Potenzreihenansatz < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes für die Lösung y(x) sowie der Potenzreihe für die Sinusfunktion die ersten sieben Glieder der Potenzreihe der Lösung y(x) des Anfangswertproblem
[mm] y^{,}=sin(x)*y, [/mm] y(0)=1
Vergleichen Sie das so erhaltene Polynom [mm] P_{7}(x) [/mm] 7.Grades mit der exakten Lösung y(x) des Anfangswertproblems (Trennung der Veränderlichen!), indem Sie sowohl [mm] y(\bruch{1}{2}) [/mm] als auch [mm] P_{7}(\bruch{1}{2}) [/mm] berechnen. |
Hallo liebe Matheraum- Community,
zur Lösung der gestellten Aufgabe bin ich folgendermaßen vorgegangen:
(1) Ich beginne damit, in die ursprüngliche DGL die 0 einzusetzen, da ich ja aus meiner Anfangsbedingung ablesen kann, dass mein Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] beträgt. Ferner gilt gemäß meiner Anfangsbedingung: y(0)=1.
(2) So bekomme ich den Wert [mm] y^{,}(0)=0 [/mm] heraus.
(3) Nun leite ich meine DGL ab und wiederhole mit dieser neuen Gleichung das Verfahren aus (1) und (2) und erhalte für [mm] y^{,,}=1
[/mm]
(4) Diese Methode führe ich weiter, bis ich aus meiner sechsten Ableitung [mm] y^{(6)}=2 [/mm] erhalte.
Folgende Werte errechne ich mit diesem Verfahren:
y(0)=1
[mm] y^{,}=0
[/mm]
[mm] y^{,,}=1
[/mm]
[mm] y^{,,,}=0
[/mm]
[mm] y^{(4)}=2
[/mm]
[mm] y^{(5)}=0
[/mm]
[mm] y^{(6)}=2
[/mm]
Im Zuge der Formel [mm] a_{k}=\bruch{1}{k!}y^{(k)}(0) [/mm] gemäß [mm] a_{k}=\bruch{1}{k!}y^{(k)}(x_{0}) [/mm] erhalte ich also die folgenden Koeffizienten:
[mm] a_{0}=1
[/mm]
[mm] a_{1}=0
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] a_{3}=0
[/mm]
[mm] a_{4}=\bruch{1}{12}
[/mm]
[mm] a_{5}=0
[/mm]
[mm] a_{6}=\bruch{1}{360}
[/mm]
und mein Reihenanfang lautet:
[mm] y(x)=1+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{12}x^{4}+\bruch{1}{360}x^{6}+...
[/mm]
und für [mm] P_{7}(\bruch{1}{2}) [/mm] erhalte ich demnach:
[mm] P_{7}(\bruch{1}{2})\approx1,13
[/mm]
Nun bestimme ich die exakte Lösung des Anfangswertproblems gemäß:
[mm] y(x)=e^{-A(x)}\integral_{x_{0}}^{x}{r(t)*e^{A(t)}dt}+y_{0}*e^{-A(x)}, [/mm] mit [mm] A(x)=\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt} [/mm]
mit
[mm] y(x)=e^{-cos(x)}\integral_{0}^{x}{0(t)*e^{cos(t)}dt}+1*e^{-cos(x)}, [/mm] mit [mm] A(x)=\integral_{0}^{x}{(-sin(t)) dt}
[/mm]
und erhalte
[mm] y(x)=2(\bruch{e^{1}}{e^{cos(x)}})
[/mm]
sowie [mm] y(\bruch{1}{2})\approx2,26
[/mm]
Jetzt fällt auf, dass das Ergebnis aus meinem Potenzreihenansatz, verglichen mit der exakten Lösung, nahezu genau die Hälfte ist. Meine Fragen:
1.) Sind meine Berechnungen korrekt?
2.) Wenn ja, wie lässt sie diese Beobachtung erklären?
3.) Gibt es keine elegantere Methode hinsichtlich der Berechnung mit einem Potenzreihenansatz?
