Potenzial und Gradientenfeld < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ein Vektorfeld (vektor)F ist ein Gradientenfeld, wenn rot (vektor)F = 0 ist.
Wenn (vektor)F ein Gradientenfeld ist, so besitzt (vektor)F immer ein Potenzial.
Wenn (vekor)F eine Gradientenfeld ist, so ist phi das Potenzial von (vektor)F ... (vektor(F) = grad phi)
Potenzialberechnung:
- Die Kurve muss regulär sein, ansonsten gibts kein Potenzial
Man berechne die Integrale aller Vektorkomponenten. anschließend bestimme man alle konstanen so, dass die integrierten funktionen alle gleich sind. diese funktion gibt dann das potenzial an.
[mm] \integral [/mm] (vektor)F dx = [mm] phi(\gamma(t_1)) [/mm] - [mm] phi(\gamma(t_0)) [/mm] (Wann kann ich diese Formel anwenden? und wie komm ich an die Funktion phi? weil wenn ich das richtig verstehe, ersparrt mir diese Formel das Integrieren)
Hab ich das alles so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Fr 28.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ein Vektorfeld (vektor)F ist ein Gradientenfeld, wenn rot
> (vektor)F = 0 ist.
Eher umgekehrt: wenn F ein Gradientefeld ist, so ist die Rotation von F 0. Ob die andere Richtung gilt, hängt davon ab, auf welchem Gebiet das Feld definiert ist. Für ein im ganzen Raum definiertes Feld F ist das richtig.
> Wenn (vektor)F ein Gradientenfeld ist, so besitzt (vektor)F
> immer ein Potenzial.
>
> Wenn (vekor)F eine Gradientenfeld ist, so ist phi das
> Potenzial von (vektor)F ... (vektor(F) = grad phi)
Laut Definition des Begriffes Gradientenfeld.
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> Potenzialberechnung:
> - Die Kurve muss regulär sein, ansonsten gibts kein
> Potenzial
Ich bin mir nicht sicher, was du damit meinst. Es mag sein, dass du das Potential nicht berehcnen kannst. Was ist eine nichtreguläre Kurve?
> Man berechne die Integrale aller Vektorkomponenten.
> anschließend bestimme man alle konstanen so, dass die
> integrierten funktionen alle gleich sind. diese funktion
> gibt dann das potenzial an.
>
> [mm]\integral[/mm] (vektor)F dx = [mm]phi(\gamma(t_1))[/mm] -
> [mm]phi(\gamma(t_0))[/mm] (Wann kann ich diese Formel anwenden? und
> wie komm ich an die Funktion phi? weil wenn ich das richtig
> verstehe, ersparrt mir diese Formel das Integrieren)
Nimm an, dass [mm] $\vec{F} [/mm] = [mm] \vektor{F_x\\F_y\\F_z}$. [/mm] Wenn es sich um ein Gradientenfeld handelt, ist
[mm] F_x(x,y,z) = - \bruch{\partial \phi(x,y,z)}{\partial x} [/mm], [mm] F_y(x,y,z) = - \bruch{\partial \phi(x,y,z)}{\partial y} [/mm], [mm] F_z(x,y,z) = - \bruch{\partial \phi(x,y,z)}{\partial z} [/mm].
Aus der ersten Gleichung folgt, dass
[mm] \integral_{x_1}^{x_2} F_x(x,y,z) dx = \phi(x_1,y,z) - \phi(x_2,y,z) + C(y,z) [/mm]
sein muss, wobei die Funktion C(x,y) nicht weiter bestimmt werden kann. Wenn du das Integral auf der linken Seite ausrechnen kannst (nennen wir das Ergebnis [mm] $F_1(x,y)$, [/mm] dann kannst du dies nach y ableiten und die 2. Gleichung einsetzen:
[mm] \bruch{\partial F_1(y,z)}{\partial y} + F_y(x_1,y,z) - F_y(x_2,y,z) = \bruch{\partial C(y,z)}{\partial y} [/mm]
Hier sind alle Ausdrücke auf der linken Seite bekannt bzw. berechnet. Daher kannst du die linke Seite bzgl y von [mm] $y_1$ [/mm] bis [mm] $y_2$ [/mm] integrieren. [mm] $F_y$ [/mm] bzgl y integriert gibt wieder [mm] $\phi$ [/mm] und rechts steht [mm] C(y_2,z) -C(y_1,z) [/mm].
Dann leitest du nach z ab, setzt für [mm] $\bruch{\partial \phi(x,y,z)}{\partial z}$ [/mm] deinen Ausdruck für [mm] $-F_z$ [/mm] ein.
Viele Grüße
Rainer
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erstmal danke für die antwort.
> >
> > Potenzialberechnung:
> > - Die Kurve muss regulär sein, ansonsten gibts kein
> > Potenzial
>
> Ich bin mir nicht sicher, was du damit meinst. Es mag sein,
> dass du das Potential nicht berehcnen kannst. Was ist eine
> nichtreguläre Kurve?
>
"
Regularität: Eine Kurve ist genau dann regulär, wenn die Ableitung ihrer Parameterfunktion
auf ganz I verschieden von ~0 ist:"
http://didaktik.mathematik.hu-berlin.de/Netzwerk/2007/pdf/bericht_Filler.pdf
ich hab nochmal ein paar kleine definitionsfragen.
