Potenzmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | M sei eine Menge und [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] die Potenzmenge von M Beweisen Sie:
a) [mm]\mathcal{P}(M \cap N)=\mathcal{P}(M) \cap (N)[/mm]
b) [mm]\mathcal{P}(M \cup N) \supseteq \mathcal{P}(M) \cup (N)[/mm]
Welche Bedingungen müssen N und M erfüllen, damit [mm]\mathcal{P}(M \cup N) =\mathcal{P}(M) \cup (N)[/mm] gilt? |
Hallo Leute,
die Aufgabe habe ich bereits bewiesen. Jedoch bin ich mir nicht sicher, wann [mm]\mathcal{P}(M \cup N) =\mathcal{P}(M) \cup (N)[/mm] ist. Ich vermute wenn N=M ist. Aber irgendwie scheint mir das zu einfach.
Vielen Dank schon mal Voraus.
Gruß
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> M sei eine Menge und [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] die Potenzmenge von M
> Beweisen Sie:
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> a) [mm]\mathcal{P}(M \cap N)=\mathcal{P}(M) \cap (N)[/mm]
>
> b) [mm]\mathcal{P}(M \cup N) \supseteq \mathcal{P}(M) \cup (N)[/mm]
>
> Welche Bedingungen müssen N und M erfüllen, damit
> [mm]\mathcal{P}(M \cup N) =\mathcal{P}(M) \cup (N)[/mm] gilt?
Hallo,
als allererstes solltest Du die zu beweisenden Behauptungen mal richtig hinschreiben...
> Hallo Leute,
>
> die Aufgabe habe ich bereits bewiesen. Jedoch bin ich mir
> nicht sicher, wann [mm]\mathcal{P}(M \cup N) =\mathcal{P}(M) \cup (N)[/mm]
> ist. Ich vermute wenn N=M ist. Aber irgendwie scheint mir
> das zu einfach.
Komisches Argument...
Für N=M gilt jedenfalls die Gleichheit.
Die Frage ist, ob sie auch unter weniger strengen Bedingungen gilt.
Tip:
probiere doch mal mit ein paar verschiedenen Mengen,
welchen, die disjunkt sind, welchen derne Schnitt nichtleer ist usw.
Gruß v. Angela
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Danke für die Antwort.
Gruß
Christoph
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| Aufgabe | M sei eine Menge und [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] die Potenzmengen von M. Beweisen Sie:
(a) [mm]\mathcal{P}(M\cap N)=\mathcal{P}(M)\cap \mathcal{P}(N) [/mm]
(b) [mm]\mathcal{P}(M\cup N)\supseteq\mathcal{P}(M)\cup \mathcal{P}(N) [/mm] Welche Bedingungen müssen M und N erfüllen, damit [mm]\mathcal{P}(M\cup N)=\mathcal{P}(M)\cup \mathcal{P}(N) [/mm] |
Hallo Mathefreunde,
ich wollte lediglich wissen, ob mein Beweis so in Ordnung ist.
a)
[mm]x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M\cap N)[/mm]
b)
[mm]x\in\mathcal{P}(M)\cup\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\vee x\in\mathcal{P}(N)\Rightarrow x\in\mathcal{P}(M\cup N)[/mm]
[mm]\mathcal{P}(M\cup N)=\mathcal{P}(M)\cup \mathcal{P}(N) [/mm], wenn N=M ist zum Beispiel.
Schönen Gruß
Christoph
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> M sei eine Menge und [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] die Potenzmengen von M.
> Beweisen Sie:
>
> (a) [mm]\mathcal{P}(M\cap N)=\mathcal{P}(M)\cap \mathcal{P}(N)[/mm]
>
> (b) [mm]\mathcal{P}(M\cup N)\supseteq\mathcal{P}(M)\cup \mathcal{P}(N)[/mm]
> Welche Bedingungen müssen M und N erfüllen, damit
> [mm]\mathcal{P}(M\cup N)=\mathcal{P}(M)\cup \mathcal{P}(N)[/mm]
>
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich wollte lediglich wissen, ob mein Beweis so in Ordnung
> ist.
Hallo,
Du solltest Dir angewöhnen, für jeden Schritt eine Begründung anzugeben.
Dann merkst Du nämlich selbst, an welchen Stellen Du genauer nachdenken mußt.
Schritte, für die Du keine Begründung weißt, darfst Du nicht machen - so einfach ist das eigentlich.
>
> a)
> [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N)\red{\gdw } x\in\mathcal{P}(M\cap N)[/mm]
Wie begründest Du den markierten Schluß?
Für meinen Geschmack geht das zu schnell. Es ist (ohne Begündung) lediglich eine Behauptung.
Irritieren sollte Dich auch, daß Du die Definition für "Potenzmenge" bisher überhaupt nicht verwendet hast.