Über eine baldige Antwort von euch würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Bestimmen Sie mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes für die
> Lösung y(x) sowie der Potenzreihe für die Sinusfunktion die
> ersten sieben Glieder der Potenzreihe der Lösung y(x) des
> Anfangswertproblem
>
> [mm]y^{,}=sin(x)*y,[/mm] y(0)=1
>
> Vergleichen Sie das so erhaltene Polynom [mm]P_{7}(x)[/mm] 7.Grades
> mit der exakten Lösung y(x) des Anfangswertproblems
> (Trennung der Veränderlichen!), indem Sie sowohl
> [mm]y(\bruch{1}{2})[/mm] als auch [mm]P_{7}(\bruch{1}{2})[/mm] berechnen.
> Hallo liebe Matheraum- Community,
>
> zur Lösung der gestellten Aufgabe bin ich folgendermaßen
> vorgegangen:
>
>
>
> (1) Ich beginne damit, in die ursprüngliche DGL die 0
> einzusetzen, da ich ja aus meiner Anfangsbedingung ablesen
> kann, dass mein Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] beträgt. Ferner
> gilt gemäß meiner Anfangsbedingung: y(0)=1.
>
>
> (2) So bekomme ich den Wert [mm]y^{,}(0)=0[/mm] heraus.
>
>
> (3) Nun leite ich meine DGL ab und wiederhole mit dieser
> neuen Gleichung das Verfahren aus (1) und (2) und erhalte
> für [mm]y^{,,}=1[/mm]
>
>
> (4) Diese Methode führe ich weiter, bis ich aus meiner
> sechsten Ableitung [mm]y^{(6)}=2[/mm] erhalte.
>
>
>
> Folgende Werte errechne ich mit diesem Verfahren:
>
>
> y(0)=1
>
> [mm]y^{,}=0[/mm]
>
> [mm]y^{,,}=1[/mm]
>
> [mm]y^{,,,}=0[/mm]
>
> [mm]y^{(4)}=2[/mm]
>
> [mm]y^{(5)}=0[/mm]
>
> [mm]y^{(6)}=2[/mm]
>
Hier muß stehen: [mm]\blue{y^{\left(6\right)}=\red{1}}[/mm]
>
>
> Im Zuge der Formel [mm]a_{k}=\bruch{1}{k!}y^{(k)}(0)[/mm] gemäß
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{k!}y^{(k)}(x_{0})[/mm] erhalte ich also die
> folgenden Koeffizienten:
>
>
> [mm]a_{0}=1[/mm]
>
> [mm]a_{1}=0[/mm]
>
> [mm]a_{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]a_{3}=0[/mm]
>
> [mm]a_{4}=\bruch{1}{12}[/mm]
>
> [mm]a_{5}=0[/mm]
>
> [mm]a_{6}=\bruch{1}{360}[/mm]
>
Demzufolge auch [mm]\blue{a_{6}=\bruch{1}{720}}[/mm]
>
>
> und mein Reihenanfang lautet:
>
>
> [mm]y(x)=1+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{12}x^{4}+\bruch{1}{360}x^{6}+...[/mm]
>
>
>
> und für [mm]P_{7}(\bruch{1}{2})[/mm] erhalte ich demnach:
>
>
> [mm]P_{7}(\bruch{1}{2})\approx1,13[/mm]
>
>
>
> Nun bestimme ich die exakte Lösung des Anfangswertproblems
> gemäß:
>
>
> [mm]y(x)=e^{-A(x)}\integral_{x_{0}}^{x}{r(t)*e^{A(t)}dt}+y_{0}*e^{-A(x)},[/mm]
> mit [mm]A(x)=\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}[/mm]
>
>
> mit
>
>
> [mm]y(x)=e^{-cos(x)}\integral_{0}^{x}{0(t)*e^{cos(t)}dt}+1*e^{-cos(x)},[/mm]
> mit [mm]A(x)=\integral_{0}^{x}{(-sin(t)) dt}[/mm]
>
>
> und erhalte
>
>
> [mm]y(x)=2(\bruch{e^{1}}{e^{cos(x)}})[/mm]
>
>
> sowie [mm]y(\bruch{1}{2})\approx2,26[/mm]
>
>
>
> Jetzt fällt auf, dass das Ergebnis aus meinem
> Potenzreihenansatz, verglichen mit der exakten Lösung,
> nahezu genau die Hälfte ist. Meine Fragen:
>
>
> 1.) Sind meine Berechnungen korrekt?
Bei der Berechnung von [mm]y^{\left(6\right)}\left(0\right)[/mm] ist etwas schief gelaufen.
