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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Sa 20.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für [mm] \alpha [/mm] > 0 die Funktion
f: [mm] [0,\infty) \to [0,\infty), f(x)=x^{\alpha}=\begin{cases} e^{\alpha log x}, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
streng monoton wachsend und stetig ist, und dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\infty [/mm] . Bestimmen Sie die Umkehrfunktion. |
Hallo,
also hier muss ich ja Stetigkeit bei [mm] x_{0}=0 [/mm] und [mm] x_{0}\not=0 [/mm] zeigen.
Bei [mm] x_{0}=0 [/mm] hab ich das mal so gemacht:
Für [mm] \varepsilon=\delta^{\alpha} [/mm] ist [mm] |f(x)-f(x_{0})|=x^{\alpha}=|x-x_{0}|^{\alpha} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ist das richtig?
Und wie kann ich jetzt Stetigkeit bei [mm] x_{0}\not=0 [/mm] zeigen??
Und wie mach ich das genau mit der Monotonie? Gilt folgender Es ist doch eigentlich klar, dass falls gilt [mm] x
Das mit dem Limes blick ich auch noch nicht so ganz. 
Hat jemand Tipps für die Aufgabe??
Danke schon mal
Gruß Michi
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> Zeigen Sie, dass für [mm]\alpha[/mm] > 0 die Funktion
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> f: [mm][0,\infty) \to [0,\infty), f(x)=x^{\alpha}=\begin{cases} e^{\alpha log x}, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> streng monoton wachsend und stetig ist, und dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}=\infty[/mm] . Bestimmen Sie die
> Umkehrfunktion.
> Hallo,
>
> also hier muss ich ja Stetigkeit bei [mm]x_{0}=0[/mm] und
> [mm]x_{0}\not=0[/mm] zeigen.
> Bei [mm]x_{0}=0[/mm] hab ich das mal so gemacht:
>
> Für [mm]\varepsilon=\delta^{\alpha}[/mm] ist
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|=x^{\alpha}=|x-x_{0}|^{\alpha}[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Ist das richtig?
Hallo,
bis auf Details ist das richtig. Du gibst ja zunächst ein [mm] \varepsilon [/mm] vor. Von diesem ausgehend definierst du Dir ein [mm] \delta.
[/mm]
Also:
sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] \delta:=\varepsilon^{\bruch{1}{a}}.
[/mm]
Für alle x [mm] \in \IR^+ [/mm] mit [mm] |x|<\delta [/mm] gilt: ...
> Und wie kann ich jetzt Stetigkeit bei [mm]x_{0}\not=0[/mm]
> zeigen??
Du kannst dich darauf berufen, daß Du es mit einer Verkettung stetiger Funktionen zu tun hast.
>
> Und wie mach ich das genau mit der Monotonie? Gilt
> folgender Es ist doch eigentlich klar, dass falls gilt
> [mm]x
> muss ich das noch beweisen??
Wenn es noch nicht bewiesen ist, mußt Du es beweisen.
Sooooooo klar ist es auch nicht, immerhin ist a [mm] \in \IR [/mm] und nicht etwa eine rationale Zahl.
Aber die Monotonie von e und ln ist sicher gezeigt, von daher ist es nicht schwierig.
>
> Das mit dem Limes blick ich auch noch nicht so ganz.
Meinst du denn, daß [mm] x^a [/mm] beschränkt ist?
Nein. Meinst Du nicht.
Ich würde das durch einen kleinen Widerspruch zeigen.
Nimm an, die Funktion sei beschränkt durch k, d.h. für alle x sei [mm] x^a
Und nun lieferst Du ein x, für welches das nicht gilt.
Gruß v. Angela
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