Potenzreihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Fr 26.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallöchen!
Zuerst hätte ich eine allgemeine Frage: Was ist eine Potenzreihe und wie kann man einen Term als eine Potenzreihe schreiben? Und was ist der Konvergenzradius und wie bestimmt man ihn?
Ich habe nämlich in der Vorlesung dieses Kapitel überhaupt nicht verstanden und aus den Büchern werde ich auch nicht schlauer.
Könnt ihr mir bitte an diesem Beispiel zeigen, wie ich diesen Term als Potenzreihe in x schreibe und wie ich ihren Konvergenzradius bestimmen kann?
das ist der Term: \ [mm] \bruch{1}{1 + x^{2}}
[/mm]
Wie bestimme ich bei dieser Reihe den Konvergenzradius?
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ x^{n}}{ \wurzel{n!}}
[/mm]
danke für eure hilfe!
Destiny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Pizza |
Hallo liebe Leute,
ich hab mal eine ganz drigende Frage und zwar soll ich zu diesem Bruch
[mm] \bruch{1}{1+ x^{2}} [/mm] eine Potenzreihe in x bestimmen und den Konvergenzradius.
Als Potenzreihe hab ich [mm] \summe_{n=0}^{\infty}( -x^{2})^{n} [/mm] heraus bekommen. Ist das richtig??
leider hab ich keine ahnung, wie ich den Konvergenzradius bestimmen soll. Ich hab man versucht, das Majorantenkrieterium anzuwenden, aber ich finde keine passende majorante. geht das auch anders? ich mein mit einem anderen Kriterium. Das Quotientenkriterium kann ich ja nicht anwenden, weil die Folgeja kein Quotient ist.
Bitte helft mir!!!
Danke, die Pizza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo destiny,
ich habe wenig Zeit, also nur hierzu:
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ x^{n}}{ \wurzel{n!}}
[/mm]
Siehe: https://matheraum.de/read?i=27420
Bis darauf, dass Friedrich bei der zweiten vergessen hat, limsup dabeizuschreiben, ist das (im Wesentlichen; man sollte genauer schreiben:
[m]\limsup_{n \to \infty}|a_{n+1}/a_n|=0<1[/m]) korrekt.
Ansonsten würde ich es dir mal ans Herz legen, dich z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) Skript zur Analysis
mit Kapitel 6, (evtl. Kapitel 14) und mit Kapitel 16 zu befassen.
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 28.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Ich hätte doch noch eine Frage:
Ich hab nun [mm] \bruch{1}{1+ x^{2}} [/mm] wie folgt als Potenzreihe in x geschrieben:
[mm] \summe_{n=0}^{m} [/mm] - [mm] x^{2n} [/mm] mit m [mm] \in\IN
[/mm]
Ist das richtig so?
Nun muss ich ja den Konvergenzradius dieser Potenzreihe bestimmen, der bei mir 1 beträgt, da ...
[mm] |-x^{2}|<1 [/mm] sein muss, damit ich die geometrische Reihe anwenden kann. Also gilt auch: |x|<1.
Stimmt das so?
wie muss ich korrekt aber den Konvergenzradius angeben? in mathematischer Schreibweise, meine ich.
Dann hätte ich noch eine Frage:
Bei [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ x^{n}}{ \wurzel{n!}} [/mm] hab
ich das Quotientenkriterium angewendet und komm schließlich auf
[mm] |\bruch{x}{ \wurzel{n+1}}| [/mm] < 1
da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{x}{ \wurzel{n+1}}| [/mm] = 0 < 1
dann ist doch der Konvergenzradius + [mm] \infty, [/mm] oder?
ich verstehe aber nicht, wieso du sup vor dem lim stehen hast. Kannst du mir das bitte erklären, danke!
Destiny
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Hallo, destiny
ich hoffe Du wolltest [mm] $\frac{1}{1+x^2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{n-1}(x^{-2})^n$ [/mm] schreiben. Diese konvergiert für | x | > 1
für
| x | < 1 konvergiert 1 - [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^4 [/mm] - [mm] x^6 [/mm] .... $ beide sind einfach durch Polynomdivision herleitbar
das mit der Wurzel ist ok.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 28.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Destiny,
> Hallo!
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> Ich hätte doch noch eine Frage:
> Ich hab nun [mm]\bruch{1}{1+ x^{2}}[/mm] wie folgt als Potenzreihe
> in x geschrieben:
> [mm]\summe_{n=0}^{m}[/mm] - [mm]x^{2n}[/mm] mit m [mm]\in\IN
[/mm]
> Ist das richtig so?
Nein, nicht ganz, vgl. Skript Beispiel 16.9.2:
[m]\summe_{v=0}^\infty(-1)^vx^{2v}[/m] sollte herauskommen. Und mal abgesehen davon: Bei dir steht nur ein Glied einer Teilsummenfolge!
> Nun muss ich ja den Konvergenzradius dieser Potenzreihe
> bestimmen, der bei mir 1 beträgt, da ...
