + \ldots k_n \cdot x^n = 0 \quad \Rightarrow \quad k_1= k_2 = \ldots = k_n=0[/mm].
Das kann man jetzt mit vollständiger Induktion mit $n$ beweisen.
> Induktionsanfang: [mm]n=1[/mm]
>
> [mm]\gdw k_{n} \cdot x^{n}=0[/mm]
> [mm]\gdw k_{1} \cdot x^{1}=0[/mm]
> [mm]\gdw k_{1} \cdot x=0[/mm]
>
> Ich dividiere durch [mm]x \ne 0[/mm]
> [mm]\gdw k_{1} =0[/mm]
Das ist (bist auf die Schreibweise) okay. Die vielen [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] solltest du überdenken. Sie sollten lieber nur innerhalb einer mathematischen Aussage verwendet werden, nicht als metasprachliche Symbole.
> Induktionsannahme:
> Für alle [mm]n \in \IN [/mm]gilt:
> [mm]\gdw k_{n} \cdot x^{n}=0[/mm] mit [mm]x \ne 0[/mm] und [mm]k_{1}=0[/mm]
Nein, das ist nicht die Induktionsannahme. Stattdessen:
[mm]k_1 \cdot x^1 + k_2 \cdot x^2 + \ldots k_n \cdot x^n = 0 \quad \Rightarrow \quad k_1= k_2 = \ldots = k_n=0[/mm].
> Induktionsschluss:
>
> [mm]\gdw k_{n+1} \cdot x^{n+1}=0[/mm]
> [mm]\gdw k_{n} \cdot k_{1} \cdot x^{n} \cdot x^{1}=0[/mm]
Warum sollte denn [mm] $k_{n+1} [/mm] = [mm] k_n \cdot k_1$ [/mm] sein?
> [mm]\gdw k_{n} \cdot x^{n} \cdot k_{1} \cdot x^{1}=0[/mm]
> Laut
> Induktionsannahme: [mm]k_{n} \cdot x^{n}=0[/mm] mit [mm]x \ne 0[/mm] und
> [mm]k_{1}=0[/mm]
> [mm]\gdw k_{1} \cdot x^{1}=0[/mm]
> [mm]\gdw k_{1} \cdot x=0[/mm]
>
> Ich dividiere durch [mm]x \ne 0 [/mm]:
> [mm]\gdw k_{1}=0[/mm]
Also, das machte keinen Sinn.
Ich mache den Induktionsschluss jetzt mal vor:
Es gelte:
(*) [mm] $k_1 x^1+ k_2 x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] k_n x^n [/mm] + [mm] k_{n+1}x^{n+1} [/mm] = 0$.
Zu zeigen ist:
[mm] $k_1= k_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] k_n [/mm] = [mm] k_{n+1}=0$.
[/mm]
Für genügend große $x$ gilt im Fall [mm] $k_{n+1}>0$:
[/mm]
[mm] $|k_{n+1}x^{n+1}| [/mm] > [mm] |k_n x^n [/mm] + [mm] \ldots k_2x^2 [/mm] + [mm] k_1x^1\vert [/mm] $,
was einen Widerspruch zu (*) darstellt. Daher muss [mm] $k_{n+1}=0$ [/mm] sein.
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt nun die Behauptung.
Hast du das verstanden?
Ich würde es an deiner Stelle etwas ausführlicher aufschreiben. Leider (für dich  ) gehe ich gleich in die Oper und habe keine Zeit mehr ausführlicher zu antworten. Stelle deinen (verbesserten und ausführlichen) Beweis doch zur Probe noch einmal hier rein oder stelle gezielte Fragen, wenn dir etwas unklar bleibt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Sa 22.05.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo
also ich habe jetzt nach Ergänzungen und Korrekturen folgende Lösung:
I.anfang: n=1
$ [mm] \summe_{n=1}^{n} k_{n} \cdot x^{n} [/mm] = 0 $
$ [mm] \gdw \summe_{n=1}^{1} k_{n} \cdot x^{n} [/mm] = 0 $
$ [mm] \gdw k_{1} \cdot x^{1} [/mm] = 0 $
$ [mm] \gdw k_{1} \cdot [/mm] x = 0 $
Ich dividiere durch $x [mm] \neq [/mm] 0$
$ [mm] \gdw k_{1} [/mm] = 0 $
I.annahme:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
Aus $ [mm] \summe_{n=1}^{n} k_{n} \cdot x^{n} [/mm] = 0 $ folgt [mm] $k_{n}=0$
[/mm]
I.schluss: n -> n+1
$ [mm] \summe_{n=1}^{n+1} k_{n+1} \cdot x^{n+1} [/mm] = 0 $
$ [mm] \gdw k_{1} \cdot x^{1} [/mm] + [mm] k_{2} \cdot x^{2}+ [/mm] ... + [mm] k_{n} x^{n}+ k_{n+1} \cdot x^{n+1}=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw \summe_{n=1}^{n} k_{n} \cdot x^{n} [/mm] + [mm] k_{n+1} \cdot x^{n+1} [/mm] = 0 $
Laut Induktionsannahme gilt: $ [mm] \summe_{n=1}^{n} k_{n} \cdot x^{n} [/mm] = 0 $ Also:
$ [mm] \gdw k_{n+1} \cdot x^{n+1} [/mm] = 0 $
Ich dividiere durch [mm] $x^{n+1} \neq [/mm] 0$
$ [mm] \gdw k_{n+1}= [/mm] 0 $
Für genügend grosse $x$ gilt im Fall [mm] $k_{n+1}>0$:
[/mm]
[mm] $|k_{n+1} \cdot x^{n+1}| [/mm] > [mm] |k_{n} \cdot x^{n} [/mm] + ... + [mm] k_{2} \cdot x^{2} [/mm] + [mm] k_{1} \cdot x^{1}|$,
[/mm]
was ein Widerspruch zu obiger Gleichung :
$ [mm] k_{1} \cdot x^{1} [/mm] + [mm] k_{2} \cdot x^{2}+ [/mm] ... + [mm] k_{n} x^{n}+ k_{n+1} \cdot x^{n+1}=0 [/mm] $
ist. Aus diesem Grund muss [mm] $k_{n+1} \cdot x^{n+1}=0$ [/mm] sein.
Also dann gilt:
$ [mm] \gdw k_{n+1}= [/mm] 0 $
$ [mm] \gdw [/mm] 0 = 0 $
Damit ist es dann bewiesen.
Grüsse
nevinpol
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