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| Aufgabe | Sei U [mm] \subset \IC^{-} [/mm] := [mm] \IC [/mm] \ { r [mm] \in \IR [/mm] | r [mm] \le [/mm] 0} eine Umgebung von 1 und q: U [mm] \to \IC [/mm] holomorph mit [mm] q(z)^{2} [/mm] = z für alle z [mm] \in [/mm] U.
a) Zeige: q'(z) = [mm] \bruch{1}{2q(z)} [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] U.
b) Bestimme die Potenzreihenentwicklung von q bei 1. |
Hallo,
bei der a) bin ich so vorgegangen:
Da [mm] q(z)^{2} [/mm] = z als Eigenschaft der Funktion g gegeben ist, ist
q(z) = [mm] \wurzel{z}. [/mm] Ist das auch so in [mm] \IC^{-}?
[/mm]
Dann ist q'(z) = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{z}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2q(z)}, [/mm] also gezeigt.
Kann man das so zeigen?
b) Die Potenzreihenentwicklung von q(z) = [mm] \wurzel{z} [/mm] bei 1:
Hier habe ich die Taylorreihe angewendet:
q(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{q^{(k)}(1)}{k!}(z-1)^{k} [/mm] =
q(1) + [mm] \bruch{q^{(1)}(1)}{1!}(z-1) [/mm] + [mm] \bruch{q^{(2)}(1)}{2!}(z-1)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{q^{(3)}(1)}{6}(z-1)^{3} [/mm] + ... = 1 + [mm] \bruch{1}{2}(z-1) [/mm] + [mm] \bruch{- \bruch{1}{4}}{2}(z-1)^{2} [/mm] +...
Wie weit muss ich hier die Potenzreihenentwicklung machen? Ich hab ja gar kein Fehlerterm in Form von der O-Notation gegeben. Muss man hier den konkreten Wert ermitteln?
Danke!
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> Sei U [mm]\subset \IC^{-}[/mm] := [mm]\IC \{ r \in \IR | r \le 0\}[/mm] eine
> Umgebung von 1 und q: U [mm]\to \IC[/mm] holomorph mit [mm]q(z)^{2}[/mm] = z
> für alle z [mm]\in[/mm] U.
>
> a) Zeige: q'(z) = [mm]\bruch{1}{2q(z)}[/mm] für alle z [mm]\in[/mm] U.
> b) Bestimme die Potenzreihenentwicklung von q bei 1.
> Hallo,
>
> bei der a) bin ich so vorgegangen:
>
> Da [mm]q(z)^{2}[/mm] = z als Eigenschaft der Funktion g gegeben ist,
> ist
> q(z) = [mm]\wurzel{z}.[/mm] Ist das auch so in [mm]\IC^{-}?[/mm]
Vorsicht! Du hast schon Recht $q$ ist die Wurzelfunktion (bzw. ein Zweig von dieser), aber das weisst du nur durch die Eigenschaft [mm] $q(z)^2 [/mm] = z$. Der Ausdruck $q(z) = [mm] \sqrt{z}$ [/mm] macht im komplexen keinen Sinn, da [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] nur bis aufs Vorzeichen bestimmt ist.
> Dann ist q'(z) = [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{z}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2q(z)},[/mm] also gezeigt.
Weisst du, wie man im Reellen zeigt, dass [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] die Ableitung [mm] $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ [/mm] hat? Und zwar ohne genau zu wissen, wie [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] aussieht, halt nur mit dem Wissen, dass [mm] $\sqrt{x}^2 [/mm] = x$ ist? Genau die gleiche Methode kannst du hier auch benutzen!
> b) Die Potenzreihenentwicklung von q(z) = [mm]\wurzel{z}[/mm] bei
> 1:
> Hier habe ich die Taylorreihe angewendet:
>
> q(z) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{q^{(k)}(1)}{k!}(z-1)^{k}[/mm]
> =
> q(1) + [mm]\bruch{q^{(1)}(1)}{1!}(z-1)[/mm] +
> [mm]\bruch{q^{(2)}(1)}{2!}(z-1)^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{q^{(3)}(1)}{6}(z-1)^{3}[/mm] + ... = 1 +
> [mm]\bruch{1}{2}(z-1)[/mm] + [mm]\bruch{- \bruch{1}{4}}{2}(z-1)^{2}[/mm]
> +...
>
> Wie weit muss ich hier die Potenzreihenentwicklung machen?
Wenn schon, dann bis [mm] $\infty$. [/mm] Das Problem ist hier aber, dass deine Reihe evtl. auch die Entwicklung von $-q(z)$ ist.
Wenn du das wirklich per Taylor-Entwicklung machen willst, fuer den Fall dass $q(x) = [mm] \sqrt{x}$ [/mm] ist fuer reelle $x > 0$, dann bekommst du so erstmal die Taylorentwicklung fuer die reellwertige Funktion [mm] $\IR_{\ge 0} \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$. [/mm] Nun entspricht $q$ auf der positiven reellen Achse gleich [mm] $\sqrt{x}$, [/mm] womit die Taylorentwicklung von [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] in $x = 1$ nach dem Identitaetssatz gleichzeitig die Reihenentwicklung von $q$ in $z = 1$ ist.