>
> b)
>
> [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cup\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\vee x\in\mathcal{P}(N)\red{\Rightarrow }x\in\mathcal{P}(M\cup N)[/mm]
Auch hier fehlt eine Begründung bzw. weitere begründetet Schritte. So ist's zu schnell.
>
> [mm]\mathcal{P}(M\cup N)=\mathcal{P}(M)\cup \mathcal{P}(N) [/mm],
> wenn N=M ist zum Beispiel.
Ja. zum Beispiel.
Geht es auch anders? Oder müssen die Mengen zwingend gleich sein?
LG Angela
>
> Schönen Gruß
>
> Christoph
>
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Hallo Angela,
> Hallo,
>
> Du solltest Dir angewöhnen, für jeden Schritt eine
> Begründung anzugeben.
> Dann merkst Du nämlich selbst, an welchen Stellen Du
> genauer nachdenken mußt.
> Schritte, für die Du keine Begründung weißt, darfst Du
> nicht machen - so einfach ist das eigentlich.
>
> >
> > a)
> > [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N)\red{\gdw } x\in\mathcal{P}(M\cap N)[/mm]
>
> Wie begründest Du den markierten Schluß?
> Für meinen Geschmack geht das zu schnell. Es ist (ohne
> Begündung) lediglich eine Behauptung.
> Irritieren sollte Dich auch, daß Du die Definition für
> "Potenzmenge" bisher überhaupt nicht verwendet hast.
Ich kann dir gerne erklären, wie ich dazu gekommen bin, aber ich weiß nicht, wie ich das noch formal ergänzen soll.
Nach der Definition des Schnittes muss x sowohl in M als auch N liegen. Dann kann ja das x nicht außerhalb der Potenzmenge des Schnittes liegen. Zumindest finde ich die gegenteilige Annahme sehr abenteuerlich, selbst wenn es neben einem fixen x auch noch andere Elemente im Schnitt gäbe.
> >
> > b)
> >
> > [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cup\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\vee x\in\mathcal{P}(N)\red{\Rightarrow }x\in\mathcal{P}(M\cup N)[/mm]
Hier kann das x, gemäß der Definition der Vereinigung, in einer der beiden Mengen oder in beiden gleichzeitig sein. Dabei verhält es sich mit dem Bilden der Vereinigung der Potenzmenge und das Vereinigen der gebildeten Potenzmengen, wie bei der Dreiecksungleichung. Deren Sinn der selbe ist, wie bei meiner obigen Eselsbrücke.
> Auch hier fehlt eine Begründung bzw. weitere begründetet
> Schritte. So ist's zu schnell.
> > [mm]\mathcal{P}(M\cup N)=\mathcal{P}(M)\cup \mathcal{P}(N) [/mm],
> > wenn N=M ist zum Beispiel.
>
> Ja. zum Beispiel.
> Geht es auch anders? Oder müssen die Mengen zwingend
> gleich sein?
>
Nein. Eine der beiden Mengen kann auch leer sein oder beide.
>
> >
> > Schönen Gruß
> >
> > Christoph
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
>
> > Hallo,
> >
> > Du solltest Dir angewöhnen, für jeden Schritt eine
> > Begründung anzugeben.
> > Dann merkst Du nämlich selbst, an welchen Stellen Du
> > genauer nachdenken mußt.
> > Schritte, für die Du keine Begründung weißt, darfst
> Du
> > nicht machen - so einfach ist das eigentlich.
> >
> > >
> > > a)
> > > [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N)\red{\gdw } x\in\mathcal{P}(M\cap N)[/mm]
>
> >
> > Wie begründest Du den markierten Schluß?
> > Für meinen Geschmack geht das zu schnell. Es ist (ohne
> > Begündung) lediglich eine Behauptung.
> > Irritieren sollte Dich auch, daß Du die Definition
> für
> > "Potenzmenge" bisher überhaupt nicht verwendet hast.
>
> Ich kann dir gerne erklären, wie ich dazu gekommen bin,
> aber ich weiß nicht, wie ich das noch formal ergänzen
> soll.
>
> Nach der Definition des Schnittes muss x sowohl in M als
> auch N liegen. Dann kann ja das x nicht außerhalb der
> Potenzmenge des Schnittes liegen. Zumindest finde ich die
> gegenteilige Annahme sehr abenteuerlich, selbst wenn es
> neben einem fixen x auch noch andere Elemente im Schnitt
> gäbe.
Warum verwendest Du nie die Def. der Potenzmenge ?
[mm]x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N) ~ \gdw x \subseteq M \wedge x \subseteq N ~ \gdw x \subseteq M \cap N ~\gdw x\in\mathcal{P}(M\cap N)[/mm]
FRED
>
>
> > >
> > > b)
> > >
> > > [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cup\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\vee x\in\mathcal{P}(N)\red{\Rightarrow }x\in\mathcal{P}(M\cup N)[/mm]
>
> Hier kann das x, gemäß der Definition der Vereinigung, in
> einer der beiden Mengen oder in beiden gleichzeitig sein.
