Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius für die folgende Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{x^n}{n} [/mm] |
Also das ist eine Beispielaufgabe im Buch.
Das ist ja eine alternierende Reihe mit
[mm] a_n=(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=(-1)^{n+2}*\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Jetzt steht im Buch:
Der Konvergenzradius beträgt nach Formel:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n+1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)=1
[/mm]
Das heisst, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert.
Mein Problem ist jetzt nur wieso beim einsetzen in die Formel das [mm] (-1)^{n+1} [/mm] bzw [mm] (-1)^{n+2} [/mm] verschwunden ist?!
Ich hätte es nämlich sonst so geschrieben:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{(-1)^{n+1}}{n}}{\bruch{1}{(-1)^{n+2}}}
[/mm]
=...
Aber anscheinend habe ich da noch etwas nicht so ganz verstanden, denn [mm] (-1)^{n+1} [/mm] ist doch nur bei ungeradem n =1...
Oder liegt das an den Betragsstrichen um die Formel rum...
Ouch wahrscheinlich habe ich jetzt meine Frage selbst beanwtortet.
Danke und Gruß,
tedd
|
|
| |
|
Hi!
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius für die folgende
> Potenzreihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n+1*\bruch{x^n}{n}[/mm]
> Also das ist eine Beispielaufgabe im Buch.
> Das ist ja eine alternierende Reihe mit
> [mm]a_n=(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=(-1)^{n+2}*\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Jetzt steht im Buch:
>
> Der Konvergenzradius beträgt nach Formel:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n+1}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)=1[/mm]
>
> Das heisst, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert.
>
> Mein Problem ist jetzt nur wieso beim einsetzen in die
> Formel das [mm](-1)^{n+1}[/mm] bzw [mm](-1)^{n+2}[/mm] verschwunden ist?!
>
> Ich hätte es nämlich sonst so geschrieben:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{(-1)^{n+1}}{n}}{\bruch{1}{(-1)^{n+2}}}[/mm]
>
> =...
>
> Aber anscheinend habe ich da noch etwas nicht so ganz
> verstanden, denn [mm](-1)^{n+1}[/mm] ist doch nur bei ungeradem n
> =1...
> Oder liegt das an den Betragsstrichen um die Formel
> rum...
> Ouch wahrscheinlich habe ich jetzt meine Frage selbst
> beanwtortet.
Genau! Aufgrund der Betragsstriche werden sowieso die Terme für jedes n positiv! Also kannst du [mm] (-1)^n [/mm] auch gleich ganz weglassen.
Vielleicht nochmal ausführlich:
[mm] $|(-1)^n|=(|-1|)^n=1^n=1$ $\forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}$
[/mm]
> Danke und Gruß,
> tedd
Grüße Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Wie gesagt: Du hattest Dir die Frage schon selber beantwortet.
> Ich hätte es nämlich sonst so geschrieben: [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{(-1)^{n+1}}{n}}{\bruch{1}{(-1)^{n+2}}}[/mm]
Hier hat sich wohl etwas der Tippfehlerteufel eingeschlichen. Das muss natürlich heißen:
$$r \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{(-1)^{n+1}}{n}}{\bruch{(-1)^{n+2}}{n+1}}\right|$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
natürlich!
:)
Danke für die Antworten ihr zwei! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
|