Ein anderes Vorgehen: Angenommen, $q$ hat die Reihenentwicklung $q(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] 1)^k$. [/mm] Dann ist $z = [mm] q(z)^2 [/mm] = [mm] \left( \sum_{k=0}^\infty a_k (z - 1)^k \right)^2 [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) [/mm] (z - [mm] 1)^k$, [/mm] und $z = 1 [mm] \cdot [/mm] (z - [mm] 1)^1 [/mm] + 1 [mm] \cdot [/mm] (z - [mm] 1)^0$.
[/mm]
Damit (Koeffizientenvergleich) bekommst du die Gleichungen [mm] $a_0^2 [/mm] = 1$, $2 [mm] a_0 a_1 [/mm] = 1$ und [mm] $\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} [/mm] = 0$ fuer $n > 1$. Damit kannst du Schritt fuer Schritt [mm] $a_n$ [/mm] durch [mm] $a_0$ [/mm] darstellen. Finde am besten eine Formel, indem du die ersten 5 (oder so) [mm] $a_n$ [/mm] per Hand durch [mm] $a_0$ [/mm] darstellst (z.B. [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2 a_0}$, $a_2 [/mm] = [mm] -\frac{1}{8 a_0^3} [/mm] = [mm] -\frac{1}{8 a_0}$ [/mm] da [mm] $a_0^2 [/mm] = 1$, ...) und beweise dann per Induktion, das sie fuer alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
(Das [mm] $a_0^2 [/mm] = 1$, also [mm] $a_0 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ ist, entspricht uebrigens $q(x) = [mm] \pm \sqrt{x}$.)
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix,
> Weisst du, wie man im Reellen zeigt, dass [mm]\sqrt{x}[/mm] die
> Ableitung [mm]\frac{1}{2 \sqrt{x}}[/mm] hat? Und zwar ohne genau zu
> wissen, wie [mm]\sqrt{x}[/mm] aussieht, halt nur mit dem Wissen,
> dass [mm]\sqrt{x}^2 = x[/mm] ist? Genau die gleiche Methode kannst
> du hier auch benutzen!
Ich hab mal in meinem alten Analysis 1-Skript nachgeschlagen, und ich hab da was gefunden, ich weiß, aber nicht, ob es das ist, was du meinst  :
Damals haben wir das so bewiesen:
Für x = [mm] \wurzel{y}, [/mm] y>0 erhalten wir y = [mm] x^{2}, [/mm] also:
[mm] \bruch{d}{dy}\wurzel{y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \bruch{dy}{dx}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{y}}
[/mm]
Hier wurde also implizit gezeigt im Reellen.
Meinst du diese Vorgehensweise?
Gruß, Milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> > Weisst du, wie man im Reellen zeigt, dass [mm]\sqrt{x}[/mm] die
> > Ableitung [mm]\frac{1}{2 \sqrt{x}}[/mm] hat? Und zwar ohne genau zu
> > wissen, wie [mm]\sqrt{x}[/mm] aussieht, halt nur mit dem Wissen,
> > dass [mm]\sqrt{x}^2 = x[/mm] ist? Genau die gleiche Methode kannst
> > du hier auch benutzen!
>
> Ich hab mal in meinem alten Analysis 1-Skript
> nachgeschlagen, und ich hab da was gefunden, ich weiß, aber
> nicht, ob es das ist, was du meinst :
> Damals haben wir das so bewiesen:
>
> Für x = [mm]\wurzel{y},[/mm] y>0 erhalten wir y = [mm]x^{2},[/mm] also:
>
> [mm]\bruch{d}{dy}\wurzel{y}[/mm] = [mm]\bruch{dx}{dy}[/mm] = [mm]\bruch{1}{ \bruch{dy}{dx}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\wurzel{y}}[/mm]
>
> Hier wurde also implizit gezeigt im Reellen.
> Meinst du diese Vorgehensweise?
Wenn ihr auch im komplexen so implizit rechnen duerft, ja
Ansonsten geht noch die ganz klassische Rechnung mit der Kettenregel: Es ist [mm] $q(z)^2 [/mm] = z$, womit $1 = [mm] \frac{d}{dz} q(z)^2 [/mm] = 2 q(z) q'(z)$ ist. Also ist $q'(z) = [mm] \frac{1}{q(z)}$. [/mm] Ist im Prinzip genau das gleiche
LG Felix
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> Ansonsten geht noch die ganz klassische Rechnung mit der
> Kettenregel: Es ist [mm]q(z)^2 = z[/mm], womit [mm]1 = \frac{d}{dz} q(z)^2 = 2 q(z) q'(z)[/mm]
> ist. Also ist [mm]q'(z) = \frac{1}{q(z)}[/mm]. Ist im Prinzip genau
> das gleiche
>
Wie kommst du da ganz vorn auf die 1? Wenn das so ist, steht ja da 1= 2. Ich denke mal, da muss noch eine 2 in den Nenner runter, oder?