> [mm]|-x^{2}|<1[/mm] sein muss, damit ich die geometrische Reihe
> anwenden kann. Also gilt auch: |x|<1.
> Stimmt das so?
> wie muss ich korrekt aber den Konvergenzradius angeben? in
> mathematischer Schreibweise, meine ich.
Schaue dir Definition 16.3 und Satz 16.2 im Skript an! Hierbei ist nach Definition 5.18 [mm] $\overline{\lim}:=\limsup$!
[/mm]
Du mußt dich nur stur an die Definition halten:
Hier ist die Potenzreihe gegeben durch [m]\summe_{v=0}^\infty(-1)^v(x^2)^{v}[/m]. Also ist [m]a=\limsup_{v \to \infty}{\wurzel[v]{|(-1)^v|}}=1[/m]und daher ist [mm] $R=\frac{1}{a}=1$ [/mm] der Konvergenzradius. Demnach konvergiert die Potenzreihe nach Satz 16.2.2 für alle [m]|x^2|<1[/m], also, was gleichbedeutend ist: für alle $x$ mit $|x|<1$.
> Dann hätte ich noch eine Frage:
> Bei [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ x^{n}}{ \wurzel{n!}}[/mm]
> hab
> ich das Quotientenkriterium angewendet und komm
> schließlich auf
> [mm]|\bruch{x}{ \wurzel{n+1}}|[/mm] < 1
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{x}{ \wurzel{n+1}}|[/mm]
> = 0 < 1
> dann ist doch der Konvergenzradius + [mm]\infty,[/mm] oder?
Ich verstehe nicht, wozu du zuerst [mm]|\bruch{x}{ \wurzel{n+1}}|[/mm] < 1 schreibst (und das hinterläßt den Eindruck, als hättest du nur Friedrichs Lösung abgeschrieben)!
Was du beim Quotientenkriterium brauchst, ist:
[mm] $\limsup_{n \to \infty}|a_{n+1}/a_n|$, [/mm] und dazu sollte man halt zuerst [m]|a_{n+1}/a_n|=|\bruch{x}{ \wurzel{n+1}}|=\bruch{|x|}{\wurzel{n+1}}[/m] nachrechnen.
Dieser [mm] $\limsup$ [/mm] ist hier, egal, welches $x$ man betrachtet, stets $=0$ und damit für alle $x$ auch stets $<1$. Da die Reihe deswegen hier überall (also für alle $x$) nach dem Quotientenkriterium konvergiert, ist der Konvergenzradius [mm] $+\infty$.
[/mm]
Wenn du das stur über die Definition nachrechnen würdest ($R$ sei der Konvergenzradius dieser Potenzreihe):
Hier gilt:
[m]a=\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{|\frac{1}{ \wurzel{n!}}|}=0[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $R=\frac{1}{a}=\frac{1}{0}\stackrel{Definition\;16.3}{=}+\infty$
[/mm]
> ich verstehe aber nicht, wieso du sup vor dem lim stehen
> hast. Kannst du mir das bitte erklären, danke!
Weil es so im Quotientenkriterium steht: Satz 6.19.
Vgl. dazu auch Definition 5.18 und insbesondere Satz 5.21.2, dann siehst du auch, warum man das hier tatsächlich nicht unbedingt braucht!
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 So 28.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
zum ersten teil der aufgabe:
ich hab deine lösung verstanden und ich hab mir auch das skript durchgelesen. es ist mir schon alles klar, das problem ist allerdings, dass ich die Definition vom Konvergenzradius mit dem a noch nicht in der vorlesung drangenommen habe, es also auch nicht verwenden darf. das ist mein problem.
ich weiß nur (laut vorlesung), dass
R=sup {|x|: [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} a_{n} x^{n}} [/mm] ist. das ist alles.
Wie kann ich mit dieser info die aufgabe lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Di 30.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo!
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> zum ersten teil der aufgabe:
> ich hab deine lösung verstanden und ich hab mir auch das
> skript durchgelesen. es ist mir schon alles klar, das
> problem ist allerdings, dass ich die Definition vom
> Konvergenzradius mit dem a noch nicht in der vorlesung
> drangenommen habe, es also auch nicht verwenden darf. das
> ist mein problem.
> ich weiß nur (laut vorlesung), dass
> [mm]R=sup \{|x|: \summe_{n=0}^{ \infty} a_{n} x^{n}\}[/mm]
> ist. das ist alles.
> Wie kann ich mit dieser info die aufgabe lösen?
Mit dieser Information kannst du (so, wie du sie hier formuliert hast) gar nichts anfangen und ich bin mir sicher, dass dieses $R$ so nicht definiert wurde! Da fehlt eine Forderung an [m]\summe_{n=0}^{ \infty} a_{n} x^{n}[/m] in der Mengenklammer.
Schau dir mal an, wie dieses $R$ genau definiert wurde, erst dann ist das eine vernünftige Information. Gucke dann nach, wie dir das Wurzelkriterium helfen könnte.
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