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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Fr 24.10.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
1) [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a^nz^{2n}\ (a\in\mathbb{C})
[/mm]
2) [mm] \sum_{n=0}^{\infty} (n^3+n^2+n+1)z^n
[/mm]
3) [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{cosh\ n}z^n
[/mm]
4) [mm] \sum_{n=0}^{\infty} n^iz^n [/mm] |
Hallo zusammen,
komme irgendwie bei keiner der Potenzreihen wirklich weiter. Dass ich den Konvergenzradius mit der Cauchy-Hadamard-Formel bestimmen kann, ist mir klar. Nur bei der ersten Reihe weiß ich nicht so recht, wie ich die Potenz 2n zur üblichen Darstellung [mm] $c_n(z-a)^n$ [/mm] mit $a=0$ ändern kann. Bei den übrigen Reihen habe ich dieses Problem zwar nicht (Entwicklungspunkt ist stets =0), aber wie bestimme hier am besten den lim sup der n-ten Wurzel aus z.B. der Summe in der zweiten Reihe (besser gesagt wie schätze ich sie ab)?
Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihen:
>
> 1) [mm]\sum_{n=0}^{\infty}a^nz^{2n}\ (a\in\mathbb{C})[/mm]
ich behaupte mal, dass Du hier den Konvergenzradius [mm] $\black{r}$ [/mm] erhälts vermittels:
[mm] $$r=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{|a^n|}}\,.$$
[/mm]
Warum? Nun, wenn Du eine Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty r_n z^{2n}$ [/mm] hast, so könntest Du erstmal sagen: Naja, wenn ich mir die Folge der Teilsummen angucke, so passt das ja gar nicht zur Definition einer Potenzreihe (in einer Potenzreihe steht beim [mm] $\black{n}$-ten [/mm] Glied der Teilsummenfolge als höchste Potenz ja [mm] $\black{n}$, [/mm] und nicht [mm] $\black{2n}$ [/mm] wie hier!).
Du kannst Dir aber einen Zusammenhang zwischen [mm] $\sum_{n=0}^\infty r_n z^{2n}$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=0}^\infty s_n z^{n}$ [/mm] überlegen, wobei Du dann [mm] $$s_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ r_{\frac{n}{2}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}$$
[/mm]
definierst. Beide Reihen haben (für jedes $z [mm] \in \IC$) [/mm] das selbe Konvergenzverhalten.
[mm] $\sum_{n=0}^\infty s_n z^n$ [/mm] hat allerdings die Form einer Potenzreihe, und ferner sollte Dir klar sein, dass [mm] $$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|s_n|}=\limsup_{\substack{n \to \infty\\n \text{ gerade}}}\sqrt[n]{|r_{\frac{n}{2}}|}=\limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{|r_{n}|}\,.$$
[/mm]
Daraus folgt dann meine Behauptung für den Konvergenzradius von oben, da hier speziell [mm] $r_n:=a^n$ [/mm] $(n [mm] \in \IN_0)\,.$
[/mm]
Alternative:
Bei einer Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}r_n z^{2n}$ [/mm] substituiere [mm] $\tilde{z}:=z^2\,.$ [/mm] Dadurch ist [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}r_n \tilde{z}^{\;n}$ [/mm] eine Potenzreihe in [mm] $\tilde{z}$. [/mm] Bezgl. [mm] $\tilde{z}$ [/mm] erhältst Du dann einen Konvergenzradius [mm] $\tilde{r}=\tilde{r}(\tilde{z})$.
[/mm]
Wenn Du den berechnet hast, so weißt Du dann, dass [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}r_n \tilde{z}^{\;n}$ [/mm] für alle [mm] $|\tilde{z}| [/mm] < [mm] \tilde{r}$ [/mm] konvergiert und für alle [mm] $\tilde{z} [/mm] > [mm] \tilde{r}$ [/mm] divergiert.
Damit konvergiert dann [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}r_n z^{2n} \equiv\sum_{n=0}^{\infty}r_n \tilde{z}^{n}$ [/mm] für alle [mm] $|z^2| [/mm] < [mm] \tilde{r}$ [/mm] und divergiert für alle [mm] $|z^2| [/mm] > [mm] \tilde{r}$.
[/mm]
Was bedeutet das für den Konvergenzradius $r=r(z)$ der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}x_n z^{2n}$?
[/mm]
> 2) [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (n^3+n^2+n+1)z^n[/mm]
Du musst ja hier [mm] $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3+n^2+n+1}$ [/mm] berechnen. Ich gebe Dir mal den Tipp:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist
$$n [mm] \le n^3+n^2+n+1 \le 4*n^3\,.$$
[/mm]
Nun beachte, dass [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ und auch [mm] $\sqrt[n]{4} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
>
> 3) [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{cosh\ n}z^n[/mm]
benutze hier [mm] $\frac{1}{\cosh(n)}=\frac{2}{e^n+e^{-n}}\,,$ [/mm] und überlege Dir dann, warum
[mm] $$\sqrt[n]{e^{n}+e^{-n}} \to e\;\;\;\text{ bei }n \to \infty\,.$$
[/mm]
(Vielleicht findest Du das ja wieder durch eine geeignete Anwendung des Einschlußkriteriums heraus?)
Außerdem gilt [mm] $\sqrt[n]{2} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
> 4) [mm]\sum_{n=0}^{\infty} n^iz^n[/mm]
Tipp:
[mm] $$n^i=\left(e^{\ln(n)}\right)^i=e^{i\cdot \ln(n)}\,.$$
[/mm]
Dann denke an die ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Identität bzw. [mm] $\left|e^{i\varphi}\right|=1$ [/mm] für alle [mm] $\varphi \in \IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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