Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Do 04.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | Im Punkt 0 sei eine feste, positive Punktladung Q gegeben. Für einen Punkt x [mm] \in ]0,\infty[ [/mm] beträgt dann die Feldstärke [mm] \bruch{CQ}{x^2} [/mm] mit einem C>0. Sie fällt also quadratisch mit wachsendem x. Bei zwei Punktladungen ( Q in 0 und-Q in .1) gilt fpr die Feldstärke entsprechend:
[mm] E(x)=\bruch{CQ}{x^2}-\bruch{CQ}{(x+1)^2}; x\ge0.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Potzenreihenentwicklung von [mm] x^2-\bruch{x^2}{(x+1)^2} [/mm] im Ursprung. |
Guten Abend,
ich sitze gerade vor einer Aufgabe die ich eigentlich lösen kann aber nicht so lösen darf wie ich es gelernt habe!
Ich soll eine Entwicklung der oben angegebenen Funktion [mm] x^2-\bruch{x^2}{(x+1)^2} [/mm] um den Punkt [mm] x_0=0 [/mm] machen.
Normal würde ich für sowas einfach die Taylor-Entwicklung verwenden.
[mm] f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n
[/mm]
Für diese Aufgabe sollen wir allerdings nicht die Taylor-Entwicklung verwenden da wir "noch nicht wissen was eine Ableitung wirklich ist" (die Worte unseres Profs.). Stattdessen sollen wir das mit einer Potenzreihenentwicklung machen.
1. Ich dachte die Taylor-Reihe ist eine Potenzreihe?
2. Ich habe mir jetzt mal das Buch "Mathematik für Physiker" von Helmut Fischer und Helmut Kaul ausgeliehen weil angeblich unser Skript darauf basiert. In dem Kapitel für Potenzreihenentwicklung wird aber auch nur die Taylorreihenentwicklung besprochen und praktisch alle Entwicklungen mit dieser Methode durchgeführt.
Wie würde ich denn eine Funktion ohne hilfe der Taylorreihenentwicklung entwickeln?
Das einzige was mir noch logisch erscheinen würde ist das ich versuche meine Funktion so umzuformen das ich dafür bekannte Reihen, von denen ich die Entwicklung schon kenne, einsetze.
Z.b Ich habe die Funktion [mm] f(x):=\bruch{1}{1-x} [/mm] |x|<1. Daraus kann ich ja die Summenformel der Geometrischen Reihe erkennen:
Also habe ich [mm] \sum_{k=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3.....
[/mm]
Und habe praktische ohne Taylorentwicklung eine Entwicklung von f(x) um den Punkt [mm] x_0=0 [/mm] gemacht. Ist das so richtig oder gibt es eine allgemeinere Methode um Funktionen zu Entwickeln die sich mir jetzt nicht erschließt?
Liebe Grüße
Rzeta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Do 04.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Im Punkt 0 sei eine feste, positive Punktladung Q gegeben.
> Für einen Punkt x [mm]\in ]0,\infty[[/mm] beträgt dann die
> Feldstärke [mm]\bruch{CQ}{x^2}[/mm] mit einem C>0. Sie fällt also
> quadratisch mit wachsendem x. Bei zwei Punktladungen ( Q in
> 0 und-Q in .1) gilt fpr die Feldstärke entsprechend:
>
> [mm]E(x)=\bruch{CQ}{x^2}-\bruch{CQ}{(x+1)^2}; x\ge0.[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Potzenreihenentwicklung von
> [mm]x^2-\bruch{x^2}{(x+1)^2}[/mm] im Ursprung.
> Guten Abend,
>
> ich sitze gerade vor einer Aufgabe die ich eigentlich
> lösen kann aber nicht so lösen darf wie ich es gelernt
> habe!
>
> Ich soll eine Entwicklung der oben angegebenen Funktion
> [mm]x^2-\bruch{x^2}{(x+1)^2}[/mm] um den Punkt [mm]x_0=0[/mm] machen.
>
> Normal würde ich für sowas einfach die Taylor-Entwicklung
> verwenden.
>
> [mm]f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n[/mm]
>
> Für diese Aufgabe sollen wir allerdings nicht die
> Taylor-Entwicklung verwenden da wir "noch nicht wissen was
> eine Ableitung wirklich ist" (die Worte unseres Profs.).
> Stattdessen sollen wir das mit einer
> Potenzreihenentwicklung machen.
>
> 1. Ich dachte die Taylor-Reihe ist eine Potenzreihe?
>
> 2. Ich habe mir jetzt mal das Buch "Mathematik für
> Physiker" von Helmut Fischer und Helmut Kaul ausgeliehen
> weil angeblich unser Skript darauf basiert. In dem Kapitel
> für Potenzreihenentwicklung wird aber auch nur die
> Taylorreihenentwicklung besprochen und praktisch alle
> Entwicklungen mit dieser Methode durchgeführt.
>
> Wie würde ich denn eine Funktion ohne hilfe der
> Taylorreihenentwicklung entwickeln?
>
> Das einzige was mir noch logisch erscheinen würde ist das
> ich versuche meine Funktion so umzuformen das ich dafür
> bekannte Reihen, von denen ich die Entwicklung schon kenne,
> einsetze.