> Dabei verhält es sich mit dem Bilden der Vereinigung der
> Potenzmenge und das Vereinigen der gebildeten Potenzmengen,
> wie bei der Dreiecksungleichung. Deren Sinn der selbe ist,
> wie bei meiner obigen Eselsbrücke.
>
> > Auch hier fehlt eine Begründung bzw. weitere begründetet
> > Schritte. So ist's zu schnell.
>
>
>
> > > [mm]\mathcal{P}(M\cup N)=\mathcal{P}(M)\cup \mathcal{P}(N) [/mm],
> > > wenn N=M ist zum Beispiel.
> >
> > Ja. zum Beispiel.
> > Geht es auch anders? Oder müssen die Mengen zwingend
> > gleich sein?
> >
> Nein. Eine der beiden Mengen kann auch leer sein oder
> beide.
> >
> > >
> > > Schönen Gruß
> > >
> > > Christoph
> > >
> >
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Hallo Fred,
du meinst, dass [mm]x \in U \subseteq M[/mm] ist zum Beispiel? Also das jede "Elementmenge" immer Teilmenge von M ist?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> du meinst, dass [mm]x \in U \subseteq M[/mm] ist zum Beispiel?
Was ist los ??
> Also
> das jede "Elementmenge" immer Teilmenge von M ist?
Du schreibst oben: [mm] x\in\mathcal{P}(M). [/mm] Das bedeutet: x ist eine Teilmenge von M, also x [mm] \subseteq [/mm] M.
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo Fred,
ich weiß jetzt nicht, was dir nicht klar ist. Nochmal zurück zur Aufgabe vielleicht wird dir klar, was ich meine [mm] x\in U\subseteq\mathcal{P}(M)\wedge x\in U\subseteq\mathcal{P}(N)\gdw x\in U\subseteq(\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(M))[/mm]. Das ist denke ich der fehlende zwischenschritt auch analog zu b).
Richtig?
Gruß
Christoph
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> Hallo Fred,
>
> ich weiß jetzt nicht, was dir nicht klar ist. Nochmal
> zurück zur Aufgabe vielleicht wird dir klar, was ich meine
> [mm]x\in U\subseteq\mathcal{P}(M)\wedge x\in U\subseteq\mathcal{P}(N)\gdw x\in U\subseteq(\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(M))[/mm].
> Das ist denke ich der fehlende zwischenschritt
Hallo,
davon, daß das der fehlende Zwischenschritt ist, kannst Du uns natürlich am besten überzeugen, wenn Du den ganzen Beweis schlüssig präsentierst - ich habe große Zweifel.
Du hast ja bisher auch nicht so richtig gesagt, was das U sein soll.
Klar, eine Teilmenge von P(M) (also eine Menge, deren Elemente Teilmengen von M sind.) Aber welche Teilmenge? Irgendeine? Eine bestimmte?
Und das x?
Du solltest Dir angewöhnen, streng nach Definition zu arbeiten.
Du willst doch u.a. zeigen, daß
$ [mm] x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)==> x\in\mathcal{P}(M\cap [/mm] N) $
richtig ist.
Was bedeutet denn [mm] x\in [/mm] P(M)?
LG v. Angela
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Hallo Angela,
U ist eine Menge des Mengensystems der Potenzmenge. Denn der Begriff "Potenzmenge" mag hier irreführend klingen. Die Potenzmenge ist mehr ein Mengensystem und U ist ein Teil dessen.
Beweis:
a)
[mm]x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N) \gdw x\in U\subseteq\mathcal{P}(M)\wedge x\in U\subseteq\mathcal{P}(N)\gdw x\in U\subseteq (\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N))\gdw x\in\mathcal{P}(M\cap N)[/mm]
b)
[mm]x\in\mathcal{P}(M)\cup\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\vee x\in\mathcal{P}(N) \gdw x\in U\subseteq\mathcal{P}(M)\vee x\in U\subseteq\mathcal{P}(N)\gdw x\in U\subseteq (\mathcal{P}(M)\cup\mathcal{P}(N))\Rightarrow x\in\mathcal{P}(M\cup N)[/mm]
So ich hoffe das ist dann detailreich genug.
Dann noch einen schönen Abend.
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mo 05.03.2012 | | Autor: | SEcki |
> So ich hoffe das ist dann detailreich genug.
Es ist auch einfach falsch.
Du begründest nirgends, seit Anfang des Threads - was sollen wir darüber denn deken?
SEcki
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Nun ich weiß nicht. Was denkst du denn über mich? Außerdem habe ich meine Schritte begründet (oben).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
> U ist eine Menge des Mengensystems der Potenzmenge. Denn
> der Begriff "Potenzmenge" mag hier irreführend klingen.
> Die Potenzmenge ist mehr ein Mengensystem und U ist ein
> Teil dessen.