Muss man zwischen dem Begriff Gradientenfeld und Potenzialfeld untescheiden?
ich hab mir überlegt, dass ja, und ich hab die unterschiede folgendermaßen verstanden:
Wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, so handelt es sich um en Gradientenfeld.
Ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt UND gibt es ein Potenzial also ein phi so dass grad phi = vektor(F) ist , so handelt es sich um ein Potenzialfeld.
Das Arbeitsintegral liefert beim Gradientenfeld ein Ergebnis. Wenn das Ergebnis positiv ist so wird energie beim bewegunsvorgang des punktes entlang der bahn von einem punkt zum anderen punkte gewonnen.
Ist das Ergebnis negativ so wird Energie verbraucht.
das ergebnis des arbeitsintegrals ist also abhängig vom weg, der von punkt A nach punkt B durchlaufen wird. beim kreisweg also wenn man in punkt A startet und einen kreis zurück nach punkt B läuft kommt ein ergebnis ungleich null heraus.
arbeitsintegral liefert beim potenzialfeld immer dasselbe ergbenis unabhängig davon welchen weg man vom punkt A nach punkt B durchläuft. beim kreisweg kommt das ergebnis null heraus.
kann ein potenzial jemals negativ sein?
ist es notwendig, dass der definitionsbereich des vektorfeldes quaderförmig ist, damit überhaupt ein potenzial vorhanden sein kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 11.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> erstmal danke für die antwort.
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> > >
> > > Potenzialberechnung:
> > > - Die Kurve muss regulär sein, ansonsten gibts kein
> > > Potenzial
> >
> > Ich bin mir nicht sicher, was du damit meinst. Es mag sein,
> > dass du das Potential nicht berehcnen kannst. Was ist eine
> > nichtreguläre Kurve?
> >
>
> "
> Regularität: Eine Kurve ist genau dann regulär, wenn die
> Ableitung ihrer Parameterfunktion
> auf ganz I verschieden von ~0 ist:"
> http://didaktik.mathematik.hu-berlin.de/Netzwerk/2007/pdf/bericht_Filler.pdf
Ah, also doch die übliche Definition. Deine Aussage "Die Kurve muss regulär sein, ansonsten gibts kein Potenzial", ist so nicht richtig. Wenn die Kurve nicht regulär ist, kannst du auf diese Weise das Potenzial nicht immer berechnen, aber das Potenzial existiert oder existiert nicht unabhängig von den Eigenschaften der Kurve.
> ich hab nochmal ein paar kleine definitionsfragen.
>
> Muss man zwischen dem Begriff Gradientenfeld und
> Potenzialfeld untescheiden?
>
> ich hab mir überlegt, dass ja, und ich hab die unterschiede
> folgendermaßen verstanden:
>
>
> Wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, so handelt
> es sich um en Gradientenfeld.
>
> Ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt UND gibt es ein
> Potenzial also ein phi so dass grad phi = vektor(F) ist ,
> so handelt es sich um ein Potenzialfeld.
Mein Verständnis des Begriffes Gradientenfeld ist dieser: ein Vektorfeld V(x) ist ein Gradientenfeld, wenn es sich als Gradient eines Skalarfelds U(x) schreiben lässt. Häufig nennt man U(x) das Potenzialfeld.
> Das Arbeitsintegral liefert beim Gradientenfeld ein
> Ergebnis.
Das Arbeitsintegral liefert bei jedem Vektorfeld ein Ergebnis.
> Wenn das Ergebnis positiv ist so wird energie
> beim bewegunsvorgang des punktes entlang der bahn von einem
> punkt zum anderen punkte gewonnen.
> Ist das Ergebnis negativ so wird Energie verbraucht.
> das ergebnis des arbeitsintegrals ist also abhängig vom
> weg, der von punkt A nach punkt B durchlaufen wird. beim
> kreisweg also wenn man in punkt A startet und einen kreis
> zurück nach punkt B läuft kommt ein ergebnis ungleich null
> heraus.
Richtig. Der entscheidende Punkt ist, dass das Arbeitsintegral über ein Gradientenfeld wegunabhängig ist. Die Integrabilitätsbedingung ist dazu eine notwendige Bedingung, aber im Allgemeinen keine hinreichende.
> arbeitsintegral liefert beim potenzialfeld immer dasselbe
> ergbenis unabhängig davon welchen weg man vom punkt A nach
> punkt B durchläuft. beim kreisweg kommt das ergebnis null
> heraus.
>
>
> kann ein potenzial jemals negativ sein?
Das ist Konvention. Das Potential ist keine messbare Größe, nur Potentialdifferenzen sind messbar. Daher kann man eine beliebige Konstante addieren. Zum Beispiel ist eine Konvention, dise Konstante so zu wählen, dass der Maximalwerte des Potentials immer 0 ist. Dann ist das Potential also entweder negativ oder 0.
> ist es notwendig, dass der definitionsbereich des
> vektorfeldes quaderförmig ist, damit überhaupt ein
> potenzial vorhanden sein kann?
Nein. Es gibt prinzipiell keine Einschränkung der Form.
Es ist allerdings so, dass auf einfach zusammenhängenden Gebieten die Integrabilitätsbedingung nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 14.12.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
okay danke, so langsam fange ich an das thema zu verstehen
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