Potenzmenge P(M) enthaelt 2^M Elemente < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:48 Do 24.06.2004 | | Autor: | DerAndiY |
Dass die Potenzmenge P(M) einer Menge M [mm] 2^M [/mm] Elemente enthaelt leuchtet ein und weiss man seit der 10. Klasse.
Aber wie kann man einen math. korrekten Beweis dazu fuehren?
Cheers
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Do 24.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Andi!
> Dass die Potenzmenge P(M) einer Menge M [mm]2^M[/mm] Elemente
> enthaelt leuchtet ein und weiss man seit der 10. Klasse.
Uups, ich habe das erst an der Uni gelernt.
> Aber wie kann man einen math. korrekten Beweis dazu
> fuehren?
Für endliches $M$ mit vollständiger Induktion nach der Anzahl $n$ der Elemente von $M$. Für $n=0$ und $n=1$ ist die Behauptung klar.
Ist sie für alle Mengen $N$ mit $|N|=n$ bereits bewiesen, so wählen wir uns im Falle $|M|=n+1$ ein [mm] $m_0 \in [/mm] M$ beliebig aus und betrachten in $M$ zwei Sorten von Teilmengen: diejenigen die [mm] $m_0$ [/mm] enthalten und diejenigen, die [mm] $m_0$ [/mm] nicht enthalten.
Führe das doch mal sauber zu Ende und stelle deine Lösung zur Kontrolle hier rein...
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius,
wie Du ja gesagt hast kann man P(M) in zwei Teilmengen [mm] P_1=\{E \subseteq M | m_0 \in M \} [/mm] und [mm] P_2=\{E \subseteq M| m_0 \notin M \} [/mm] unterteilen. Laut Vorraussetzung gilt [mm] \|P_2\| [/mm] = [mm] 2^n. [/mm] Weiterhin gilt laut Vorraussetzung [mm] \|P_1\| [/mm] = [mm] 2^n [/mm] da [mm] P_1 [/mm] diejenigen Mengen aus [mm] P_2 [/mm] sind, denen das Element [mm] m_0 [/mm] hinzugefuegt werden muss. Ergo: [mm] 2^n [/mm] + [mm] 2^n [/mm] = [mm] 2*2^n [/mm] = [mm] 2^n+1
[/mm]
Fuer Anregungen (und vor allem Kritik) waere ich sehr Dankbar.
Auch was Formalitaeten betrifft.
Cheers
Andy
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