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| Aufgabe | Entwickeln Sie die folgende Funktion in Potenzreihen um den Nullpunkt.
[mm] f(x)=(x-1)e^x+1 [/mm] |
Hallo, ich habe ein Ansatz bei dieser Aufgabe aber ich bin nicht sicher ob dieser Ansatz richtig ist:
Ansatz:
Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe (Mac Laurinsche Reihe)
also:
[mm] f(x)=f(0)+\bruch{f'(0)}{1!}x^1+\bruch{f''(0)}{2!}x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}x^3 [/mm] ...
für [mm] e^x [/mm] gilt:
[mm] e^x=1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}
[/mm]
also:
[mm] (x-1)[1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}]+1
[/mm]
jetzt muss man von (x-1) erstmal drei Ableitungen bilden und in die Mac Laurinsche Reihe einsetzen.
ist das Vorgehen korrekt? Würde mich über Tipps freuen!
gruß capablanca
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Entwickeln Sie die folgende Funktione in Potenzreihen um
> den Nullpunkt.
>
> [mm]f(x)=(x-1)e^x+1[/mm]
> Hallo, ich habe ein Ansatz bei dieser Aufgabe aber ich bin
> nicht sicher ob dieser Ansatz richtig ist:
>
> Ansatz:
> Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe (Mac
> Laurinsche Reihe)
> also:
>
> [mm]f(x)=f(0)+\bruch{f'(0)}{1!}x^1+\bruch{f''(0)}{2!}x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}x^3[/mm]
> ...
> für [mm]e^x[/mm] gilt:
> [mm]e^x=1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}[/mm]
Besser: [mm]e^x=1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+ ...[/mm]
>
> also:
>
> [mm](x-1)[1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}]+1[/mm]
Besser:
[mm](x-1)[1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+ ...]+1[/mm]
>
> jetzt muss man von (x-1) erstmal drei Ableitungen bilden
Was ist los ??? wieso von x-1
> und in die Mac Laurinsche Reihe einsetzen.
?????????????????
>
> ist das Vorgehen korrekt?
nein. Warum multiplzierst Du das
[mm](x-1)[1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+ ...]+1[/mm]
nicht aus ??. Dann sortiere nach Potenzen von x
FRED
Würde mich über Tipps freuen!
>
> gruß capablanca
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Ah so, ok also ausmultiplzieren:$ [mm] (x-1)[1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+ [/mm] ...]+1 $
[mm] x-1+\bruch{x^2-x}{1!}+\bruch{x^3-x^2}{2!}+\bruch{x^4-x^3}{3!}+1
[/mm]
also:
[mm] x+\bruch{x^2-x}{1!}+\bruch{x^3-x^2}{2!}+\bruch{x^4-x^3}{3!}
[/mm]
und wie gehe ich weiter am besten vor?
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> Ah so, ok also ausmultiplzieren:[mm] (x-1)[1+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+ ...]+1[/mm]
>
> [mm]x-1+\bruch{x^2-x}{1!}+\bruch{x^3-x^2}{2!}+\bruch{x^4-x^3}{3!}+1[/mm]
Hallo,
das Ergebnis Deiner Multiplikation ist grottenfalsch - weil Du die Pünktchen schon wieder nicht hinschreibst.
>
> also:
>
> [mm]x+\bruch{x^2-x}{1!}+\bruch{x^3-x^2}{2!}+\bruch{x^4-x^3}{3!}[/mm]
>
> und wie gehe ich weiter am besten vor?
Die Pünktchen hinschreiben und dann das tun, was Dir Fred gesagt hat.
Gruß v. Angela
>
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Stimmt, also mit Pünktchen und nach Potenzen sortiert:
$ [mm] x+\bruch{-x+x^2}{1!}+\bruch{-x^2+x^3}{2!}+\bruch{-x^3+x^4}{3!}......$
[/mm]
was ist der nächste Schritt, die Ableitungen?
gruß capablanca
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Mi 12.05.2010 | | Autor: | capablanca |
Upps es war bestimmt so gemeint : [mm] x+\bruch{x-1}{1}x+\bruch{x-1}{2}x^2+\bruch{x-1}{6}x^3......
