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| Aufgabe | Lösen Sie das AWP mit einem Potenzreihenansatz
[mm] $(1+x)y''(x)+2y(x)=x^{2}, [/mm] y(0)=y'(0)=1$ |
Hallo ihr Lieben,
stehe wieder vor einem Problem, und komme nicht voran.
Ich gebe an, wie weit ich gekommen bin:
Potenzreihenansatz: [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k}$
[/mm]
Schritte:
1. Potenzreihe differenziert
2. Differenzierte Potenzreihen eingesetzt in Dgl. ergibt:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}t^{k}+$\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)ka_{k+1}t^{k}+2\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k}-t^{2}=0
[/mm]
Nun muss ich die Koeffizienten vergleichen, nur der Term [mm] t^{2} [/mm] macht Probleme... Wie fahre ich hier fort? Ist mein Lösungsweg bis jetzt richtig?
Wäre auf Hinweise sehr froh!
viele Grüße, favourite
P. S. Ich habe die Frage auf keine andere Internetseiten gestellt.
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Hallo favourite,
> Lösen Sie das AWP mit einem Potenzreihenansatz
> [mm](1+x)y''(x)+2y(x)=x^{2}, y(0)=y'(0)=1[/mm]
> Hallo ihr Lieben,
>
> stehe wieder vor einem Problem, und komme nicht voran.
> Ich gebe an, wie weit ich gekommen bin:
>
> Potenzreihenansatz: [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k}[/mm]
> Schritte:
> 1. Potenzreihe differenziert
> 2. Differenzierte Potenzreihen eingesetzt in Dgl. ergibt:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}t^{k}+[/mm][mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)ka_{k+1}t^{k}+2\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k}-t^{2}=0[/mm]
Die mittlere Summe läuft erst ab dem Index 1:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}t^{k}+ \summe_{k=\red{1}}^{\infty}(k+1)ka_{k+1}t^{k}+2\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k}-t^{2}=0[/mm]
>
> Nun muss ich die Koeffizienten vergleichen, nur der Term
> [mm]t^{2}[/mm] macht Probleme... Wie fahre ich hier fort? Ist mein
> Lösungsweg bis jetzt richtig?
Ja, der Lösungsweg ist bis jetzt richtig.
Zur weitern Vorgehensweise, machst Du eine
Fallunterscheidung hinsichtlich des Exponenten:
i) n=0: ...
ii) n=2: ...
iii) [mm]n>0 \wedge n \not= 2[/mm]: ...
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> Wäre auf Hinweise sehr froh!
>
> viele Grüße, favourite
>
> P. S. Ich habe die Frage auf keine andere Internetseiten
> gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
meinst du Fallunterscheidung für [mm] $t^2$? [/mm] Das verstehe ich nicht ganz. Folgt eigentlich jetzt nicht der Koeffizientenvergleich?
viele Grüße, favourite
P. S. Danke für die klene Korrektur!
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Hallo favourite,
> Hallo MathePower,
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> meinst du Fallunterscheidung für [mm]t^2[/mm]? Das verstehe ich
> nicht ganz. Folgt eigentlich jetzt nicht der
Wenn Du Koeffizientenvergleich macht, dann vergleichst
Du die Exponenten miteinander.
> Koeffizientenvergleich?
Für [mm]t^{k}, \ k \ge 0, \ k \in \IZ[/mm] erhältst Du jeweils eine Gleichung.
Die gegebene Gleichung umfasst 4 Summanden.
Für den Exponent 0 sind nur 2 Summanden beteiligt.
Für den Exponent 2 sind alle 4 Summanden beteiligt.
Für alle anderen Exponenten sind nur 3 Summanden beteiligt.
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> viele Grüße, favourite
>
> P. S. Danke für die klene Korrektur!
Gruss
MathePower
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