Potenzreihenentw. für Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Potenzreihenentwicklung für Funktionen
[mm] \IR \backslash [/mm] {a,b} [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{x+1}{x^2-3x+2}
[/mm]
Bestimmen Sie außerdem den Konvergenzradius dieser Reihenentwicklung. |
Hallo zusammen,
ich verzweifel gerade scheinbar an dieser Aufgabe und habe keinen wirklichen Plan, wie ich am besten vorgehe...
Ich habe bisher bereits die Funktion als Partialbruch zerlegt:
[mm] \IR \backslash [/mm] {a,b} [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{x+1}{x^2-3x+2} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{3}{x-2}
[/mm]
Ich habe nun gefunden, dass man den ganzrationalen Teil in Potenzen von x - [mm] x_0 [/mm] umschreiben soll, allerdings weiß ich nicht so ganz, wie ich das mache... Ich habe ja kein [mm] x_0 [/mm] ... Wie kann ich das [mm] x_0 [/mm] bestimmen?
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie eine Potenzreihenentwicklung für Funktionen
> [mm]\IR \backslash[/mm] {a,b} [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{x+1}{x^2-3x+2}[/mm]
>
> Bestimmen Sie außerdem den Konvergenzradius dieser
> Reihenentwicklung.
> Hallo zusammen,
>
> ich verzweifel gerade scheinbar an dieser Aufgabe und habe
> keinen wirklichen Plan, wie ich am besten vorgehe...
>
> Ich habe bisher bereits die Funktion als Partialbruch
> zerlegt:
> [mm]\IR \backslash[/mm] {a,b} [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{x+1}{x^2-3x+2}[/mm]
> = [mm]\bruch{-2}{x-1}[/mm] + [mm]\bruch{3}{x-2}[/mm]
>
> Ich habe nun gefunden, dass man den ganzrationalen Teil in
> Potenzen von x - [mm]x_0[/mm] umschreiben soll, allerdings weiß ich
> nicht so ganz, wie ich das mache... Ich habe ja kein [mm]x_0[/mm]
> ... Wie kann ich das [mm]x_0[/mm] bestimmen?
>
wenn deine partialbruchzerlegung stimmt, dann gibt es keinen ganzrationalen anteil, oder?
> Vielen Dank schonmal im Voraus!
>
> Viele Grüße!
>
ich würde versuchen, die einzelnen partialbrüche als geeignete geometrische reihen darzustellen. Du hast doch
[mm] \frac{a}{1-x}=\sum_{i=0}^\infty ax^i [/mm] falls $|x|<1$.
es sollte möglich sein, die obigen partialbrüche durch etwas umformen als abgewandelte geometrische reihen zu schreiben.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 15.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo,
zu diesem Problem habe ich auch eine Frage.
Man soll also die Partialbrüche als geeignete geometrische Reihen darstellen.
(Die Zerlegung sollten übrigens stimmen, die habe ich auch rausbekommen :) )
Wenn ich jetzt den ersten Bruch betrachte, also [mm] \bruch{-2}{x-1}, [/mm] dann könnte ich die 2 ja schonmal davorziehen, also 2 [mm] *\bruch{-1}{x-1}
[/mm]
2 [mm] *\bruch{-1}{x-1} [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{1-x} [/mm] = 2* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n
[/mm]
Wäre das soweit richtig?
LG Pia
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Hallo Pia90,
> Hallo,
> zu diesem Problem habe ich auch eine Frage.
> Man soll also die Partialbrüche als geeignete
> geometrische Reihen darstellen.
> (Die Zerlegung sollten übrigens stimmen, die habe ich auch
> rausbekommen :) )
>
> Wenn ich jetzt den ersten Bruch betrachte, also
> [mm]\bruch{-2}{x-1},[/mm] dann könnte ich die 2 ja schonmal
> davorziehen, also 2 [mm]*\bruch{-1}{x-1}[/mm]
>
> 2 [mm]*\bruch{-1}{x-1}[/mm] = [mm]2*\bruch{1}{1-x}[/mm] = 2*
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
>
> Wäre das soweit richtig?