>
> 2.) Wenn ja, wie lässt sie diese Beobachtung erklären?
Siehe Erklärung unter 1)
>
> 3.) Gibt es keine elegantere Methode hinsichtlich der
> Berechnung mit einem Potenzreihenansatz?
>
Die übliche Methode ist, den Potenzreihenansatz wirklich in die DGL einzusetzen.
Dazu Bedarf es der Potenzreihe des Sinus
Dann hast Du auf der rechten Seite zwei Potenzreihen stehen, die miteinander multipliziert werden müssen.
Anschließender Koeeffientenvergleich liefert dann die unbekannten Koeffizienten
>
>
> Über eine baldige Antwort von euch würde ich mich sehr
> freuen. Gruß,
>
>
>
>
>
> Marcel
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Alles klar, ich danke dir. Dann versuche ich das mal so.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Die Potenzreihe von sin(x) lautet:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}x^{n+1}}{(2n+1)!}x^{n}
[/mm]
Die Potenzreihe von y lautet:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}
[/mm]
Die Potenzreihe von [mm] y^{,} [/mm] lautet:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}nb_{n}x^{n-1}
[/mm]
Anwendung des Cauchyproduktes liefert:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}x^{n+1}}{(2n+1)!}x^{n}*\summe_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}, [/mm] mit [mm] c_{n}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}x^{k+1}}{(2k+1)!}b_{n-k}
[/mm]
Aus [mm] y^{,}=sin(x)*y [/mm] folgt nun:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}nb_{n}x^{n-1}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*x^{k+1}}{(2k+1)!}b_{n-k}x^{n}
[/mm]
Wie sieht es aber nun mit dem Koeffizientenvergleich aus? Für sin(x) erhalte ich nun den folgenden Reihenanfang mit den entsprechenden Koeffizienten:
[mm] 0+x+0-\bruch{1}{3!}x^{3}+0+\bruch{1}{5}x^{5}-...
[/mm]
und für y
[mm] b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}+...
[/mm]
Für meine ersten sieben [mm] c_{n} [/mm] erhalte ich demnach:
[mm] c_{0}=0
[/mm]
[mm] c_{1}=b_{0}
[/mm]
[mm] c_{2}=b_{1}
[/mm]
[mm] c_{3}=b_{2}-\bruch{1}{3!}b_{0}
[/mm]
[mm] c_{4}=b_{3}-\bruch{1}{3!}b_{1}
[/mm]
[mm] c_{5}=b_{4}-\bruch{1}{3!}b_{2}+\bruch{1}{5!}b_{0}
[/mm]
[mm] c_{6}=b_{5}-\bruch{1}{3!}b_{3}+\bruch{1}{5!}b_{1}
[/mm]
Meine Fragen:
(1) Wie kann ich denn nun einen Vergleich mit dem Polynom, welches ich aus meinen berechneten Koeffizineten erhalte und der exakten Lösung des Anfangswertproblems anstellen?
(2) Muss man dazu nicht die [mm] b_{n} [/mm] bestimmen?
(3) Wenn ja, wie mache ich das?
Über einige hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Die Potenzreihe von sin(x) lautet:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}x^{n+1}}{(2n+1)!}x^{n}[/mm]
>
>
>
> Die Potenzreihe von y lautet:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}[/mm]
>
>
>
> Die Potenzreihe von [mm]y^{,}[/mm] lautet:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}nb_{n}x^{n-1}[/mm]
>
>
>
> Anwendung des Cauchyproduktes liefert:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}x^{n+1}}{(2n+1)!}x^{n}*\summe_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n},[/mm]
> mit
> [mm]c_{n}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}x^{k+1}}{(2k+1)!}b_{n-k}[/mm]
>
>
>
> Aus [mm]y^{,}=sin(x)*y[/mm] folgt nun:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}nb_{n}x^{n-1}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*x^{k+1}}{(2k+1)!}b_{n-k}x^{n}[/mm]
>
>
>
> Wie sieht es aber nun mit dem Koeffizientenvergleich aus?
