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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Di 18.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Wir betrachten folgende Funktion, die für jedes x [mm] \in \IR [/mm] definiert ist:
[mm] f(x):=\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}
[/mm]
Skizziere den Graphen der Funktion und entwickele diese in die Taylorreihe im Punkt [mm] x_{0}=0.Lege [/mm] für diese Taylorreihe die größte offene Teilmenge [mm] U\subset \IR [/mm] so fest, dass die Taylorreihe die Funktion repräsentiert. |
Hallo,
für [mm] |x^{2}|< [/mm] 1 gilt [mm] \bruch{x^{2}}{1+x^{2}}= [/mm] (Stichwort: geometrische Reihe , als q wird hier [mm] (-x^{2}) [/mm] betrachtet)
[mm] x^{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*(x^{2})^{k} =\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*x^{2k+2} [/mm] .
Wie sieht es aus für [mm] 1\le |x^{2}|?
[/mm]
Wie sieht die Taylorreihe in diesem Fall aus?
Ich vermute, dass U = (-1,1), da [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*x^{2k+2} [/mm] nur in diesem Intervall konvergiert (Anmerkung von meinem Tutor).
Ich kann das aber nicht beweisen, da mir das Thema noch nicht so klar ist.
Wie kann man hier also argumentieren?
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Wir betrachten folgende Funktion, die für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
> definiert ist:
>
> [mm]f(x):=\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}[/mm]
> Skizziere den Graphen der Funktion und entwickele diese in
> die Taylorreihe im Punkt [mm]x_{0}=0.Lege[/mm] für diese
> Taylorreihe die größte offene Teilmenge [mm]U\subset \IR[/mm] so
> fest, dass die Taylorreihe die Funktion repräsentiert.
>
> Hallo,
>
> für [mm]|x^{2}|<[/mm] 1 gilt [mm]\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}=[/mm] (Stichwort:
> geometrische Reihe , als q wird hier [mm](-x^{2})[/mm] betrachtet)
> [mm]x^{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*(x^{2})^{k} =\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*x^{2k+2}[/mm]
> .
>
> Wie sieht es aus für [mm]1\le |x^{2}|?[/mm]
> Wie sieht die
> Taylorreihe in diesem Fall aus?
> Ich vermute, dass U = (-1,1), da
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*x^{2k+2}[/mm] nur in diesem
> Intervall konvergiert (Anmerkung von meinem Tutor).
>
>
> Ich kann das aber nicht beweisen, da mir das Thema noch
> nicht so klar ist.
>
Wende das Quotientenkriterium auf die so erhaltene Potenzreihe an.
> Wie kann man hier also argumentieren?
>
>
> Gruss
> Igor
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 18.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo MathePower,
wie hilft das Quotientenkriterium weiter? Mit welchem Ziel?
Ich weiß nicht , ob ich mich missverständlich im ersten posting ausgedruckt habe. Ich fasse meine Frage nochmal zusammen:
Ich vermute, dass die Antwort U=(1,1) richtig ist. D.h , dass nur in U die Taylorreihe die Funktion represäntiert. Warum repräsentiert die Taylorreihe die Funktion ausserhalb von U nicht?
Genau das kann ich nicht beweisen.
Ich habe die Taylorreihe nur für bestimmte x angegeben, aber nicht für alle.
Und für diese x repräsentiert die Taylorreihe die Funktion.
Man soll aber die Taylorreihe für alle x [mm] \in \IR [/mm] bestimmen, oder ?
Und dann soll man daraus U bestimmen.
Gruss Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo MathePower,
>
> wie hilft das Quotientenkriterium weiter? Mit welchem
> Ziel?
>
Ziel ist den Konvergenzradius der Taylorreihe zu ermittleln.
Das Quotientenkriterium hilf Dir dabei.
> Ich weiß nicht , ob ich mich missverständlich im ersten
> posting ausgedruckt habe. Ich fasse meine Frage nochmal
> zusammen:
> Ich vermute, dass die Antwort U=(1,1) richtig ist. D.h ,
> dass nur in U die Taylorreihe die Funktion represäntiert.
> Warum repräsentiert die Taylorreihe die Funktion
> ausserhalb von U nicht?
> Genau das kann ich nicht beweisen.
> Ich habe die Taylorreihe nur für bestimmte x angegeben,
> aber nicht für alle.
> Und für diese x repräsentiert die Taylorreihe die
> Funktion.
> Man soll aber die Taylorreihe für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> bestimmen, oder ?
> Und dann soll man daraus U bestimmen.
>
Die Funktion ist in eine Taylorreihe, laut Aufgabenstellung,
um den Punkt [mm]x_{0}=0[/mm] zu entwickeln. Für diese Taylorreihe ist
das U zu bestimmen.
>
> Gruss Igor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Di 18.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo MathePower
Die obige Taylorreihe ist eine geometrische Reihe, die für [mm] |x^{2}|<1 [/mm] konvergiert.
Deshalb denke ich , dass der Konvergenzradius 1 ist.
Sogar wenn ich den Konvergenzradius kenne, finde ich kein einfaches Argument, um zu zeigen, dass damit die Represäntation nur in U gültig ist.
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo MathePower
>
> Die obige Taylorreihe ist eine geometrische Reihe, die für
> [mm]|x^{2}|<1[/mm] konvergiert.
> Deshalb denke ich , dass der Konvergenzradius 1 ist.