>
> Beweis:
>
> a)
>
> [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N) \gdw x\in U\subseteq\mathcal{P}(M)\wedge x\in U\subseteq\mathcal{P}(N)\gdw x\in U\subseteq (\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N))\gdw x\in\mathcal{P}(M\cap N)[/mm]
>
> b)
>
> [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cup\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\vee x\in\mathcal{P}(N) \gdw x\in U\subseteq\mathcal{P}(M)\vee x\in U\subseteq\mathcal{P}(N)\gdw x\in U\subseteq (\mathcal{P}(M)\cup\mathcal{P}(N))\Rightarrow x\in\mathcal{P}(M\cup N)[/mm]
>
> So ich hoffe das ist dann detailreich genug.
Auaa ! Bei a) und b): nochmal: was soll das bekloppte U ?????
Nebenbei: einmal schreibst Du
$ x [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] M$,
dann schreibst Du:
$ x [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq \mathcal{P}(M)$.
[/mm]
Ja, was jetzt ? Dir scheint selbst nicht klar zu sein, was Du mit U eigentlich meinst.
FRED
>
> Dann noch einen schönen Abend.
>
> Gruß
>
> Christoph
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Hallo,
> U ist eine Menge des Mengensystems der Potenzmenge.
Also [mm] U\in [/mm] P(M). (?)
> Denn
> der Begriff "Potenzmenge" mag hier irreführend klingen.
Hm? Wieso? "Potenzmenge von M" ist doch einwandfrei definiert. (Wie eigentlich?)
> Die Potenzmenge ist mehr ein Mengensystem
Hm? Was meinst Du mit "mehr ein Mengensystem"? Sie ist ein Mengensystem - eine Menge von Mengen.
> und U ist ein
> Teil dessen.
Was meinst Du mit "Teil"? Element? Teilmenge?
Ich frage so genau nach, weil wir hier ja nicht in einem esoterischen Zirkel zum Abbrennen von Räucherwerk zusammengekommen sind, sondern um zusammen Mathematik zu betreiben.
Ich bekomme inzwischen immer mehr Zweifel daran, daß Du weißt, was "Potenzmenge vom M" bedeutet, wie das also definiert ist. (Zweifeln läßt mich neben dem von mir zerpflückten Text auch, daß Du gar nicht darauf geantwortet hast, was aus [mm] x\in [/mm] P(M) folgt.)
Weißt Du es? Wenn nicht, schlag mal nach und wisse es ab sofort.
Ich glaube, Du solltest erstmal ein Beispiel machen.
Wir nehmen
[mm] M:=\{a,b\}, N:=\{b,c\}.
[/mm]
Was sind P(M), P(N), [mm] P(M)\cap [/mm] P(N), [mm] P(M\cap [/mm] N), [mm] P(M)\cup [/mm] P(N), [mm] P(M\cup [/mm] N)?
Wenn Du das hast, kannst Du mal gucken, ob die zu beweisenden Behauptungen hier stimmen.
So, nun denk nicht, ich will Dich veralbern. Ich meine es ernst.
Wir nehmen im neuen Beweis mal statt x den Buchstaben U - ich habe die Hoffnung, daß es hilft.
Zu zeigen ist: [mm] P(M)\cap P(N)\subseteq P(M\cap [/mm] N),
dh. man muß zeigen:
Für alle [mm] U\in P(M)\cap [/mm] P(N) gilt: [mm] U\in P(M\cap [/mm] N).
Nun kommt der Beweis. Kein Schritt ohne Begründung!
Beweis:
Sei [mm] U\in P(M)\cap [/mm] P(N)
==>
[mm] U\in [/mm] P(M) und [mm] U\in [/mm] P(N) [mm] \qquad \qquad [/mm] (nach Def. des Schnittes)
==>
[mm] U\subseteq [/mm] ... und [mm] U\subseteq ...\qquad \qquad [/mm] (nach Def. der Potenzmenge)
==> usw. ... ... ... ... ...
==>
[mm] P(M\cap N)\qquda \qquad [/mm] (nach Def. ...)
Wenn Dir das gelungen ist, versuche im selben Stil die Rückrichtung.
Mach es nicht auf einmal - man macht zu leicht etwas falsch.
Wenn Du dann feststellst, daß der Rückweg wirklich genauso ist wie der Hinweg, kannst Du es für die Reinschrift dann immer noch mit Äquivalenzpfeilen aufschreiben.
Aber generell gilt: je weniger man der Sache gewachsen ist, desto penibler und kleinschrittiger muß man die Beweise führen. Sie sollen am Ende ja richtig sein.
> So ich hoffe das ist dann detailreich genug.
Es kommt nicht auf auschmückende Details und wabernde Wortwolken an, sondern darauf, daß man jederzeit weiß, wofür welcher Buchstabe steht und daß Du uns an Deinen Schlüssen teilnehmen läßt, sie also begündest.
