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Hallo liebes Team,
ich bin gerabe am Anfang der Wahrscheinlichkeistheorie....
Folgendes Problem:
Es sei [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{\omega_{1} ..., \omega_{n}\} [/mm] eine endlichen Grundmenge und A eine Ereignisalgebra über [mm] \Omega. [/mm] Zeigen Sie folgende Aussage: Unter der
Voraussetzung, dass
[mm] \{\omega_{i}\} \in [/mm] A, i = 1, ..., n (1)
erfüllt ist, folgt A = [mm] P(\Omega).
[/mm]
Falls (1) nicht erfüllt ist, kann man ein Gegenbeispiel angeben, sodass A [mm] \subsetP(\Omega) [/mm] erfüllt ist
Hier meine Idee:
Da A eine Ereignisalgebra ist folgt:
[mm] \{\omega_{i}\} \in [/mm] A [mm] \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} w_{i} \in [/mm] A.
Da es sich um eine endliche Grundmenge handelt:
[mm] \bigcup_{i=1}^{n} w_{i}= 2^{\Omega}= P(\Omega)
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher ob das richtig ist. Bei den Potenzmengen ist ja so, das es [mm] 2^{n} [/mm] Teilmengen gibt. Ich weiß leider nicht, wie ich das Anwenden kann.
Bei den zweiten Problem habe ich leider gar keine Idee.
LG
Junge
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Hallo,
> Hallo liebes Team,
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> ich bin gerabe am Anfang der Wahrscheinlichkeistheorie....
>
> Folgendes Problem:
>
> Es sei [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{\omega_{1} ..., \omega_{n}\}[/mm] eine
> endlichen Grundmenge und A eine Ereignisalgebra über
> [mm]\Omega.[/mm] Zeigen Sie folgende Aussage: Unter der
> Voraussetzung, dass
> [mm]\{\omega_{i}\} \in[/mm] A, i = 1, ..., n (1)
> erfüllt ist, folgt A = [mm]P(\Omega).[/mm]
>
> Falls (1) nicht erfüllt ist, kann man ein Gegenbeispiel
> angeben, sodass A [mm]\subsetP(\Omega)[/mm] erfüllt ist
>
> Hier meine Idee:
>
> Da A eine Ereignisalgebra ist folgt:
>
> [mm]\{\omega_{i}\} \in[/mm] A [mm]\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} w_{i} \in[/mm]
> A.
Genau!
Da wir wissen, dass alle einelementigen Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] in A liegen, und da endliche Vereinigungen wieder in A liegen müssen (da A), folgt, dass Elemente der Potenzmenge gebildet werden können - das reicht völlig als Argumentation, mehr muss man dazu nicht sagen!
Du kannst alternativ auch irgendeine Menge [mm] $\{w_{i_{1}},...,w_{i_{r}}\}\in P(\Omega)$ [/mm] vorgeben ( [mm] $i_{1},...,i_{r}\in\{1,...,n\}$ [/mm] ) und zeigen, dass diese Menge in A liegt. Das geht natürlich ganz einfach, indem du weißt, dass [mm] $\{w_{i_{1}}\},...,\{w_{i_{r}}\}\in [/mm] A$ liegen und somit auch deren endliche Vereinigung
[mm] $\bigcup_{k=1}^{r}\{w_{i_{k}}\}\in [/mm] A$.
Mehr gibt es dazu nicht zu sagen - du siehst, die Aufgabe ist sehr einfach.
> Bei den zweiten Problem habe ich leider gar keine Idee.
Selbst wenn (1) nicht erfüllt ist, stimmt die Aussage noch, wenn nur ein [mm] \omega_{i} [/mm] nicht enthalten ist.
Aber ab zweien, die fehlen, geht es nicht mehr unbedingt. Nimm also zum Beispiel
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3\}$
[/mm]
und nur [mm] $\{1\}\in [/mm] A$ Dann ist $A = [mm] \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \Omega\}$ [/mm] eine Algebra, die eine echte Teilmenge der Potenzmenge [mm] P(\Omega) [/mm] ist.
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Genau!
> Da wir wissen, dass alle einelementigen Teilmengen von
> [mm]\Omega[/mm] in A liegen, und da endliche Vereinigungen wieder in
> A liegen müssen (da A), folgt, dass Elemente der
> Potenzmenge gebildet werden können - das reicht völlig
> als Argumentation, mehr muss man dazu nicht sagen!