> Sogar wenn ich den Konvergenzradius kenne, finde ich kein
> einfaches Argument, um zu zeigen, dass damit die
> Represäntation nur in U gültig ist.
>
Aus dem Konvergenzradius 1 folgt das Konvergenzintervall [mm]\left]-1,1\right[[/mm],
d.h. die Taylorreihe konvergiert für [mm]-1 < x < 1[/mm]
>
> Gruss
> Igor
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 18.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo MathePower,
für den Divergenzbereich nimmt offensichtlich die Taylorreihe keinen festen reellen Wert an. Damit kann die linke Seite, also die Funktion, (dort x aus dem Divergenzbereich eingesetzt) nicht der rechten Seite, also die Taylorreihe, gleich sein. Habe ich das richtig verstanden?
Ich denke, dass mir noch nicht so klar ist, dass die entstandene Potenzreihe(über geometrische Reihe) genau die gefragte Taylorreihe ist.
Kannst du das noch bitte erklären?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast eine Potenzreihe, die die fkt um 0 richtig darstellt. dann ist das die Taylorreihe.(es gibt mit demselben entwicklungspunkt ja keine 2 TR Aber sie kann die fkt nicht mehr darstellen, wenn sie divergiert, da die fkt selbst ja beschraenkt ist.
natuerlich kannst du auch ohne die Kenntnis der geometrischen Reihe einfach die Taylorreihe entwickeln, das ist dann nur umstaendlicher und bringt nichts anderes.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo ,
ist jede Potenzreihe eine Taylorreihe?
Für mich ist klar, dass die entstandene Reihe eine Potenzreihe ist. Mir ist aber noch nicht klar, warum diese "automatisch" eine Taylorreihe ist.
Formal gesehen: eine Taylorreihe ist eine Reihe , die nach der Definition der Taylorreihe eine wohlbekannte Darstellung hat.
Aus der entstandenen Potenzreihe, sehe ich die Darstellung nicht sofort.
Deshalb frage ich, ob die Aussage: die entstandene Potenzreihe ist eine Taylorreihe , trivial ist .
Oder gibt es ein einfaches Argument , um das einzusehen?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
innerhalb des Konv€®©€~zradius ist eine potenzreihe eine Funktion. Wenn du die Ableitungen bildest und so eine Taylorreihe bildest bekommst d¨wieder dieselbe. d.h- da du weisst, dass deine Potenzreihe um x=0 für x<1 die fkt 1/(1-x) darstellt ist sie auch die Taylorreihe.
nimm an, es gäb ne andere, beide stellen f(x) dar was würde folgen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
> Hallo
> innerhalb des Konv€®©€~zradius ist eine potenzreihe
> eine Funktion. Wenn du die Ableitungen bildest und so eine
> Taylorreihe bildest bekommst d¨wieder dieselbe. d.h- da du
> weisst, dass deine Potenzreihe um x=0 für x<1 die fkt
> 1/(1-x) darstellt ist sie auch die Taylorreihe.
Passt der folgende Satz(aus Forster) zum Thema?
"Sei a [mm] \in \IR [/mm] und
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n} [/mm] eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius [mm] r\in ]0,\infty[. [/mm] Dann ist die Taylorreihe der Funktion f:]a-r,a+r[ [mm] \to \IR [/mm] mit Entwicklungspunkt a gleich dieser Potenzreihe(und konvergiert somit gegen f)"
> nimem an, es giäb ne andere, beide stellen f(x) dar was
> würde folgen?
Stimmt das , dass Taylorreihe für eine Funktion mit geeigneten Eigenschaften (die für die Taylorentwicklung notwendig sind) eindeutig durch diese Funktion festgelegt ist?
Wenn ja, dann kann es keine andere geben.
> Gruss leduart
>
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> > innerhalb des Konv€®©€~zradius ist eine
> potenzreihe
> > eine Funktion. Wenn du die Ableitungen bildest und so eine
> > Taylorreihe bildest bekommst d¨wieder dieselbe. d.h- da du
> > weisst, dass deine Potenzreihe um x=0 für x<1 die fkt
> > 1/(1-x) darstellt ist sie auch die Taylorreihe.
>
> Passt der folgende Satz(aus Forster) zum Thema?
>
> "Sei a [mm]\in \IR[/mm] und
> [mm]f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}[/mm] eine Potenzreihe
> mit einem positiven Konvergenzradius [mm]r\in ]0,\infty[.[/mm] Dann
> ist die Taylorreihe der Funktion f:]a-r,a+r[ [mm]\to \IR[/mm] mit
> Entwicklungspunkt a gleich dieser Potenzreihe(und
> konvergiert somit gegen f)"
>
>
> > nimem an, es giäb ne andere, beide stellen f(x) dar was
> > würde folgen?
> Stimmt das , dass Taylorreihe für eine Funktion mit
> geeigneten Eigenschaften (die für die Taylorentwicklung
> notwendig sind) eindeutig durch diese Funktion festgelegt
> ist?
Ja. Das besagt der Identitätssatz für Potenzreihen.
FRED
>
> Wenn ja, dann kann es keine andere geben.
>
>
> > Gruss leduart
> >
>
>
>
>
> Gruss
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo fred97,
bezieht sich Deine Antwort nur auf meine letzte Frage?
Wie sieht es mit der ersten Frage aus?
Gruss
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das waren doch 2 praktisch gleiche fragen, und ja du kannst Forster zitieren (oder besser deine Vorlesung)
Gruss leduart
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