>
Ja.
> LG Pia
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Do 15.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
Danke erstmal!!!
Ok, bis dahin komme ich also (noch) klar. Nur was ist mit dem Entwicklungspunkt? Bedeutet das, dass der Entwicklungspunkt 0 ist?
Außerdem bleibe ich bei dem zweiten Bruch hängen
[mm] \bruch{3}{x-2} [/mm] = [mm] -3*\bruch{1}{2-x} [/mm] doch wie bekomme ich das nun noch weiter umgeformt, damit ich daraus eine Summe machen kann?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal!!!
>
> Ok, bis dahin komme ich also (noch) klar. Nur was ist mit
> dem Entwicklungspunkt? Bedeutet das, dass der
> Entwicklungspunkt 0 ist?
Ja
>
> Außerdem bleibe ich bei dem zweiten Bruch hängen
> [mm]\bruch{3}{x-2}[/mm] = [mm]-3*\bruch{1}{2-x}[/mm] doch wie bekomme ich
> das nun noch weiter umgeformt, damit ich daraus eine Summe
> machen kann?
[mm] \bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2}
[/mm]
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 15.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
>
> >
> > Außerdem bleibe ich bei dem zweiten Bruch hängen
> > [mm]\bruch{3}{x-2}[/mm] = [mm]-3*\bruch{1}{2-x}[/mm] doch wie bekomme ich
> > das nun noch weiter umgeformt, damit ich daraus eine Summe
> > machen kann?
>
>
> [mm]\bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2}[/mm]
>
[mm] \bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^2 [/mm] ?! Oder steh ich jetzt auf dem Schlauch?
Und meine Potenzreihenentwicklung wäre dann
2* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}* \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^2?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> > >
> > > Außerdem bleibe ich bei dem zweiten Bruch hängen
> > > [mm]\bruch{3}{x-2}[/mm] = [mm]-3*\bruch{1}{2-x}[/mm] doch wie bekomme
> ich
> > > das nun noch weiter umgeformt, damit ich daraus eine Summe
> > > machen kann?
> >
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2}[/mm]
> >
>
> [mm]\bruch{1}{2-x}=\bruch{1}{2(1-x/2)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x/2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^2[/mm] ?!
> Oder steh ich jetzt auf dem Schlauch?
Nein.
>
> Und meine Potenzreihenentwicklung wäre dann
> 2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}* \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^2?[/mm]
Ja, aber Du hast Dich vertippt:
Richtig:
2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}* \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm]
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Do 15.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
Oh super, vielen Dank :)
Und der Konvergenzradius lässt sich jetzt mit Cauchy-Hadamard berechnen, nicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh super, vielen Dank :)
>
> Und der Konvergenzradius lässt sich jetzt mit
> Cauchy-Hadamard berechnen, nicht?
Nein, das ist nicht nötig.
2* $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}\cdot{} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n [/mm] $
Die erste Reihe konv. für |x|<1, die zweite für |x|<2,
Dann konv. die Differenz für |x|< ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 15.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
>
> 2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}\cdot{} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm]
>
> Die erste Reihe konv. für |x|<1, die zweite für |x|<2,
>
> Dann konv. die Differenz für |x|< ?
>
Dann ist |x| [mm] \le [/mm] min{1,2} also |x| [mm] \le [/mm] 1 ?!
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Hallo Pia90,
> >
> > 2* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n -\bruch{3}{2}\cdot{} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm]
>
> >
> > Die erste Reihe konv. für |x|<1, die zweite für |x|<2,
> >
> > Dann konv. die Differenz für |x|< ?
> >
>
> Dann ist |x| [mm]\le[/mm] min{1,2} also |x| [mm]\le[/mm] 1 ?!
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Do 15.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank!!!
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