Potenzreihe->Koeffizientenverg < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mi 18.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Abend! Hab hier ne schöne aufgabe, die ich gerne verstehen würde...
Berechne die Potenzreihe (Anfang):
Die durch die Gleichung
[mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] + 1 = 3*x*y
definierte implizite Funktion y = f(x), bis zu x3.
(Hinweis: Ansatz und Koeffizientenvergleich mit den durch die Vorlesung bekannten
Potenzreihen.)
So ich hab null ahnung wie man das machen soll...mir wurde als Hielfe das hier an die Tafel gekrizelt: [mm] y^3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] * [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3*a^2*b*x [/mm] + [mm] 3*a^2*c*x^2+ 3*a^2*d*x^3+3*a*b^2*x^2+ 6*a*b*c*x^3 [/mm] + [mm] o(x^4)
[/mm]
was soll ich damit tun? und überhaupt: wie lös ich die Gleichung nach y auf? das muss ich doch sicher als erstes tun oder?
Danke!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mi 18.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...sry da is noch ein Fehler: "...bis zu [mm] x^3" [/mm] (und nich bis zu x3)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 18.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Abend! Hab hier ne schöne aufgabe, die ich gerne verstehen
> würde...
>
> Berechne die Potenzreihe (Anfang):
> Die durch die Gleichung
> [mm]x^3[/mm] + [mm]y^3[/mm] + 1 = 3*x*y
> definierte implizite Funktion y = f(x), bis zu x3.
> (Hinweis: Ansatz und Koeffizientenvergleich mit den durch
> die Vorlesung bekannten
> Potenzreihen.)
>
> So ich hab null ahnung wie man das machen soll...mir wurde
> als Hielfe das hier an die Tafel gekrizelt: [mm]y^3 = a^3 + b^3 * x^3 + 3*a^2*b*x + 3*a^2*c*x^2+ 3*a^2*d*x^3+3*a*b^2*x^2+ 6*a*b*c*x^3 + o(x^4)[/mm]
Das ergibt sich aus $y = a +b x +c [mm] x^2 [/mm] + [mm] dx^3+O(x^4)$.
[/mm]
>
> was soll ich damit tun? und überhaupt: wie lös ich die
> Gleichung nach y auf? das muss ich doch sicher als erstes
> tun oder?
Nein, eben nicht!
Du sollst eine unbestimmte Reihenentwicklung der Form $y = a +b x +c [mm] x^2 [/mm] + [mm] dx^3+O(x^3)$ [/mm] ansetzen und die Koeffizienten auf beiden Seiten vergleichen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 18.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...danke! Ich verstehs im Grunde...es werden alle Potenzen die über 3 gehen weggelassen...und wenn man das dann mit 3 potenziert giebt es [mm] a^3+b^3*x^3+ [/mm] ...naja und jetzt ist mir nicht mehr klar wieso die anderen Summanden so aussehen wie sie aussehen...also bei hoch drei hat man mal die Form: 1 3 3 1, oder? jetzt hab ich aber nicht nur zwei summanden in der Klammer...
Wie kommt man zum Beispiel auf [mm] 3*a^2*b*x [/mm] ? wieso vermischt sich hier das a mit dem bx ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Mi 18.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...die Frage ist in der vorherigen Miteilung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 18.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...mir ist das ganze doch jetzt nicht so klar...jetzt hab ich koeffizientenvergleich gemacht, und habe folgendes erhalten:
a = 1 / b
c = 0
[mm] 1+b^3 [/mm] + 3*1/ [mm] b^2 [/mm] * d = 0
(und dann hab ich noch eine 1 auf einer Seite und auf der anderen nicht...laut regel des Koeffizientenvergleichs können jetzt die Polynome gar nicht gleich sein? ...also hab ich falsch gerechnet, oder?)
ob das jetzt falsch oder richtig ist ist mir gerade egal, interessieren würde mich was das jetzt doch mit einer Potenzreihenentwicklung zu tun hat, sind das jetzt die ersten 4 glieder der Potenzreihe y, die eigentlich noch viel mehr koeffizienten hat? Ist y ein Polynom von unendlichem Gerad?
Ich bin verwirrt^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mi 18.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...muss ich noch was mit den Ableitungen machen?; )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Do 19.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ...mir ist das ganze doch jetzt nicht so klar...jetzt hab
> ich koeffizientenvergleich gemacht, und habe folgendes
> erhalten:
>
> a = 1 / b
> c = 0
> [mm]1+b^3 + 3*1/ b^2 * d = 0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (und dann hab ich noch eine 1 auf einer Seite und auf der
> anderen nicht..
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du den Summanden [mm] $a^3$ [/mm] verschlampt.
> ob das jetzt falsch oder richtig ist ist mir gerade egal,
> interessieren würde mich was das jetzt doch mit einer
> Potenzreihenentwicklung zu tun hat, sind das jetzt die
> ersten 4 glieder der Potenzreihe y, die eigentlich noch
> viel mehr koeffizienten hat?
Ja, das ist genau der Punkt. Aus der impliziten Gleichung [mm] $x^3+y^3+1 [/mm] = 3xy$ kannst du die Potenzreihendarstellung der Funktion $y=f(x)$ durch diese Methode bestimmen: Ansetzen der Potenzreihe von f mit unbestimmten Koeffzienten, Einsetzen in die implizite Gleichung und Koeffizientenvergleich.
(Praktisch macht man das anders, man leitet eine Rekursionsformel für die Koeffizienten ab, siehe Knuth's ![[]](/images/popup.gif) The Art of Computer Programming, Vol.2, Abschnitt 4.7.)
> Ist y ein Polynom von unendlichem Gerad?
Diese Ansicht teilst du mit Leonhard Euler 
Der hat Potenzreihen als Verallgemeinrung von Polynomen auf unendlich hohen Grad betrachtet. Damit ignorierst du allerdings das Problem der Konvergenz der Reihe. Solange du nur formale Potenzreihen betrachtest, ist das OK.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Do 19.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ...danke! Ich verstehs im Grunde...es werden alle Potenzen
> die über 3 gehen weggelassen...und wenn man das dann mit 3
> potenziert giebt es [mm]a^3+b^3*x^3+[/mm] ...naja und jetzt ist mir
> nicht mehr klar wieso die anderen Summanden so aussehen wie
> sie aussehen...also bei hoch drei hat man mal die Form: 1 3
> 3 1, oder? jetzt hab ich aber nicht nur zwei summanden in
> der Klammer...
Da musst du halt explizit ausmultiplizieren.
>
> Wie kommt man zum Beispiel auf [mm]3*a^2*b*x[/mm] ? wieso vermischt
> sich hier das a mit dem bx ?
Vielelicht ist es am einfachsten, wenn du das iterativ machst:
[mm](a+bx+cx^2+dx^3)^3 = (a + (bx+cx^2+dx^3))^3 = a^3 +3 a^2* (bx+cx^2+dx^3) + 3 a * ((bx+cx^2+dx^3)^2) + (bx+cx^2+dx^3)^3 [/mm]
usw.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Mi 25.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Danke vielmals!
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