> Für sin(x) erhalte ich nun den folgenden Reihenanfang mit
> den entsprechenden Koeffizienten:
>
>
> [mm]0+x+0-\bruch{1}{3!}x^{3}+0+\bruch{1}{5}x^{5}-...[/mm]
>
>
> und für y
>
>
> [mm]b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}+...[/mm]
>
>
>
> Für meine ersten sieben [mm]c_{n}[/mm] erhalte ich demnach:
>
>
> [mm]c_{0}=0[/mm]
>
> [mm]c_{1}=b_{0}[/mm]
>
> [mm]c_{2}=b_{1}[/mm]
>
> [mm]c_{3}=b_{2}-\bruch{1}{3!}b_{0}[/mm]
>
> [mm]c_{4}=b_{3}-\bruch{1}{3!}b_{1}[/mm]
>
> [mm]c_{5}=b_{4}-\bruch{1}{3!}b_{2}+\bruch{1}{5!}b_{0}[/mm]
>
> [mm]c_{6}=b_{5}-\bruch{1}{3!}b_{3}+\bruch{1}{5!}b_{1}[/mm]
>
>
>
> Meine Fragen:
>
>
> (1) Wie kann ich denn nun einen Vergleich mit dem Polynom,
> welches ich aus meinen berechneten Koeffizineten erhalte
> und der exakten Lösung des Anfangswertproblems anstellen?
Nun gehören zu dem [mm]c_{n}[/mm] auch die entsprechenden Potenzfunktionen: [mm]x^{n}[/mm]
Um einen Vergleich anstellen zu können, muß das auch für [mm]k*b_{k}*x^{k-1}[/mm] gelten.
Hieraus ergibt sich dann:
[mm]\left(n+1\right)*b_{n+1}=c_{n}[/mm]
[mm]\gdw b_{n+1}=\bruch{1}{n+1}c_{n}[/mm]
mit
[mm]c_{n}=\summe_{k=0}^{2k \le n+1}{\bruch{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}*b_{n-1-2k}}[/mm]
>
>
> (2) Muss man dazu nicht die [mm]b_{n}[/mm] bestimmen?
>
>
> (3) Wenn ja, wie mache ich das?
>
>
>
> Über einige hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen.
> Gruß,
>
>
>
>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo MathePower,
deinem Hinweis zufolge erhalte ich nun:
[mm] P_{7}(x)=x^{n}(b_{0}+b_{1}+(b_{2}-\bruch{1}{3!}b_{0})+(b_{3}-\bruch{1}{3!}b_{1})+(b_{4}-\bruch{1}{3!}b_{2}+\bruch{1}{5!}b_{0})+(b_{5}-\bruch{1}{3!}b_{3}+\bruch{1}{5!}b_{1}))
[/mm]
(1) Was du mir daraufhin geschrieben hattest, habe ich leider nicht richtig verstanden. Vielleicht könntest du mir noch einmal auf eine andere Weise erklären, was du damit meintest?
(2) Anders gefragt: Was genau müsste ich nun tun, um die eigentliche Aufgabe zu lösen?
Für die Umstände möchte ich mich entschuldigen. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Hallo MathePower,
>
> deinem Hinweis zufolge erhalte ich nun:
>
>
> [mm]P_{7}(x)=x^{n}(b_{0}+b_{1}+(b_{2}-\bruch{1}{3!}b_{0})+(b_{3}-\bruch{1}{3!}b_{1})+(b_{4}-\bruch{1}{3!}b_{2}+\bruch{1}{5!}b_{0})+(b_{5}-\bruch{1}{3!}b_{3}+\bruch{1}{5!}b_{1}))[/mm]
>
>
>
> (1) Was du mir daraufhin geschrieben hattest, habe ich
> leider nicht richtig verstanden. Vielleicht könntest du mir
> noch einmal auf eine andere Weise erklären, was du damit
> meintest?
>
>
> (2) Anders gefragt: Was genau müsste ich nun tun, um die
> eigentliche Aufgabe zu lösen?
