Potenzmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 So 31.10.2010 | | Autor: | quadrat4 |
| Aufgabe | Sei X = {0,{1}} und Y = {0,1}. Bestimmen Sie (P: Potenzmenge)
i) P(X) \ (P(Y)
ii) P(P(X)) [mm] \cap [/mm] P(P(Y))
iii) P(X) [mm] \cap [/mm] P(P(X)) |
1) Ich weiß nicht, wie ich mit der Menge in der Menge umgehen soll: X = {0,{1}}. Was ist dann P(X)?
2) Wie kann ich ii) und iii) bestimmen? Kann ich die Ausdrücke jeweils vereinfachen? Mir fehlt hier der Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:18 So 31.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei X = {0,{1}} und Y = {0,1}. Bestimmen Sie (P:
> Potenzmenge)
>
> i) P(X) \ (P(Y)
> ii) P(P(X)) [mm]\cap[/mm] P(P(Y))
> iii) P(X) [mm]\cap[/mm] P(P(X))
>
> 1) Ich weiß nicht, wie ich mit der Menge in der Menge
> umgehen soll: X = {0,{1}}. Was ist dann P(X)?
Das ist die Potenzmenge von der zweielementigen Menge $X$. Nenne doch mal $a = 0$ und $b = [mm] \{ 1 \}$; [/mm] dann ist $X = [mm] \{ a, b \}$. [/mm] Kannst du jetzt $P(X)$ hinschreiben? Wenn ja, setze $a$ und $b$ zurueck ein.
> 2) Wie kann ich ii) und iii) bestimmen? Kann ich die
> Ausdrücke jeweils vereinfachen? Mir fehlt hier der
> Ansatz.
Schreibe erstmal $P(X)$, $P(P(X))$, $P(Y)$, $P(P(Y))$ hin und gucke dann, was wo drinnen liegt bzw. nicht drinnen liegt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 31.10.2010 | | Autor: | quadrat4 |
Erstmal vielen Dank!
Aufgabe i)
Folglich wäre
P(X) = { [mm] \varnothing, [/mm] {0}, {{1}}, {0,{1}}}
P(Y) = { [mm] \varnothing, [/mm] {0}, {1}, {0,1}}
P(X) \ (P(Y) = {{{1}}, {0,{1}}}
Ist das so korrekt? Muss in das Ergebnis wieder die leere Menge?
Aufgabe ii)
Habe mir mal alle Möglichkeiten aufgeschrieben, die es für P(P(X)) und P(P(Y)) gibt. Gesucht ist die Schnittmenge der beiden Mengen, d.h. alle Elemente mit einer 1 fallen weg, da gilt {{1}} [mm] \not= [/mm] {1} und {0,{1}} [mm] \not= [/mm] {0,1}. Dann bleibt noch folgendes übrig:
P(P(X)) \ (P(P(Y))= { [mm] \varnothing, [/mm] { [mm] \varnothing [/mm] }, { {0} }, { [mm] \varnothing, [/mm] {0} } }
Kann man so argumentieren?
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Aufgabe iii)
Falls ii) richtig ist, müsse das Ergebnis für diese Aufgabe sein:
P(X) [mm] \cap [/mm] P(P(X)) = { [mm] \emptyset [/mm] }
Ist das richtig, dass nur die leere Menge als Ergebnis rauskommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Di 02.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo [mm]4^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Erstmal vielen Dank!
>
> Aufgabe i)
>
> Folglich wäre
>
> P(X) = { [mm]\varnothing,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0}, {{1}}, {0,{1}}} ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> P(Y) = { [mm]\varnothing,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0}, {1}, {0,1}}
>
> P(X) \ (P(Y) = {{{1}}, {0,{1}}}
>
> Ist das so korrekt? Muss in das Ergebnis wieder die leere
> Menge?
Nein, die ist ja in beiden Potenzmengen, also nicht in der Differenzmenge
>
> Aufgabe ii)
>
> Habe mir mal alle Möglichkeiten aufgeschrieben, die es
> für P(P(X)) und P(P(Y)) gibt.
Es gibt doch nur eine 
> Gesucht ist die Schnittmenge
> der beiden Mengen, d.h. alle Elemente mit einer 1 fallen
> weg, da gilt {{1}} [mm]\not=[/mm] {1} und {0,{1}} [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0,1}. Dann
> bleibt noch folgendes übrig:
>
> P(P(X)) \ (P(P(Y))= { [mm]\varnothing,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\varnothing[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, { {0} }, { [mm]\varnothing,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{0} } }
Das kann wegen des oben Gesagten nicht sein.
Es ist [mm]\emptyset\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))[/mm] und auch [mm]\emptyset\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))[/mm], also kann [mm]\emptyset[/mm] nicht in der Differenzmenge der beiden sein.
>
> Kann man so argumentieren?
Schreibe doch vllt. mal die beiden Mengen hin, ich weiß, es ist wegen der vielen verschachtelten Mengen einiges an Tipparbeit, aber beide Mengen enthalten ja auch "nur" 16 Elemente.
Dann kann man deine Argumentation oben besser nachvollziehen.
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank, dann ist Aufgabe i) schon mal abgehakt.
> Das kann wegen des oben Gesagten nicht sein.
>
> Es ist [mm]\emptyset\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))[/mm] und auch [mm]\emptyset\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))[/mm], also kann [mm]\emptyset[/mm] nicht in der Differenzmenge der beiden sein.
>
> Schreibe doch vllt. mal die beiden Mengen hin, ich weiß,
> es ist wegen der vielen verschachtelten Mengen einiges an
> Tipparbeit, aber beide Mengen enthalten ja auch "nur" 16
> Elemente.
>
> Dann kann man deine Argumentation oben besser
> nachvollziehen.
Bei Aufgabe ii) ist nicht mehr die Differenzmenge, sondern die Vereinigung gesucht.
Möglichkeiten (aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht in einer Zeile sondern untereinander aufgeschrieben:
P(P(Y)): ohne die grünen Klammern
P(P(X)): mit den grünen Klammern {}
[mm] \emptyset
[/mm]
{ [mm] \emptyset [/mm] }
{{0}}
{{{1}}}
{{0,{1}}}
{ [mm] \emptyset, [/mm] {0}}
{ [mm] \emptyset, [/mm] {{1}}}
{ [mm] \emptyset, [/mm] {0,{1}}}
{ [mm] \emptyset, [/mm] {0},{{1}}}
{ [mm] \emptyset, [/mm] {0},{{1}},{0,{1}}}
{ [mm] \emptyset, [/mm] {0},{0,{1}}}
{ [mm] \emptyset, [/mm] {{1}},{0,{1}}}
{{0},{{1}}}
{{0},{{1}},{0,{1}}}
{{0},{0,{1}}}
{{{1}},{0,{1}}}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Di 02.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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