Es tu mir leid, ich versteh nicht, auf was sich das "Genau" bezieht. Ist es richtig was ich geschrieben habe :
[mm] \bigcup_{i=1}^{n} \{w_{i}\} \in [/mm] A und [mm] \bigcup_{i=1}^{n} w_{i} [/mm] = [mm] 2^{\Omega}=P(\Omega)
[/mm]
Ich glaube, ich habe das noch nicht so richtig verstanden.
LG
Junge
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Hallo,
> Es tu mir leid, ich versteh nicht, auf was sich das
> "Genau" bezieht. Ist es richtig was ich geschrieben habe
Meine "Genau"'s beziehen sich immer auf das, was darüber steht.
> [mm]\bigcup_{i=1}^{n} \{w_{i}\} \in[/mm] A und [mm]\bigcup_{i=1}^{n} w_{i}[/mm]
> = [mm]2^{\Omega}=P(\Omega)[/mm]
Das hier ist nicht richtig, da es keinen Sinn ergibt. Die Vereinigung von [mm] \{w_{i}\} [/mm] soll gleich der Potenzmenge sein? Was meinst du damit? Du willst wahrscheinlich sagen: Durch Vereinigungen von den [mm] \{w_{i}\} [/mm] kann man die gesamte Potenzmenge erhalten. Das sollte man aber eher in Worten schreiben oder so, wie ich es dir in meinem ersten Post mit der "Alternativ" nahe gelegt habe.
Wenn du noch etwas nicht verstehst, sag' bitte auch genau, was nicht 
Grüße,
Stefan
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Hallo,
danke für deine schnelle Antwort.
> Durch Vereinigungen von den [mm]\{w_{i}\}[/mm] kann man die gesamte
> Potenzmenge erhalten.
Das verstehe ich leider nicht. Kannst du ein Beispiel geben, damit ich sehe was gemeint ist???
LG
Junge
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Hallo,
> > Durch Vereinigungen von den [mm]\{w_{i}\}[/mm] kann man die gesamte
> > Potenzmenge erhalten.
>
> Das verstehe ich leider nicht. Kannst du ein Beispiel
> geben, damit ich sehe was gemeint ist???
Dasselbe, was du oben auch schon geschrieben hast. Zugegeben habe ich das genauso salopp geschrieben, wie du es im ersten Post in mathematischen Zeichen ausgedrückt hast.
Ich wollte sagen: Wir können jedes Element der Potenzmenge dann durch Vereinigung von den entsprechenden [mm] \{w_{i}\} [/mm] erhalten.
Es geht einfach um Folgendes: Angenommen, wir haben [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{w_1,w_2,w_3\}$ [/mm] und wissen bereits, dass [mm] $\{w_1\},\{w_2\},\{w_3\}\in [/mm] A$ (A Algebra über [mm] \Omega) [/mm] liegen.
Nun nehmen wir uns irgendein Element der Potenzmenge [mm] P(\Omega), [/mm] zum Beispiel [mm] $\{w_1,w_2\}\in P(\Omega)$. [/mm] Wie können wir zeigen, dass [mm] \{w_1,w_2\} [/mm] auch in A liegt? Nun, da [mm] \{w_1\},\{w_2\}\in [/mm] A liegen, und endliche Vereinigungen von Elementen aus A wieder in A liegen, folgt:
[mm] $\{w_1,w_2\} [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^{2}\{w_k\} \in [/mm] A$.
Dieses Prinzip kannst du natürlich für jede endliche Menge aus [mm] P(\Omega) [/mm] durchführen. Deswegen liegt jedes Element der Potenzmenge auch in A, also ist A die Potenzmenge.
Grüße,
Stefan
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dankeschön.
ich glaube, jetzt habe ich es verstanden
bei deinem beispiel habe ich noch eine kleine frage
wie sieht den die menge [mm] \{\omega_{1}, \omega_{3}\} [/mm] als vereinigung aus??
ist [mm] \{\omega_{1}\} \cup\{\omega_{3}\} [/mm]
ist glaube nur eine technische frage....
lg junge
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Hallo,
> bei deinem beispiel habe ich noch eine kleine frage
>
> wie sieht den die menge [mm]\{\omega_{1}, \omega_{3}\}[/mm] als
> vereinigung aus??
> ist [mm]\{\omega_{1}\} \cup\{\omega_{3}\}[/mm]
Genau,
[mm] $\{\omega_{1}, \omega_{3}\} [/mm] = [mm] \{\omega_{1}\} \cup\{\omega_{3}\} \in [/mm] A$.
Grüße,
Stefan
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