Potenzmenge/ Teilmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Potenzmenge der Menge A := {a; b}.
Beantworten Sie die folgenden Entscheidungsfragen (ja / nein): |
(i) Gilt [mm] \emptyset [/mm] [mm] \subseteq [/mm] P(A)?
(ii) Gilt a [mm] \in [/mm] P(A)?
(iii) Gilt {b} [mm] \in [/mm] P(A)?
(iv) Gilt {b} [mm] \subseteq [/mm] P(A)?
Also: Die Potenzmenge ist in diesem Fall: P(A) = { [mm] \emptyset, [/mm] {a}, {b}, {a,b}}
Meine Lösungen sind: nein, nein, ja, nein
Jetzt mein (Verständnis-)Problem: Teilmengen von P(A) wären die Mengen [mm] \emptyset [/mm] und {b} doch nur, wenn da stünde { [mm] \emptyset [/mm] } bzw {{b}}, denn ohne eine zweite geschweifte Klammer sind es doch lediglich Elemente dieser, oder?
Grüße.
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> Bestimmen Sie die Potenzmenge der Menge A := {a; b}.
> Beantworten Sie die folgenden Entscheidungsfragen (ja /
> nein):
> (i) Gilt [mm]\emptyset[/mm] [mm]\subseteq[/mm] P(A)?
> (ii) Gilt a [mm]\in[/mm] P(A)?
> (iii) Gilt {b} [mm]\in[/mm] P(A)?
> (iv) Gilt {b} [mm]\subseteq[/mm] P(A)?
>
> Also: Die Potenzmenge ist in diesem Fall: P(A) = [mm] \{\emptyset,\{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}
[/mm]
Hallo,
das stimmt.
> Meine Lösungen sind: nein, nein, ja, nein
>
> Jetzt mein (Verständnis-)Problem: Teilmengen von P(A)
> wären die Mengen [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \{b\} [/mm] doch nur, wenn da
> stünde [mm] \{\emptyset\} [/mm] bzw [mm] \{\{b\}\}, [/mm] denn ohne eine zweite
> geschweifte Klammer sind es doch lediglich Elemente dieser,
> oder?
Ich sag' jetzt mal nicht ja oder nein.
Wir gehen's anders an:
wie ist denn "X ist Teilmenge von Y" definiert?
So: jedes Element von X ist auch Element von Y.
Anders gesagt: in X gibt es kein Element, welches nicht auch in Y ist.
Dies müssen wir prüfen, wenn wir eine Menge daraufhin untersuchen wollen, ob sie eine Teilmenge einer anderen Menge ist.
Nun schauen wir mal:
P(A) hast Du hingeschrieben.
P(A) enthält 4 Elemente, nämlich die Elemente [mm] \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}.
[/mm]
zu i.:
Ist [mm] \emptyset [/mm] eine Teilmenge von P(A)?
Gibt es in [mm] \emptyset [/mm] ein Element, welches nicht in P(A) ist? Na???
zu ii.:
Ist a ein Element von P(A)?
Nein, ist's nicht.
zu iii.:
Ist [mm] \{b\} [/mm] ein Element von P(A)?
Ja, das sehen wir ja oben.
zu iv.:
Ist [mm] \{b\} [/mm] eine Teilmenge von P(A)?
Da müssen wir nachschauen, ob b auch ein Element von P(A) ist. Ist's nicht. Also keine Teilmenge.
Am Anfang sind diese Dinge etwas verwirrend, insbesondere, wenn [mm] \emptyset [/mm] im Spiel ist:
[mm] \emptyset \in [/mm] P(A),
[mm] \emptyset \subseteq [/mm] P(A),
[mm] \{\emptyset\}\subseteq [/mm] P(A),
[mm] \{\{b\}\}\subseteq [/mm] P(A).
LG Angela
>
> Grüße.
>
>
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Hallo, und danke für die Antwort.
Noch eine Sache verwirrt mich.
[mm] \emptyset \in [/mm] P(A),
[mm] \emptyset \subseteq [/mm] P(A),
[mm] \{\emptyset\}\subseteq [/mm] P(A),
Stimmt jetzt jede dieser Aussagen?
Dass erstere und letztere richtig sind, kann ich mir gut vorstellen.
Nur bei der zweiten nicht so ganz.
P(A) enthält doch die leere Menge. Aber die leere Menge an sich enthält doch keine Menge. Dementsprechend müsste die Aussage falsch sein, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Di 07.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\emptyset \in[/mm] P(A),
> [mm]\emptyset \subseteq[/mm] P(A),
> [mm]\{\emptyset\}\subseteq[/mm] P(A),
>
> Stimmt jetzt jede dieser Aussagen?
>
> Dass erstere und letztere richtig sind, kann ich mir gut
> vorstellen.
Okay.
> Nur bei der zweiten nicht so ganz.
> P(A) enthält doch die leere Menge. Aber die leere Menge
> an sich enthält doch keine Menge. Dementsprechend müsste
> die Aussage falsch sein, oder?
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:
[mm] $\emptyset\subseteq [/mm] A$.
Außerdem ist die einzige Teilmenge der leeren Menge selbst die leere Menge:
[mm] $A\subseteq\emptyset\Rightarrow A=\emptyset$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Di 07.10.2014 | | Autor: | Haloelite |
Super. Danke! :)
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