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Hallo:),
Ich soll den Konvergenzradius folgender Potenzreihe bestimmen:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\vektor{2n \\ n} (x+1)^{2n} [/mm] mit t = [mm] (x+1)^{2}
[/mm]
Dazu habe ich die Reihe erst mal umgeschrieben in:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2n!}{n! (2n-n)!}*t^{n}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2n!}{n!^{2}}
[/mm]
Dann habe ich das Quotientenkriterium angewandt:
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
R [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n!*n!(n+1)*n!(n+1)}{n!^2*2n!(2n+1)(2n+2)}
[/mm]
R= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(1+\overbrace{\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}^{=0})}{n^2(4+\overbrace{\bruch{6}{n}+\bruch{2}{n^2}}^{=0})}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}
[/mm]
Aber jetzt weiß ich nicht wie ich weiter machen soll.
Weil die Ausgangsreihe ist ja: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\vektor{2n \\ n} (x+1)^{2n}
[/mm]
Und hier hatte ich die [mm] (x+1)^{2n} [/mm] mit [mm] t^{n} [/mm] ersetzt. Wie bekomme ich aus meinem Ergebnis den Konvergenzradius der Ausgangsreihe?
Vielen Dank im Voraus.
LG Bubbles
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Hallo,
das sieht alles sehr gut aus!
Bedenke jetzt, dass du den Konvergenzradius für t berechnet hast und [mm] t=(x+1)^2 [/mm] gilt. Dabei sind die '+1' für den Konvergenzradius nicht einmal wichtig, sondern nur die Tatsache, dass t und [mm] x^2 [/mm] offen sichtlich den gleichen Konvergenzradius besitzen. Nur für das Intervall, auf dem die Reihe konvergiert, musst du noch die +1 berücksichtigen, da ja eben um x=-1 entwickelt wird.
Gruß, Diophant
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Danke für deine Hilfe:)
Aber ich hab nicht ganz verstanden wie du es meinst.
Für eine Potenzreihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{n} (x-x_{0})^{n} [/mm] gibt es ja ein Intervall:
[mm] I_{R} [/mm] = [mm] [x_{0}-R, x_{0}+R]. [/mm]
Und wenn das x ein Element aus diesem Intervall ist konvergiert die Reihe, ansonsten nicht. Hast du das gemeint? Also das ich die '+1' bloß für die Berechnung des Intervalls brauche?
Weil in der Musterlösung haben sie den Konvergenzradius [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
Aber leider steht da nicht, wie sie auf dieses Ergebnis gekommen sind.
Wenn ich die '+1' nur zur Berechnung des Intervalls verwende bekomme ich ja trotzdem nicht für den Konvergenzradius [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
LG Bubbles
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Di 10.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Hilfe:)
>
> Aber ich hab nicht ganz verstanden wie du es meinst.
>
> Für eine Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_{n} (x-x_{0})^{n}[/mm] gibt es ja ein
> Intervall:
>
> [mm]I_{R}[/mm] = [mm][x_{0}-R, x_{0}+R].[/mm]
besser: [mm] $(x_0-R,x_0+R)$ [/mm] (wenn das das Konvergenzintervall sein soll - zudem
divergiert die Reihe auf [mm] $\IR \setminus \red{[}x_0-R,x_0+R\red{]},$ [/mm] und an
den Randpunkten [mm] $x=x_0\pm [/mm] R$ muss man sich separat Gedanken machen!)
>
> Und wenn das x ein Element aus diesem Intervall ist
> konvergiert die Reihe, ansonsten nicht. Hast du das
> gemeint? Also das ich die '+1' bloß für die Berechnung
> des Intervalls brauche?
> Weil in der Musterlösung haben sie den Konvergenzradius
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] raus.
> Aber leider steht da nicht, wie sie auf dieses Ergebnis
> gekommen sind.
> Wenn ich die '+1' nur zur Berechnung des Intervalls
> verwende bekomme ich ja trotzdem nicht für den
> Konvergenzradius [mm]\bruch{1}{2}[/mm] raus.
Na, Du hast [mm] $t=(x+1)^2$ [/mm] gehabt und dann den Konvergenzradius der
Potenzreihe in der substituierten Variablen [mm] $t\,$ [/mm] berechnet (das hättest
Du auch anders machen können; wenn Du magst, lies' mal die Zusammenstellung
hier (klick!)).
Du hast dann gesehen - wenn wir mal den Konvergenzradius bzgl. der
substituierten Variablen [mm] $R_t$ [/mm] nennen:
Die Potenzreihe in [mm] $t\,$ [/mm] ist konvergent für alle [mm] $t\,$ [/mm] mit $|t-0|=|t| < [mm] R_t=1/4\,,$ [/mm] und sie
ist divergent für alle [mm] $t\,$ [/mm] mit $|t-0|=|t| > [mm] R_t=1/4\,.$
[/mm]
Daraus folgt: Die ursprüngliche Potenzreihe (in [mm] $x\,$) [/mm] konvergiert für alle [mm] $x\,$
[/mm]
mit [mm] $|x-(-1)|^2 [/mm] < [mm] R_t=1/4\,,$ [/mm] und sie divergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-(-1)|^2 [/mm] > [mm] R_t=1/4\,.$
[/mm]
Ich behaupte:
Daraus folgt, dass sie für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-(-1)| < [mm] R_x=\sqrt{1/4}$ [/mm] konvergiert
und für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-(-1)| > [mm] \sqrt{1/4}$ [/mm] divergiert. (Warum?)
Wenn wir nun den gesuchten Konvergenzradius mit [mm] $R_x$ [/mm] (oder meinetwegen
auch kurz [mm] $R\,$) [/mm] bezeichnen: Welcher Zusammenhang besteht dann zwischen
[mm] $R=R_x$ [/mm] und [mm] $R_t$? [/mm] (Hinweis: [mm] $\sqrt{1/4}=1/2\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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