>
> Z.b Ich habe die Funktion [mm]f(x):=\bruch{1}{1-x}[/mm] |x|<1.
> Daraus kann ich ja die Summenformel der Geometrischen Reihe
> erkennen:
>
> Also habe ich [mm]\sum_{k=0}^{\infty} q^k[/mm] =
> [mm]\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3.....[/mm]
>
> Und habe praktische ohne Taylorentwicklung eine Entwicklung
> von f(x) um den Punkt [mm]x_0=0[/mm] gemacht. Ist das so richtig
Ja, das ist richtig. Vermutlich sollst du auch deine Aufgabe in diese Richtung hinbiegen.
Gruß Abakus
> oder gibt es eine allgemeinere Methode um Funktionen zu
> Entwickeln die sich mir jetzt nicht erschließt?
>
> Liebe Grüße
>
> Rzeta
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 04.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Das ging ja flott! Danke. Nur mal aus Neugier: Würdest du auf anhieb erkennen wie du $ [mm] x^2-\bruch{x^2}{(x+1)^2} [/mm] $vereinfachen musst damit du bekannte Reihen (exp, sin, cos, geometrische, harmonische...) verwenden kannst?
Gruß
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Do 04.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Das ging ja flott! Danke. Nur mal aus Neugier: Würdest du
> auf anhieb erkennen
Nein.
> wie du [mm]x^2-\bruch{x^2}{(x+1)^2} [/mm]vereinfachen
> musst damit du bekannte Reihen (exp, sin, cos,
> geometrische, harmonische...) verwenden kannst?
>
> Gruß
>
> Rzeta
>
Was naheliegt: [mm]x^2[/mm] ausklammern und gleichnamig machen.
[mm]x^2-\bruch{x^2}{(x+1)^2} =x^2*(1-\bruch{1}{(x+1)^2})=x^2*(\bruch{(x+1)^2-1}{(x+1)^2})[/mm]
Wenn ich jetzt [mm](x+1)^2=1-q[/mm] substituiere, wird daraus [mm]x^2*(\bruch{(x+1)^2-1}{(x+1)^2})=x^2*(\bruch{1-q-1}{1-q})=x^2*(\bruch{-q}{1-q})[/mm]
Aus der Substitution folgt [mm]-q=x^2+2x[/mm], man erhält also [mm]x^2*(x^2+2x)*\frac{1}{1-(-x^2-2x)}[/mm].
Das geht sicher eleganter, aber der Bruch lässt sich als geometrische Reihe interpretieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 04.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Wow danke!
Wenn ich das jetzt als geometrische Reihe interpretiere dann komme ich ja auf:
[mm] x^2(x^2+2x)\summe_{k=0}^{n}(-x^2-2x)^k
[/mm]
= [mm] x^2(x^2+2x)[1+(-x^2-2x)+(-x^2-2x)^2+...+(-x^2-2x)^n]
[/mm]
oder die ersten Terme ausgeschrieben:
[mm] (x^4+2x^3)[1+(-x^2-2x)+(-x^2-2x)^2+...+(-x^2-2x)^n]= (x^4+2x^3)-(x^6+4x^5-2x^4)+......
[/mm]
[mm] =2x^3-3x^4+4x^5+11x^6+6x^7+x^8
[/mm]
Das ist dem Ergebnis von Mathematica schonmal sehr ähnlich. Allerdings spuckt Mathematica das Ergebnis:
[mm] 2x^3-3 x^4+4 x^5-5 x^6+6 x^7-7 x^8+O(x^9) [/mm] aus.
Warum sind meine [mm] x^6 [/mm] und [mm] x^8 [/mm] Terme verschieden. Liegt das an der Taylorentwicklung mit der Mathematica das berechnet hat?
Liebe Grüße und nochmal danke für den super Ansatz.
Rzeta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Do 04.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Hab den Fehler gefunden. Könnte bitte jemand die beiden offenene Fragen als "beantwortet" markieren. Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ging ja flott! Danke. Nur mal aus Neugier: Würdest du
> auf anhieb erkennen wie du [mm]x^2-\bruch{x^2}{(x+1)^2} [/mm]vereinfachen
> musst damit du bekannte Reihen (exp, sin, cos,
> geometrische, harmonische...) verwenden kannst?
so direkt auch nicht - aber ich würde mich an
sowas
erinnern, und versuchen, das anzuwenden (mit [mm] $q=-x\,$ [/mm] ist $1-q=1+x=x+1$).
Mathematik hat auch viel mit *Speichern von Erfahrungen* zu tun. Das ist
nicht wirklich auswendig lernen. 