[/mm]
Aber die Aufgabe ist noch nicht gelöst, oder?
gruß capablanca
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Hallo capablanca,
> Stimmt, also mit Pünktchen und nach Potenzen sortiert:
>
> [mm]x+\bruch{-x+x^2}{1!}+\bruch{-x^2+x^3}{2!}+\bruch{-x^3+x^4}{3!}......[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt, sortiere es nun nach Potenzen von x, das ist auch in deiner nächsten Mitteilung noch falsch!
Nach Potenzen von x sortieren, heißt, es zu schreiben als [mm] $a_0\cdot{}x^0+a_1\cdot{}x^1+a_2\cdot{}x^3+a_4\cdot{}x^4+...$ [/mm] wobei in den [mm] $a_i$ [/mm] kein x mehr auftauchen darf.
Fasse nun mal mit klarem Kopf zusammen, es ist eine einfache Erweiterung, die du seit der 5 Klasse kannst ...
>
> was ist der nächste Schritt, die Ableitungen?
Warum willst du permanent ableiten??
Erkläre mal deine Gedanken dazu ...
>
> gruß capablanca
LG
schachuzipus
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Danke für den Tipp!
Ich arbeite mich erst in das Thema ein, deswegen bin ich mir noch unsicher wie genau ich vorgehen soll und ich habe in eipaar Übungsaufgaben gesehen wie die mit Hilfe der Mac Laurinsche Reihe (mit Ableitungen) gelöst wurden. aber anscheinend ist das kein "Rezept" 
ich denke, dass ich jetzt die richtige Lösung raus habe, und zwar:
Brüche auseinander ziehen und nach Potenzen sortieren:
[mm] x-\bruch{x}{1}+\bruch{x^2}{1}-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{2}-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^4}{6}-\bruch{x^4}{24}....
[/mm]
-->
Lösung:
[mm] 0+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^4}{8}....
[/mm]
das ist doch richtig, oder?
gruß capablanca
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Hallo,
> Danke für den Tipp!
> Ich arbeite mich erst in das Thema ein, deswegen bin ich
> mir noch unsicher wie genau ich vorgehen soll und ich habe
> in eipaar Übungsaufgaben gesehen wie die mit Hilfe der Mac
> Laurinsche Reihe (mit Ableitungen) gelöst wurden. aber
> anscheinend ist das kein "Rezept"
Na, die Potenzreihe eines Polynoms ist das Polynom selbst, die Potenzreihe der Exponentialfkt. hast du auch benutzt, dann nur alles ausmultipliziert.
Damit hast du schon die gesuchte Potenzreihe ...
>
> ich denke, dass ich jetzt die richtige Lösung raus habe,
> und zwar:
>
> Brüche auseinander ziehen und nach Potenzen sortieren:
>
> [mm]x-\bruch{x}{1}+\bruch{x^2}{1}-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{2}-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^4}{6}-\bruch{x^4}{24}....[/mm]
>
> -->
>
> Lösung:
>
> [mm]0+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^4}{8}....[/mm]
>
> das ist doch richtig, oder?
Das stimmt fast, beachte die Fakultäten im Nenner!
Du hast [mm] $\frac{x^2}{1!}-\frac{x^2}{2!}=\frac{2x^2}{2!}-\frac{x^2}{2!}=\frac{2x^2-x^2}{2!}=\frac{x^2}{2!}$
[/mm]
Weiter [mm] $\frac{x^3}{2!}-\frac{x^3}{3!}=\frac{3x^3}{3!}-\frac{x^3}{3!}=\frac{2x^3}{3!}$
[/mm]
Und [mm] $\frac{x^4}{3!}-\frac{x^4}{4!}=\frac{4x^4-x^4}{4!}=\frac{3x^4}{4!}$
[/mm]
Usw.
Also [mm] $\frac{x^2}{2!}+\frac{2x^3}{3!}+\frac{3x^4}{4!}+\frac{4x^5}{5!}+\ldots$
[/mm]
Versuche mal, das als geschlossenen Ausdruck darzustellen, also als Reihe ...
Gruß
schachuzipus
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> gruß capablanca
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Mi 12.05.2010 | | Autor: | capablanca |
Danke euch für die Hilfe!
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