LG Angela
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Sei X={a,b,c}. Dann ist P(X)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},{}}
[mm]|P(X)|= 2^3=8[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei X={a,b,c}. Dann ist
> P(X)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},{}}
>
> [mm]|P(X)|= 2^3=8[/mm]
das ist korrekt.
Ein paar weitere "Übungen" - vielleicht erkennst Du dann die Kritik an Deinen "Beweisen":
Nenn' mir mal irgendein $Y [mm] \in P(X)\,.$ [/mm] Zudem gebe dann mal eine Teilmenge [mm] $\mathcal{U} \subseteq [/mm] P(X)$ an mit $Y [mm] \in \mathcal{U}\,,$ [/mm] aber [mm] $\mathcal{U} \not=P(X)$ [/mm] und [mm] $|\mathcal{U}| [/mm] > [mm] 1\,.$
[/mm]
Für genau welche $Z [mm] \in [/mm] P(X)$ gilt $a [mm] \in [/mm] Z$?
Zudem:
Bilde
[mm] $$\mathcal{U}_b:=\{R \in P(X): b \in R\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
Sei [mm]Y=\{a\}, \mathcal{U}=\{\{a\},b\}[/mm]
und [mm] $\mathcal{U}_b:=\{R=\{b\} \in P(X): b \in R\}$
[/mm]
Antwort:
[mm] $a\not\in [/mm] Z$ falls Z={b,c} oder Z={}
Schönen Gruß
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Sei X={a,b,c}. Dann ist
> > > P(X)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},{}}
> > > $ |P(X)|= [mm] 2^3=8 [/mm] $
> > das ist korrekt.
> > Ein paar weitere "Übungen" - vielleicht erkennst Du dann die Kritik an Deinen
> > "Beweisen":
> > Nenn' mir mal irgendein $ Y [mm] \in P(X)\,. [/mm] $ Zudem gebe dann mal eine Teilmenge $
> > [mm] \mathcal{U} \subseteq [/mm] P(X) $ an mit $ Y [mm] \in \mathcal{U}\,, [/mm] $ aber $ [mm] \mathcal{U} [/mm]
> > [mm] \not=P(X) [/mm] $ und $ [mm] |\mathcal{U}| [/mm] > [mm] 1\,. [/mm] $
> > Für genau welche $ Z [mm] \in [/mm] P(X) $ gilt $ a [mm] \in [/mm] Z $?
> > Zudem:
> > Bilde
> > $ [mm] \mathcal{U}_b:=\{R \in P(X): b \in R\}\,. [/mm] $
> Hallo Marcel,
>
> Sei [mm]Y=\{a\}, \mathcal{U}=\{\{a\},\red{b}\}[/mm]
das [mm] $Y=\{a\}$ [/mm] nun $Y [mm] \in [/mm] P(X)$ erfüllt, ist korrekt. Aber [mm] $\mathcal{U} \subseteq [/mm] P(X)$ ist falsch, denn $b [mm] \notin P(X)\,.$ [/mm] Wie kannst Du das einfach korrigieren? Naja, setz' mal Mengenklammern um [mm] $b\,$... [/mm] Siehst Du das?
> und [mm]\red{\mathcal{U}_b:=\{R=\{b\} \in P(X): b \in R\}}[/mm]
Nein. Per Definitionem von [mm] $U_b$ [/mm] gilt genau dann $R [mm] \in U_b\,,$ [/mm] falls $R [mm] \subseteq [/mm] X$ UND ZUDEM $b [mm] \in R\,.$ [/mm] Damit folgt etwa
[mm] $$\{a,b,c\} \in U_b\,\text{ weil }b \in \{a,b,c\} \subseteq X=\{a,b,c\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\{b,c\} \in U_b\,, \text{ weil }b \in \{b,c\} \subseteq X=\{a,b,c\}$$
[/mm]
.
.
.
Also: Wie sieht [mm] $U_b$ [/mm] aus? (Komplett hinschreiben - [mm] $\mathcal{U}_b$ [/mm] hat genau [mm] $4\,$ [/mm] Elemente!!)
> Antwort:
>
> [mm]a\not\in Z[/mm] falls Z={b,c} oder Z={}
Naja, ich hatte gefragt, für genau welche $Z [mm] \subseteq [/mm] X$ nun $a [mm] \in [/mm] Z$ gilt. Okay, Du sagst nun eigentlich (und das müsstest Du dann auch so hinschreiben!):
$$(Z [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \wedge [/mm] a [mm] \notin [/mm] Z ) [mm] \gdw (Z=\emptyset \vee Z=\{b,c\})\,.$$
[/mm]
Aber was ist da mit [mm] $Z=\{b\}$ [/mm] bzw. [mm] $Z=\{c\}$?