P.S. Nebenbei: Da wurde auch mal irgendwann das Cauchyprodukt
[mm] $\left(\sum_{k=0}^\infty q^k\right)*\sum_{k=0}^\infty q^k$
[/mm]
berechnet bzw. erwähnt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Do 04.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Oh mann! Schon bitter wenn man sich nicht mehr an die selbst gerechneten Aufgaben erinnert. :D
"(mit $ [mm] q=-x\, [/mm] $ ist $ 1-q=1+x=x+1 $)"
So hätte das natürlich auch funktioniert. Vielleicht hilft der Ansatz sogar bei Teil b) dieser Aufgabe. Hast du zufällige eine Ahnung warum ich mit dem Rechenweg oben auf ein anderes Ergebnis als Mathematica komme? (ist auch die Frage die ich oben noch gestellt habe)
Liebe Grüße
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh mann! Schon bitter wenn man sich nicht mehr an die
> selbst gerechneten Aufgaben erinnert. :D
>
> "(mit [mm]q=-x\,[/mm] ist [mm]1-q=1+x=x+1 [/mm])"
>
> So hätte das natürlich auch funktioniert. Vielleicht
> hilft der Ansatz sogar bei Teil b) dieser Aufgabe. Hast du
> zufällige eine Ahnung warum ich mit dem Rechenweg oben auf
> ein anderes Ergebnis als Mathematica komme? (ist auch die
> Frage die ich oben noch gestellt habe)
nein, ich habe es noch nicht selbst gerechnet. Ich würde aber zur Sicherheit
mal Wolfram-Alpha befragen.
![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor%28x^2-x^2%2F%281%2Bx%29^2%29
Da kommt das Gleiche raus wie in Mathematica. Vielleicht hast Du Dich
einfach verrechnet?
Du musst vielleicht auch einfach mal mehr Summanden hinschreiben, denn
bei den [mm] $(-x^2-2x)^k$ [/mm] Termen kann es schnell passieren, dass man Summanden
beim Zusammenfassen (Du willst da ja sowas wie [mm] $\sum_{k=1}^{...} a_k x^k$ [/mm] draus
machen, und die [mm] $a_k$ [/mm] musst Du berechnen) übersieht.
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:11 Do 04.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Wie ich schon oben geschrieben habe ist mir ein Fehler unterlaufen. Ich habe vergessen die Exponenten weiterlaufen zu lassen d.h. ich habe anstatt [mm] (-x^2-2x)^k [/mm] immer [mm] (-x^2-2x)^2 [/mm] verwendet. Wenn ich die Reihe [mm] x^2(x^2+2x)\summe_{k=1}^{n}(-x^2-2x)^k [/mm] richtig ausmultipliziere dann bekomme ich genau das was auch in Mathematica steht:
[mm] 2x^3-3x^4+4x^5-5x^6+6x^7-7x^8+O(x^9)
[/mm]
Ich hätte noch eine Frage zu dem Teil b) dieser Aufgabe.
b) Leiten Sie hieraus nach Substitution von x durch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] eine Entwicklung von E(x) der Form
[mm] E(x)=CQ*\summe_{k=0}^{\infty}a_k\bruch{1}{x^k}
[/mm]
ab. Wie lautet der erste von Null verschiedene Term?
Meine Rechnung:
1) Substitution [mm] x=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2(\bruch{1}{x})^3-3(\bruch{1}{x})^4+4(\bruch{1}{x})^5-5(\bruch{1}{x})^6.....
[/mm]
= [mm] 2(\bruch{1}{x^3})-3(\bruch{1}{x^4})+4(\bruch{1}{x^5})-5(\bruch{1}{x^6}).....
[/mm]
2) Vergleichen mit [mm] E(x)=CQ*\summe_{k=0}^{\infty}a_k\bruch{1}{x^k} [/mm] und einsetzen/raten.
[mm] \Rightarrow CQ\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k-1}{x^k}(-1)^{k+1}
[/mm]
3) Terme ausrechnen:
[mm] CQ+0-\bruch{CQ}{x^2}+\bruch{2CQ}{x^3}-\bruch{3CQ}{x^4}=CQ-\bruch{CQ}{x^2}+\bruch{2CQ}{x^3}-\bruch{3CQ}{x^4}
[/mm]
Irgendwo ist da ein Fehler drin aber ich finde Ihn nicht. Laut mathematica sollte die Entwicklung von $ [mm] E(x)=\bruch{CQ}{x^2}-\bruch{CQ}{(x+1)^2}; x\ge0. [/mm] $
so aussehen:
[mm] \bruch{CQ}{x^2}-CQ+2CQx-3x^2(C Q)+4CQx^3+O(x^4)
[/mm]
Vielleicht fällt jemandem irgendwas auf was ich falsch gemacht habe oder wo ich mich verrechnet habe.
Liebe Grüße
Rzeta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ich habe mir die Frage heute Früh nochmal angeschaut. Irgendwie erschließt sich mir das nicht wirklich. In der Aufgabe steht ja das ich den ersten von Null verschiedenen Term angeben soll. Ich würde annehmen das meine Entwicklung dann irgendwie so aussieht: [mm] 0+\bruch{CQ}{x^k}+..... [/mm] wenn mir schon gesagt wird das ich den ersten von Null verschiedenen Term angeben soll. In meiner Entwicklung kommt aber vor der 0 noch ein CQ. Irgendwas ist da Faul. Vielleicht habe ich mich irgendwo verrechnet und ich sehe es nicht auf anhieb :/.
Liebe Grüße
Rzeta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 06.12.2014 | | Autor: | matux |
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