Potenzieren von Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Di 24.03.2009 | | Autor: | BigDanny |
| Aufgabe | Berechne A^2009 für A =1500 -900
2500 -1500 |
Hallo Zusammen,
bin hier ganz neu und brauch eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
Ist für euch bestimmt leicht, aber ich steh bissle aufm Schlauch und weiß nich genau, was ich machen soll.
Mein Ansatz wäre jetzt, die Matrix auf Jordan-Normalform zu bringen, dann zu potenzieren und dann wieder zurücktransfomieren.
Aber da wir des mit der Jordan-Normalform erst heute in der Vorlesung hatten, bin ich mir leider nicht ganz sicher, wie ich diese anwenden kann und ob mein Vorgehen überhaupt richtig ist.
Muss ich jetzt erst die Nullstellen des charak. Polynoms berechnen,oder?
Und dann schauen, ob die Nullstellen alle verschieden sind?!
danke schon mal, hoff ihr könnt mir helfen, dass ich den Weg zur Lösung finde^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechne A^2009 für A =pmat{ 1500 &-900 [mm] \\ [/mm] 2500 & -1500 }
> Hallo Zusammen,
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> bin hier ganz neu und brauch eure Hilfe bei dieser
> Aufgabe.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ist für euch bestimmt leicht, aber ich steh bissle aufm
> Schlauch und weiß nich genau, was ich machen soll.
> Mein Ansatz wäre jetzt, die Matrix auf Jordan-Normalform
> zu bringen, dann zu potenzieren und dann wieder
> zurücktransfomieren.
Die idee ist richtig gut.
> Aber da wir des mit der Jordan-Normalform erst heute in
> der Vorlesung hatten, bin ich mir leider nicht ganz sicher,
> wie ich diese anwenden kann und ob mein Vorgehen überhaupt
> richtig ist.
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> Muss ich jetzt erst die Nullstellen des charak. Polynoms
> berechnen,oder?
Genau. Berechne das charakteristische Polynom, seine Nullstellen, danach eine Basis des Eigenraumes.
> Und dann schauen, ob die Nullstellen alle verschieden
> sind?!
ja, aber das sind sie hier nicht.
Du hast hier, wenn ich nichts verkehrt gemacht habe, zwei gleiche Nullstellen, und der Eigenraum hat die Dimension 1.
Diesen Eigenvektor kannst Du dann so ergänzen, daß die darstellende matrix bzgl der neune Basis JNF hat, danach dann potenzieren.
Am besten fängst Du erstmal an, Du kannst unterwegs nachfragen, manches klärt sich leichter, wenn man erstmal etwas in der Hand hat.
Gruß v. Angela
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> danke schon mal, hoff ihr könnt mir helfen, dass ich den
> Weg zur Lösung finde^^
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechne A^2009 für A =1500 -900
> 2500 -1500
> Hallo Zusammen,
>
> bin hier ganz neu und brauch eure Hilfe bei dieser
> Aufgabe.
> Ist für euch bestimmt leicht, aber ich steh bissle aufm
> Schlauch und weiß nich genau, was ich machen soll.
> Mein Ansatz wäre jetzt, die Matrix auf Jordan-Normalform
> zu bringen, dann zu potenzieren und dann wieder
> zurücktransfomieren.
> Aber da wir des mit der Jordan-Normalform erst heute in
> der Vorlesung hatten, bin ich mir leider nicht ganz sicher,
> wie ich diese anwenden kann und ob mein Vorgehen überhaupt
> richtig ist.
>
> Muss ich jetzt erst die Nullstellen des charak. Polynoms
> berechnen,oder?
> Und dann schauen, ob die Nullstellen alle verschieden
> sind?!
>
> danke schon mal, hoff ihr könnt mir helfen, dass ich den
> Weg zur Lösung finde^^
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Warum so umständlich ?
Entweder man sieht, dass [mm] $A^2 [/mm] = 0$ ist, oder wenn nicht, so berechne man das char. Polynom von A
Dieses lautet: [mm] $\lambda^2$
[/mm]
nach dem Satz von Cayley _ Hamilton ist dann [mm] $A^2 [/mm] = 0$
FRED
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> Warum so umständlich ?
Hallo,
weil es BigDannys Idee aufgreift,
und weil man den Umstand bei diesem Aufgabentyp gut gebrauchen kann, wenn man eines Tages Matrizen mit anderen Eigenwerten vorliegen hat.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
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> > Warum so umständlich ?
>
> Hallo,
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> weil es BigDannys Idee aufgreift,
>
> und weil man den Umstand bei diesem Aufgabentyp gut
> gebrauchen kann, wenn man eines Tages Matrizen mit anderen
> Eigenwerten vorliegen hat.
>
> Gruß v. Angela
>
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Hallo Angela,
solche Aufgaben wie , berechne [mm] A^{2009}, [/mm] "riechen" geradezu nach Cayley-Hamilton. Ich kann mir vorstellen, dass der Aufgabensteller die Lösung sich auch so vorgestellt hat
Gruß FRED
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