[/mm]
Richtig wäre also
$$(Z [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \wedge [/mm] a [mm] \notin [/mm] Z ) [mm] \gdw (Z=\emptyset \vee Z=\{b,c\} \vee Z=\{b\} \vee Z=\{c\})\,.$$
[/mm]
Dann ist die Frage aber noch nicht ganz beantwortet, sondern damit folgt
$$(Z [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \wedge [/mm] a [mm] \red{\in} [/mm] Z ) [mm] \gdw [/mm] (Z [mm] \in [/mm] P(X) [mm] \setminus \{\emptyset,\{b,c\},\{b\},\{c\}\})\,.$$
[/mm]
Kürzer:
Mit
[mm] $$\mathcal{U}_a:=\{R \in P(X): a \in R\}$$
[/mm]
gilt (wenn man Deine Überlegung korrigiert/vervollständigt)
[mm] $$\mathcal{U}_a=P(X) \setminus \{\emptyset,\{b,c\},\{b\},\{c\}\}=\{\;\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\;\}\,.$$
[/mm]
Und genau dann gilt nun $Z [mm] \in [/mm] P(X)$ mit $a [mm] \in Z\,,$ [/mm] wenn $Z [mm] \in \mathcal{U}_a$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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[mm] $U_b=\{\{b,c\} \{b\}\}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]U_b=\{\{b,c\} \{b\}\}[/mm]
nein, es gilt nur
[mm] $$\{\{b,c\}, \{b\}\} \subset \mathcal{U}_b\,.$$
[/mm]
Liest Du denn nicht, was man Dir schreibt? Ich hatte gesagt, dass [mm] $|\mathcal{U}_b|=4\,$ [/mm] ist. Alleine deshalb kann schon NICHT [mm] $\{\{b,c\}, \{b\}\} [/mm] = [mm] \mathcal{U}_b$ [/mm] gelten, da
[mm] $$|\{\{b,c\}, \{b\}\}|=2 [/mm] < [mm] 4\,.$$
[/mm]
Also:
Nächster Versuch! (Denk' mit und zähl' nach - ich gebe nicht umsonst einen Wert zum NACHZÄHLEN/ZUR KONTROLLE mit an!)
Gruß,
Marcel
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Ub={{a,b,c} {b,c} {b} {a,b}} Sorry ahb mich vertan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ub={{a,b,c} {b,c} {b} {a,b}} Sorry ahb mich vertan.
würdest Du die Elemente noch mit Kommata trennen, wäre ich ganz zufrieden 
Abso so passt das dann schon!
P.S.:
Schreibst Du vllt. manchmal vom Handy aus?
Gruß,
Marcel
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Nein. Ich bin einfach nur ne Schreibfaule Nudel ;-P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Nein.
es wirkte halt teilweise so - daher die Frage ^^
> Ich bin einfach nur ne Schreibfaule Nudel ;-P
Wenigstens bist Du ehrlich. (Ich bin auch ehrlich: Du bist sicher nicht talentfrei, was die Mathematik betrifft, aber zu faul darfst Du nicht sein/werden - ansonsten siehst Du schnell den ICE vor Dir wegsausen. Dann kannst Du nur noch hinterherlaufen und hoffen, dass die von Dir eingeplanten Verspätungen weiterhin mit den statistisch berechneten Erwartungen übereinstimmen... oder Du nimmst halt ein anderes Fortbewegungsmittel. Kannst natürlich auch hinterherfliegen, solltest Du etwa Superman sein ^^)
Gruß,
Marcel
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Das Kompliment kann ich zurückgeben^^. Ich gelobe Besserung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Di 06.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Angela,
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> U ist eine Menge des Mengensystems der Potenzmenge. Denn
> der Begriff "Potenzmenge" mag hier irreführend klingen.
> Die Potenzmenge ist mehr ein Mengensystem und U ist ein
> Teil dessen.
>
> Beweis:
>
> a)
>
> [mm]x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N) \gdw x\in U\subseteq\mathcal{P}(M)\wedge x\in U\subseteq\mathcal{P}(N)\gdw x\in U\subseteq (\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N))\gdw x\in\mathcal{P}(M\cap N)[/mm]
was mir hier klar wird, ist, dass Dir wohl nicht ganz klar ist, was Du eigentlich brauchst, um das zu zeigen, was Du zeigen willst - und was unnötiger Weise und verwirrender Weise von Dir benutzt wird!
Also:
Seien [mm] $M,\;N$ [/mm] irgendwelche Mengen. Dann sind [mm] $P(M):=\{A: A \subseteq M \}$ [/mm] und [mm] $P(N):=\{B: B \subseteq N\}$ [/mm] die zugehörigen Potenzmengen.
