Potenzmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 26.02.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Wie kann man für irgendeine Indexmenge $I$ eine Menge $A$ bestimmen, für die gilt:
[mm] $\mathfrak{P}(A)=\left\{A_i~|~i\in I\right\}$? [/mm] |
Ich muss also eine Menge konstruieren, deren Potenzmenge aus den [mm] $A_i$ [/mm] besteht.
Wie macht man das?
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Hiho,
wenn die [mm] A_i [/mm] in der Potenzmenge von A liegen sollen, so gilt ja gezwungenermaßen:
[mm] $A_i \subseteq [/mm] A$
Das kleinste A, dass dies erfüllt, wäre $A = [mm] \bigcup_{i\in I} A_i$
[/mm]
Allerdings erhälst du damit nur sicher:
[mm] $\{A_i \,|\; i\in I\} \subseteq \mathcal{P}(A) [/mm] $
Die Gleichheit gilt im Allgemeinen nicht.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 26.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Dankeschön!
Was ist, wenn [mm] $I=\emptyset$?
[/mm]
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Hiho,
wenn $I = [mm] \emptyset$, [/mm] so ist trivialerweise $A = [mm] \emptyset$
[/mm]
Eine Menge A, so dass [mm] $\mathcal{P}(A) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] gilt, existiert nicht, da $1 [mm] \le \left|\mathcal{P}(A)\right|$ [/mm] immer gilt, da [mm] $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ [/mm] immer gilt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 26.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Kurze Nachfrage:
Wenn [mm] $I=\emptyset$, [/mm] ist
[mm] $\left\{A_i~|~i\in\emptyset\right\}=\emptyset$, [/mm] weil es keine solche i's in der leeren Menge gibt?
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Hiho,
> Kurze Nachfrage:
>
> Wenn [mm]I=\emptyset[/mm], ist
>
> [mm]\left\{A_i~|~i\in\emptyset\right\}=\emptyset[/mm], weil es keine
> solche i's in der leeren Menge gibt?
ja, das wäre die einzig sinnvolle Auslegung.
Im Normalfall sagt man aber:
"Sei [mm] $I\not= \emptyset$ [/mm] beliebige Indexmenge....."
d.h. der Fall kann gar nicht auftreten.
Aber wenn man es unbedingt mitdefinieren möchte, nur so, wie du oben erwähnt hast.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 26.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Nochmal dazu eine ähnliche Frage, weil ich mich mit der leeren Menge als Indexmenge schwer tue (was wir aber manchmal zugelassen haben).
Wenn ich mir jetzt sowas anschaue:
[mm] $\left\{x~|~\forall i\in\emptyset: x\in A_i\right\}$ [/mm] so hat man doch die Allklasse? Denn für jedes beliebige x trifft es so daß es in den [mm] $A_i$ [/mm] enthalten ist?
Ich erkläre mir das immer so: Es gibt gar keine i, für die man das zeigen müsste. Also gilt es.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nochmal dazu eine ähnliche Frage, weil ich mich mit der
> leeren Menge als Indexmenge schwer tue (was wir aber
> manchmal zugelassen haben).
>
> Wenn ich mir jetzt sowas anschaue:
>
> [mm]\left\{x~|~\forall i\in\emptyset: x\in A_i\right\}[/mm] so hat
> man doch die Allklasse? Denn für jedes beliebige x trifft
> es so daß es in den [mm]A_i[/mm] enthalten ist?
>
> Ich erkläre mir das immer so: Es gibt gar keine i, für
> die man das zeigen müsste. Also gilt es.
ja. Oder Du sagst: Sei [mm] $M:=\left\{x~|~\forall i\in\emptyset: x\in A_i\right\}\,.$ [/mm] Angenommen, es gäbe ein [mm] $x\,$ [/mm] mit $x [mm] \notin M\,.$ [/mm] Dann existierte auch ein [mm] $i_0 \in \emptyset$ [/mm] so, dass $x [mm] \notin A_{i_0}\,.$ [/mm] Dann wäre [mm] $\{i_0\} \subseteq \emptyset$ [/mm] und damit [mm] $|\emptyset| \ge |\{i_0\}|=1\,.$ [/mm] Widerspruch (zu [mm] $|\emptyset|=0$)!
[/mm]
Aber Dein Argument ist auch das, was ich bevorzugen würde: In [mm] $\emptyset$ [/mm] gibt's keine Elemente, für die man irgendwas zu zeigen hat!
Gruß,
Marcel
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