Potenzmengenring / symm. Diff. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei M eine beliebige Menge, Pot(M) die Potenzmenge von M und + eine Verknüpfung auf Pot(M) so, daß $ (Pot(M), +, [mm] \cap) [/mm] $ ein Ring ist.
Man zeige: Dann ist + die symmetrische Differenz $ [mm] \triangle [/mm] $ auf Pot(M). |
Hallo liebes Forum,
Ich komme bei o.g. Aufgabe nicht weiter.
Bisherige Vorüberlegungen meinerseits:
Sei $R := (Pot(M), +, [mm] \cap) [/mm] $ ein Ring lt. Aufgabenstellung.
Dann ist R idempotent, d.h. [mm] $A\cap [/mm] A = A$ für alle [mm] $A\in [/mm] Pot(M)$ .
Also gilt $A+A = 0$ (*)
(folgt aus der Idempotenz, dies läßt sich leicht zeigen)
Es folgt $0 = [mm] \emptyset$ [/mm] , da [mm] $\emptyset [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] + [mm] \emptyset [/mm] = 0$
(das erste = folgt direkt aus der Idempotenz, das zweite aus der Folgerung (*)).
Also $A+0 = [mm] A\triangle\emptyset$ [/mm] .
Aber das reicht noch nicht! Wie zeige ich $A+B = [mm] A\triangle [/mm] B$ für alle [mm] $A,B\in [/mm] Pot(M)$ ??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Di 03.07.2007 | | Autor: | wauwau |
durch die idempotenz haben wir einen booleschen Ring der von einer boolschen Algebra eindeutig induziert wird....
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Hmm... Danke, hilft mir aber beim Beweis nicht weiter?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Di 03.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Da der induzierte Ring eindeutig ist, musst du nur mehr beweisen dass + mit der symm.Diff wirklich ein Ring ist....
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Hallo, danke für Deine Hilfe!
Das bringt mich schonmal einen Schritt weiter, obwohl ich es noch nicht zu 100% verstehe ...
Die Richtung, die Du angibst, wäre für mich lösbar (d.h. ich setze $+ := [mm] \triangle$ [/mm] und zeige, daß $(Pot(M), +, [mm] \cap)$ [/mm] die Axiome eines Ringes erfüllt). Das "kniffeligste" ist dabei das Assoziativgesetz, was aber hauptsächlich Schreibkram ist. Das Beste daran ist, daß ich das für $+ = [mm] \triangle$ [/mm] schonmal bewiesen habe 
Aber ich habe die Begründung noch nicht verstanden:
Du schreibst: "durch die idempotenz haben wir einen booleschen Ring der von einer boolschen Algebra eindeutig induziert wird".
Kannst Du mir das mit der Eindeutigkeit noch etwas genauer erklären? Ich weiß also, was ich zu tun habe, habe aber noch nicht so ganz verstanden, warum es in dieser Aufgabe reicht, + := [mm] \triangle [/mm] zu setzen?! Wie begründet sich diese Eindeutigkeit?
Im Voraus schonmal vielen Dank für einen Hinweis und danke nochmal für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mi 04.07.2007 | | Autor: | wauwau |
wenn ihr diese Aquivalenz zwischen Booleschen Algebren und Ringen noch nicht hattet, kannst du es auch explizit rechnen
[mm]Y \subseteq A\backslash B [/mm]
d.h.
[mm]Y \cap B = \emptyset [/mm] und [mm]Y \cap A = Y[/mm]
[mm]Y \cap (A+B)=Y \cap A + Y\cap B = Y+\emptyset =Y[/mm]
daher [mm] A\backslash B\subseteq(A+B)
[/mm]
analog natürlich für [mm]B\backslash A[/mm]
d.h. also [mm]A\backslash B \cup B\backslash A[/mm] ist Teilmenge von A+B
da stets [mm] C+C=\emptyset [/mm] gilt, gilt ebenso
[mm] (A\cap B)\cap(A+B)=(A\cap B\cap A)+(A\cap B\cap B)=\emptyset
[/mm]
folgt [mm]A\cap B \not\subseteq A+B[/mm]
Sei nun [mm] X\cap A=\emptyset [/mm] und [mm] X\cap B=\emptyset
[/mm]
so folgt [mm] X\cap(A+B)=\emptyset
[/mm]
alles zusammen also
A+B ist symmetrische Differenz
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