Zu zeigen ist:
$$P(M [mm] \cap [/mm] N)=P(M) [mm] \cap P(N)\,,$$
[/mm]
anders gesagt
[mm] $$\{Q: Q \subseteq (M \cap N)\}=\{A: A \subseteq M\}\cap \{B: B \subseteq N\}\,.$$
[/mm]
Zu [mm] "$\subseteq$":
[/mm]
Sei $X [mm] \in [/mm] P(M [mm] \cap N)=\{Q: Q \subseteq (M \cap N)\}\,.$ [/mm] Dann erfüllt $X$ sicher
$$X [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cap N)\,.$$
[/mm]
Damit gilt aber wegen $(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] M$ und $(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] N$ sowohl einerseits $X [mm] \subseteq [/mm] M$ als auch andererseits $X [mm] \subseteq N\,,$ [/mm] und damit folgt... (Kannst Du das ergänzen?)
Zu [mm] "$\supseteq$":
[/mm]
Sei nun $X [mm] \in [/mm] P(M) [mm] \cap P(N)\,.$ [/mm] Dann gilt $X [mm] \in [/mm] P(M)$ und auch $X [mm] \in P(N)\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $P(M)\,$ [/mm] bzw. [mm] $P(N)\,$ [/mm] gelten daher folgende Teilmengenbeziehungen:
[mm] $$\ldots$$
[/mm]
und daher folgt ... und damit ... (Kannst Du das auch ergänzen?)
P.S.:
Damit Dir mal klar wird, was bei Dir "unschön" ist (und wohl auch nicht ganz ausformuliert - ich habe mal erraten, wie Du das meinen könntest/solltest):
Betrachten wir mal [mm] $M=\{1,2\}$ [/mm] und [mm] $N=\{2,3\}\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $P(M)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ [/mm] und [mm] $P(N)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\,,$ [/mm] daher
$$P(M) [mm] \cap P(N)=\{\emptyset,\{2\}\}\,.$$
[/mm]
Und Du wirst wegen $M [mm] \cap N=\{2\}$ [/mm] auch einsehen, dass
$$P(M [mm] \cap N)=P(\{2\})=\{\emptyset,\{2\}\}$$
[/mm]
gilt.
Jetzt schaue ich mir "Deine Beweisstrategie" an, also oben, a). Du nimmst ein $x [mm] \in [/mm] P(M) [mm] \cap [/mm] P(N)$ her, machen wir das, nehmen wir bspw.
[mm] $$x=\{2\}\,.$$
[/mm]
Okay, [mm] $x=\{2\} \in [/mm] P(M)$ und [mm] $x=\{2\} \in [/mm] P(N)$ stimmt, auch logisch ist Deine erste Aussage
$$x [mm] \in [/mm] P(M) [mm] \cap [/mm] P(N) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] P(M) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] P(N))$$
nach Definition des Schnittes absolut in Ordnung!
Aber jetzt (!!):
Du sagst nun, dass, wenn $x [mm] \in [/mm] P(M)$ und $x [mm] \in [/mm] P(N)$ gilt, Deiner Ansicht nach wohl ein [mm] $U\,$ [/mm] existiert mit $U [mm] \subseteq [/mm] P(M)$ und $U [mm] \subseteq [/mm] P(N)$ mit $x [mm] \in [/mm] U$?
(Du schreibst ja $(x [mm] \in [/mm] P(M) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] P(N)) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] P(M) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq P(N))\,,$ [/mm] und ich deute dort die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] so, auch, wenn das schon formal alles andere als sauber oder klar notiert ist - solltest Du es so meinen.)
Dann schauen wir mal:
Die Menge [mm] $x=\{2\}$ [/mm] erfüllt ja [mm] $\{2\}=x \in P(\{1,2\})=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ [/mm] und [mm] $\{2\}=x \in P(\{2,3\})=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\,.$ [/mm]
Nach Deiner Folgerung muss es also eine Menge $U [mm] \subseteq P(M)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ [/mm] geben, so dass [mm] $x=\{2\} \in U\,.$ [/mm] Dann müsste die Menge [mm] $U\,$ [/mm] also so aussehen:
[mm] $$U=\{x,\;\ldots\}$$
[/mm]
oder anders geschrieben
[mm] $$U=\{\;\{2\},\;\ldots\;\}\,.$$
[/mm]
Analog muss ja auch $U [mm] \subseteq [/mm] P(N)$ gelten, und ja:
Natürlich gibt's solch' ein [mm] $U\,,$ [/mm] nämlich einfach [mm] $U:=\{\;\{2\}\;\}\,.$
[/mm]
Aber: Wozu braucht man das denn eigentlich? (Wie Fred schon sagte: Was hat das "bekloppte [mm] $U\,$" [/mm] eigentlich für einen Zweck? Es verwirrt höchstens, anstatt zu helfen!)
Es ist nur eine unnötige Einführung von etwas, was man sich ersparen kann - zumal, wenn man solche "Existenzbehauptungen" mit einbaut, diese auch nochmal beweisen/begründen muss.
