Potenzreihe der Umkehrfunktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mi 04.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich soll und wollte mal die Umkehrfunktion z.B. des cos(x) gegeben als Potenzreihe berechnen.
Bekanntlich ist
cos(x) = 1 - [mm] \bruch{x^{2}}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{4!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{6}}{6!}+ o(x^{6})
[/mm]
Jetzt habe ich mir gedacht, da arccos(cos(x)) = x ist,
dass ich arccos(y) als unbekannte Potenzreihe ansetze:
arccos(y) = [mm] \summe_{k = 0}^{} a_{k}*y^{k}
[/mm]
So komme ich schlussendlich auf:
x = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}*(1 [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{4!} [/mm] + [mm] o(x^4)) [/mm] + [mm] a_{2}*[1 [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{4!} [/mm] + [mm] o(x^4)]^{2} [/mm] + ...
Jetzt würde der Koeffizientenvergleich folgen. Nur gibt es da ein Problem:
Die Summanden mit gleichen Potenzen von x gehen ins Unendliche!!?!?!
Kann man da was dagegen tun?
Danke
Qsxqsx
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Hallo qsxwsx,
ich habe deinen Ansatz nicht im Detail nachgesehen, aber mit scheint es einfacher zu sein, die Binomialreihe zu Hilfe zu nehmen.
Es ist [mm] $\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=-\left(1+(-x^2)\right)^{-\frac{1}{2}}$
[/mm]
Dafür schreibe die Binomialreihe hin.
Die darfst du innerhalb ihres Konvergenzradius' integrieren und bekommst so ohne große Mühe und Koeffizientenvergleichsschnickschnack  eine Darstellung von [mm] $\arccos(x)$ [/mm] als Potenzeihe.
Vllt. magst du diesen Ansatz ja mal weiter verfolgen?!
Gruß
schachuzipus
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Der Cosinus ist in keiner Umgebung von [mm]x_0 = 0[/mm] umkehrbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mi 04.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Thx für die Tipps.
1.
Ja, blöd, das sieht man ja schon graphisch von Auge das der arccos(x) um diesen Punkt nicht möglich ist.
2.
Wie sieht es aber mit dem sinus aus, der ist ja dort umkehrbar.
Sin(x), um [mm] x_{0} [/mm] = 0:
y = sin(x) = x - [mm] \bruch{x^{3}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5!} [/mm] + [mm] o(x^{5})
[/mm]
Nach meinem, bisher noch nicht ausgereiften "Trick" ginge das dann so, um den Arcsinus zu bestimmen:
Ansatz:
arcsin(sin(x)) = x
und
arcsin(y) = [mm] \summe_{k=0}^{}a_{k}*y^{k}
[/mm]
x = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}*(x [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{3!} [/mm] + [mm] o(x^{3})) [/mm] + [mm] a_{2}*[(x [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{3!} [/mm] + [mm] o(x^{3})]^{2} [/mm] + ...
Hier kann ich eindeutig sagen,
[mm] a_{0} [/mm] = 0
[mm] a_{1} [/mm] = 1
[mm] a_{2} [/mm] = 0
[mm] a_{3} [/mm] = Edit: 1/6
Es klappt. Ich nehme an meine Methode ist allgemeingültig. Muss ja so sein, ist ja analytisch korrekt.
Ich suchte hald für was schnelles für die Potenzreihe der Umkehrfunktion - habe in einer Woche Test... Ich finde das geht schneller als mit Binomialreihe.
Übrigens: Mit Binomialreihe bekomme ich für den Arccosinus um den Entwicklungspunkt "fast" die Reihe für den Arccosinus:
Ich erhalte damit:
arccos(x) = -x - [mm] \bruch{1}{2*3}*x^{3} [/mm] - [mm] o(x^{3})
[/mm]
In meiner Formelsammlung steht aber:
arccos(x) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] -x - [mm] \bruch{1}{2*3}*x^{3} [/mm] - [mm] o(x^{3})
[/mm]
Ich kann mir das nicht ganz erklären. Wenn das jemand noch sagen könnte wers nett, sonst ist mirs eigentlich Wurscht und die Frage kann auf beantwortet gesetzt werden.
Qsxqsx
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Hallo,
zur letzten Frage:
> Übrigens: Mit Binomialreihe bekomme ich für den
> Arccosinus um den Entwicklungspunkt "fast" die Reihe für
> den Arccosinus:
>
> Ich erhalte damit:
> arccos(x) = -x - [mm]\bruch{1}{2*3}*x^{3}[/mm] - [mm]o(x^{3})[/mm]
>
> In meiner Formelsammlung steht aber:
> arccos(x) = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] -x - [mm]\bruch{1}{2*3}*x^{3}[/mm] -
> [mm]o(x^{3})[/mm]
>
> Ich kann mir das nicht ganz erklären. Wenn das jemand noch
> sagen könnte wers nett, sonst ist mirs eigentlich Wurscht
> und die Frage kann auf beantwortet gesetzt werden.
Du musst die Integrationskonstante anpassen, es ist ja [mm] $\arccos(0)=\frac{\\pi}{2}$
[/mm]
Das setze in die nach der Integration erhaltene Reihe ein und bestimme entsprechen die Integrationskonstante zu [mm] $\frac{\pi}{2}$
[/mm]
>
> Qsxqsx
Gruß
schachuzipus
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