>
Ich hab es doch schon hingeschrieben:
Die Koeffienten [mm]b_{n+1}[/mm] ergeben sich zu
[mm] b_{n+1}= \bruch{1}{n+1}\summe_{k=0}^{2k+1 \le n}{\bruch{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}\cdot{}b_{n-1-2k}} [/mm]
mit
[mm]b_{0}=1[/mm]
Dann ergibt sich
[mm]y\left(x\right) =\summe_{k=0}^{n}{b_{k}x^{k}}[/mm]
>
>
> Für die Umstände möchte ich mich entschuldigen. Gruß,
>
>
>
>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo MathePower,
wenn ich dann so vorgehe erhalte ich für meine [mm] b_{n} [/mm] die folgenden Werte:
[mm] b_{0}=1
[/mm]
[mm] b_{1}=1
[/mm]
[mm] b_{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] b_{3}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] b_{4}=\bruch{1}{12}
[/mm]
[mm] b_{5}=\bruch{1}{30}
[/mm]
[mm] b_{6}=\bruch{1}{720}
[/mm]
und demnach
[mm] y(x)=1+x+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{1}{12}x^{4}+\bruch{1}{30}x^5+\bruch{1}{720}x^{6}
[/mm]
und speziell
[mm] y(\bruch{1}{2})\approx1,673
[/mm]
Vergleicht man diese Reihe mit der Reihe meiner ersten Methode, so fällt auf, dass sie, bis auf die ungeraden Potenzen von x, identisch sind.
Verglichen mit dem Wert der exakten Lösung kann man jedoch nicht wirklich eine Gemeinsamkeit erkennen.
(1) Stimmt die Rechnung so oder habe ich mich irgendwo vertan?
(2) Wenn sie stimmt, was kann man nun daraus erkennen? Irgendwie habe ich da nun den Überblick verloren.
Danke nochmal! Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Hallo MathePower,
>
> wenn ich dann so vorgehe erhalte ich für meine [mm]b_{n}[/mm] die
> folgenden Werte:
>
>
> [mm]b_{0}=1[/mm]
>
> [mm]b_{1}=1[/mm]
>
> [mm]b_{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]b_{3}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]b_{4}=\bruch{1}{12}[/mm]
>
> [mm]b_{5}=\bruch{1}{30}[/mm]
>
> [mm]b_{6}=\bruch{1}{720}[/mm]
>
>
>
> und demnach
>
>
> [mm]y(x)=1+x+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{1}{12}x^{4}+\bruch{1}{30}x^5+\bruch{1}{720}x^{6}[/mm]
>
>
>
> und speziell
>
>
> [mm]y(\bruch{1}{2})\approx1,673[/mm]
>
>
>
> Vergleicht man diese Reihe mit der Reihe meiner ersten
> Methode, so fällt auf, dass sie, bis auf die ungeraden
> Potenzen von x, identisch sind.
>
>
> Verglichen mit dem Wert der exakten Lösung kann man jedoch
> nicht wirklich eine Gemeinsamkeit erkennen.
>
>
> (1) Stimmt die Rechnung so oder habe ich mich irgendwo
> vertan?
Es folgt nicht explizit, aber:
[mm] b_{n+1}= \bruch{1}{n+1}\summe_{k=0}^{2k+1 \le n}{\bruch{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}\cdot{}b_{n-1-2k}}[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm] b_{\blue{0}+1}= \bruch{1}{\blue{0}+1}\summe_{k=0}^{2k+1 \le \blue{0}}{\bruch{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}\cdot{}b_{\blue{0}-1-2k}} =0[/mm]
Somit gilt für alle v: [mm]b_{2v+1}=0 , \ v \in \IN_{0}^{+}[/mm]
>
> (2) Wenn sie stimmt, was kann man nun daraus erkennen?
Ich hab das entsprechend korrigiert.
Erkennen kann man daraus, daß [mm]\summe_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}[/mm]
die Reihenentwicklung der Funktion [mm]C*e^{\cos\left(x\right)}[/mm]
unter der angebenen Anfangsbedingung ist.
> Irgendwie habe ich da nun den Überblick verloren.
>
Die Frage war, ob es eine "elegantere Methode hinsichtlich der Berechnung mit einem Potenzreihenansatz" gibt.
>
>
> Danke nochmal! Gruß,
>
>
>
>
>
> Marcel
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir für deine Geduld. Nein, das war ja auch kein Vorwurf gegen dich. Das Problem liegt da bei mir, weil ich u.a. auch für diese abstrakten Summen einfach kein Auge habe. Leute wie du, die das so ohne weiteres aus dem Ärmel schütteln können, finde ich schon bewundernswert. Nochmals vielen Dank jedenfalls. Gruß,
Marcel
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