Mach' Dir das oben klar, dass das unnötig ist. Nochmal am Beispiel:
Wegen
$$M [mm] \cap N=\{2\}$$
[/mm]
ist
$$P(M [mm] \cap N)=\{\emptyset,\;\{2\}\}$$
[/mm]
und daher
[mm] $$X:=\{2\} \in [/mm] P(M [mm] \cap N)\,.$$
[/mm]
Du hättest nun [mm] $X=\{2\} \in [/mm] P(M)$ und [mm] $X=\{2\} \in [/mm] P(N)$ zum Beispiel nachzuweisen. Wenn Du aber eh schon [mm] $X=\{2\} \in [/mm] P(M [mm] \cap [/mm] N)$ weißt, dann weißt Du doch [mm] $X=\{2\} \subseteq [/mm] (M [mm] \cap N)\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $X=\{2\} \subseteq [/mm] M$ und [mm] $X=\{2\} \subseteq N\,,$ [/mm] weil $(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] M$ und $(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \subseteq N\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $X=\{2\} \in [/mm] P(M)$ und auch [mm] $X=\{2\} \in P(N)\,,$ [/mm] also [mm] $X=\{2\} \in [/mm] (P(M) [mm] \cap P(N))\,.$
[/mm]
Ich meine:
Wenn Du etwa $A [mm] \cap [/mm] B=A$ für $A [mm] \subseteq [/mm] B$ nachzuweisen hast, dann sagst Du ja auch nicht:
" [mm] '$\subseteq$':
[/mm]
Sei $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap B\,.$ [/mm] Dann gibt es eine Menge $U [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ mit $x [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$ [/mm] (Natürlich kann man das machen und es gibt die: Setze einfach [mm] $U:=\{x\}\,.$)..."
[/mm]
und argumentierst dann weiter.
Sondern Du sagst:
" [mm] '$\subseteq$':
[/mm]
Sei $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$ [/mm] Dann ist $x [mm] \in [/mm] A$ und es ist $x [mm] \in B\,.$ [/mm] ..."
Daher könnte eine "korrigierte" Version Deines Beweisteils a) so aussehen:
$$ [mm] x\in\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)\gdw x\in\mathcal{P}(M)\wedge x\in\mathcal{P}(N) \gdw [/mm] x [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \red{\gdw} [/mm] x [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cap N)\gdw x\in\mathcal{P}(M\cap N)\,.$$
[/mm]
Dabei ist wenigstens bei dem roten [mm] $\red{\gdw}$ [/mm] die Folgerung [mm] $\Rightarrow\,,$ [/mm] also
$$(x [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \subseteq [/mm] N) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)$$
ganz kurz zu beweisen:
"Sei $r [mm] \in x\,.$ [/mm] Wegen $x [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt dann $r [mm] \in [/mm] M$ und wegen ..."
Ich hätte das aber persönlich, einfach schon der Übung wegen, gesplittet:
Die Folgerungen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] zeigen ja hier gerade [mm] $(\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N)) \subseteq \mathcal{P}(M \capN)\,,$ [/mm] die Folgerungen [mm] $\Leftarrow$ [/mm] eben [mm] $\mathcal{P}(M \cap [/mm] N) [mm] \subseteq (\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(N))\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich weiß jetzt nicht, was dir nicht klar ist. Nochmal
> zurück zur Aufgabe vielleicht wird dir klar, was ich meine
> [mm]x\in U\subseteq\mathcal{P}(M)\wedge x\in U\subseteq\mathcal{P}(N)\gdw x\in U\subseteq(\mathcal{P}(M)\cap\mathcal{P}(M))[/mm].
Was hats denn mit diesem U auf sich ????? Das ist mir nicht klar.
FRED
> Das ist denke ich der fehlende zwischenschritt auch analog
> zu b).
>
> Richtig?
>
> Gruß
>
> Christoph
>
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Hallo Fred und Angela,
also U ist eine Menge des Mengensystems (hier als Potenmenge bezeichnet). Und jenes U liegt im Schnitt des Mengenssystems und damit auch x in U. Das meinte ich zur Hinführung zur Potenzmenge des Schnittes.
Lieben Gruß
Christoph
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Hallo,
Du solltest unbedingt mal auf meinen Beitrag von 12:24Uhr eingehen...
> also U ist eine Menge des Mengensystems (hier als
> Potenmenge bezeichnet).
Du unterliegst einem Irrtum: Potenzmenge ist nicht ein anderes Wort für Mengensystem. Die Potenzmenge einer Menge ist zwar ein Mengensystem (=eine Menge von Mengen), aber ein ganz bestimmtes. Welches, darüber gibt die Definition Auskunft.
> Und jenes U liegt im Schnitt des
> Mengenssystems
Was meinst Du mit "Schnitt des Mengensystems"? Schnitt des Mengensystems mit was?
> und damit auch x in U.
Was ist denn jetzt x?
Was hat x mit U zu tun?
> Das meinte ich zur
> Hinführung zur Potenzmenge des Schnittes.
Hm.
LG Angela
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