Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen x konvergiert die folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] |
So ich hab da mehrere Sachen wo ich mir unsicher war:
Ich weis, dass
(n+1)!=n!*(n+1)
ist dann auch
(2n+1)!=n!*(2n+1)
oder
(2n+3)!=n!*(2n+3)
?
Die Potenzreihe lautet:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Kann ich dann schreiben:
[mm] a_n=(-1)^n*\bruch{1}{(2n+1)!}
[/mm]
?
dann wäre
[mm] a_{n+1}=(-1)^{n+1}*\bruch{1}{(2n+3)!}
[/mm]
Dann könnte ich jetzt in die Formel einsetzen:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{(2n+1)!}}{\bruch{1}{(2n+3)!}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+3)!}{(2n+1)!}
[/mm]
sofern obige Annahme mit dem umformen der Fakultät stimmt:
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!(2n+3)}{n!(2n+1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2+\bruch{3}{n}}{2+\bruch{1}{n}}
[/mm]
=1
Dann wäre der Konvergenzradius
|x|<1
Da bin ich mal gespannt ob das stimmt.
Habe noch Fragen bzgl. der Randpunkte aber ich warte lieber erstmal ab ob obige Rechnung richtig ist.
Danke und besten Gruß,
tedd
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Hey
> Für welche reellen Zahlen x konvergiert die folgende
> Reihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> So ich hab da mehrere Sachen wo ich mir unsicher war:
>
> Ich weis, dass
> (n+1)!=n!*(n+1)
genau!
> ist dann auch
> (2n+1)!=n!*(2n+1)
Nein, so nicht! Es ist $(2n+1)!=(2n)!*(2n+1)$
Beispiel: n=3: $(2*3+1)!=7!=6!*7=(2*3)!*(2*3+1)$
> oder
> (2n+3)!=n!*(2n+3)
> ?
Hier gilt dann analog: (2n+3)!=(2n+2)!*(2n+3)
Wenn du das noch weiter umschreibst zu: (2n+1)!(2n+2)(2n+3) wird dir das kürzen hinterher leichter fallen.
Mache dir nochmal genau klar, was Fakultät bedeutet. Es ist das Produkt einer Folge natürlicher Zahlen. Wenn du also jetzt die Fakultät "auseinander ziehen" möchtest, dann schreibst du den letzten Faktor einzeln und von deiner eigentlihcen Fakultät musst du 1 subtrahieren, also 8!=7!*8.
>
> Die Potenzreihe lautet:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> Kann ich dann schreiben:
> [mm]a_n=(-1)^n*\bruch{1}{(2n+1)!}[/mm]
> ?
>
> dann wäre
> [mm]a_{n+1}=(-1)^{n+1}*\bruch{1}{(2n+3)!}[/mm]
>
> Dann könnte ich jetzt in die Formel einsetzen:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{(2n+1)!}}{\bruch{1}{(2n+3)!}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+3)!}{(2n+1)!}[/mm]
>
bis hierhin ist es noch ok! Allerdings musst du ab hier nochmal neu rechnen.
> sofern obige Annahme mit dem umformen der Fakultät stimmt:
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!(2n+3)}{n!(2n+1)}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2+\bruch{3}{n}}{2+\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> =1
>
> Dann wäre der Konvergenzradius
> |x|<1
>
> Da bin ich mal gespannt ob das stimmt.
> Habe noch Fragen bzgl. der Randpunkte aber ich warte
> lieber erstmal ab ob obige Rechnung richtig ist.
>
> Danke und besten Gruß,
> tedd
Lg Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
> Hey
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> Nein, so nicht! Es ist [mm](2n+1)!=(2n)!*(2n+1)[/mm]
>
> Beispiel: n=3: [mm](2*3+1)!=7!=6!*7=(2*3)!*(2*3+1)[/mm]
>
> > oder
> > (2n+3)!=n!*(2n+3)
> > ?
> Hier gilt dann analog: (2n+3)!=(2n+2)!*(2n+3)
>
> Wenn du das noch weiter umschreibst zu: (2n+1)!(2n+2)(2n+3)
> wird dir das kürzen hinterher leichter fallen.
>
> Mache dir nochmal genau klar, was Fakultät bedeutet. Es ist
> das Produkt einer Folge natürlicher Zahlen. Wenn du also
> jetzt die Fakultät "auseinander ziehen" möchtest, dann
> schreibst du den letzten Faktor einzeln und von deiner
> eigentlihcen Fakultät musst du 1 subtrahieren, also
> 8!=7!*8.
>
> Lg Patrick
Hey Danke Patrick!
Jetzt weis ich bescheid.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+3)!}{(2n+1)!}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+1)!(2n+2)(2n+3)}{(2n+1)!}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+2)(2n+3)}{1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4n^2+10n+6}{1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4+\bruch{10}{n}+\bruch{6}{n^2}}{1}
[/mm]
=4
?
Danke und besten Gruß,
tedd
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
hrmm
...
na -
gar nicht *schnief*
und jetzt?
könnte noch statt
[mm] 4n^2+10n+6
[/mm]
[mm] =4n^2+10n+\bruch{25}{4}-\bruch{25}{4}+6
[/mm]
[mm] =(2n+\bruch{5}{2})^2-\bruch{25}{4}+6
[/mm]
aber ob mir das weiterhilft?!
Weis gar nciht was ich jetzt machen soll.
Grmpf.
Danke für die Korrektur und Gruß,
tedd
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Du denkst hier viel zu kompliziert!!
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4n^2+10n+6}{1} [/mm] $
Soweit waren wir. Da im Nenner nur eine 1 steht können wir ihn auch weglassen:
$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}{4n^2+10n+6} [/mm] $
Und jetzt überlege nochmal in Ruhe was der Grenzwert ist. Du brauchst hier nichts weiter vereinfachen.
Wenn du gar nicht weiterkommst, denke an die Schulzeit zurück und an den Grenzwert von: [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}x^2 [/mm] $
Na, klar geworden? 
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
*hust*
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{4n^2+10n+6} [/mm] $
[mm] =\infty
[/mm]
?
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Heisst das, dass die Reihe für [mm] x=\pm\IR [/mm] konvergiert?
Hmpf,
also manchmal, echt da hab ich so'n Brett vorm Kopf das gibts gar nicht.
Danke und danke und danke und danke....
Gruß,
tedd
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> *hust*
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{4n^2+10n+6}[/mm]
>
> [mm]=\infty[/mm]
>
> ?
>
>
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
>
> Heisst das, dass die Reihe für [mm]x=\pm\IR[/mm] konvergiert?
Habt ihr die Schreibweise so in der Vorlesung gelernt? Sieht komisch aus, denn was soll [mm] -\IR [/mm] sein? Besser: Die Reihe ist konvergent für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
übrigens: $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = sin(x) $ Das hattet ihr ja vielleicht auch in der Vorlesung und der sinus ist bekanntlich für alle x konvergent.
>
> Hmpf,
> also manchmal, echt da hab ich so'n Brett vorm Kopf das
> gibts gar nicht.
>
> Danke und danke und danke und danke....
Bitte! Freut mich, wenn wir dir weiterhelfen können.
> Gruß,
> tedd
Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
Oops ich wollte eigentlich
[mm] x=\pm\infty [/mm] schreiben.
Eigentlich sollte ich schon jetzt ne 5 für die Klausur bekommen für so eine Dummheit...
Naja 
Ja ihr konntet mir weiterhelfen :)
Danke nochmal und Gruß,
tedd
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wie kannst Du denn hier [mm] $n^2$ [/mm] kürzen, wenn dies im Nenner gar nicht vorkommt?