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Hallo Felix,
> Ein anderes Vorgehen: Angenommen, [mm]q[/mm] hat die
> Reihenentwicklung [mm]q(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z - 1)^k[/mm].
> Dann ist [mm]z = q(z)^2 = \left( \sum_{k=0}^\infty a_k (z - 1)^k \right)^2 = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) (z - 1)^k[/mm],
> und [mm]z = 1 \cdot (z - 1)^1 + 1 \cdot (z - 1)^0[/mm].
>
> Damit (Koeffizientenvergleich) bekommst du die Gleichungen
> [mm]a_0^2 = 1[/mm], [mm]2 a_0 a_1 = 1[/mm] und [mm]\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} = 0[/mm]
> fuer [mm]n > 1[/mm]. Damit kannst du Schritt fuer Schritt [mm]a_n[/mm] durch
> [mm]a_0[/mm] darstellen. Finde am besten eine Formel, indem du die
> ersten 5 (oder so) [mm]a_n[/mm] per Hand durch [mm]a_0[/mm] darstellst (z.B.
> [mm]a_1 = \frac{1}{2 a_0}[/mm], [mm]a_2 = -\frac{1}{8 a_0^3} = -\frac{1}{8 a_0}[/mm]
> da [mm]a_0^2 = 1[/mm], ...) und beweise dann per Induktion, das sie
> fuer alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt.
>
> (Das [mm]a_0^2 = 1[/mm], also [mm]a_0 = \pm 1[/mm] ist, entspricht uebrigens
> [mm]q(x) = \pm \sqrt{x}[/mm].)
Also das Verfahren erscheint mir aber arg kompliziert
Erstmal versteh ich nicht ganz, wie du auf den Schritt hier kommst:
$ z = [mm] q(z)^2 [/mm] = [mm] \left( \sum_{k=0}^\infty a_k (z - 1)^k \right)^2 [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) [/mm] (z - [mm] 1)^k [/mm] $
Muss da keine 2 beim Exponent von [mm] (z-1)^{k} [/mm] noch stehen?
Was meinst du genau mit Koeff.vergleich? Wie komme ich drauf, dass $ 2 [mm] a_0 a_1 [/mm] = 1 $ und $ [mm] \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} [/mm] = 0 $ ist?
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> > Ein anderes Vorgehen: Angenommen, [mm]q[/mm] hat die
> > Reihenentwicklung [mm]q(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z - 1)^k[/mm].
> > Dann ist [mm]z = q(z)^2 = \left( \sum_{k=0}^\infty a_k (z - 1)^k \right)^2 = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) (z - 1)^k[/mm],
> > und [mm]z = 1 \cdot (z - 1)^1 + 1 \cdot (z - 1)^0[/mm].
> >
> > Damit (Koeffizientenvergleich) bekommst du die Gleichungen
> > [mm]a_0^2 = 1[/mm], [mm]2 a_0 a_1 = 1[/mm] und [mm]\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} = 0[/mm]
> > fuer [mm]n > 1[/mm]. Damit kannst du Schritt fuer Schritt [mm]a_n[/mm] durch
> > [mm]a_0[/mm] darstellen. Finde am besten eine Formel, indem du die
> > ersten 5 (oder so) [mm]a_n[/mm] per Hand durch [mm]a_0[/mm] darstellst (z.B.
> > [mm]a_1 = \frac{1}{2 a_0}[/mm], [mm]a_2 = -\frac{1}{8 a_0^3} = -\frac{1}{8 a_0}[/mm]
> > da [mm]a_0^2 = 1[/mm], ...) und beweise dann per Induktion, das sie
> > fuer alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt.
> >
> > (Das [mm]a_0^2 = 1[/mm], also [mm]a_0 = \pm 1[/mm] ist, entspricht uebrigens
> > [mm]q(x) = \pm \sqrt{x}[/mm].)
>
> Also das Verfahren erscheint mir aber arg kompliziert
> Erstmal versteh ich nicht ganz, wie du auf den Schritt
> hier kommst:
> [mm]z = q(z)^2 = \left( \sum_{k=0}^\infty a_k (z - 1)^k \right)^2 = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) (z - 1)^k[/mm]
Mmmh, da ist noch ein Tippfehler. Es sollte lauten: [mm]z = q(z)^2 = \left( \sum_{k=0}^\infty a_k (z - 1)^k \right)^2 = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) (z - 1)^n[/mm]
> Muss da keine 2 beim Exponent von [mm](z-1)^{k}[/mm] noch stehen?
Nein. Das ist das ganz normale Cauchy-Produkt von zwei absolut konvergenten Reihen (bzw. das leicht zusammengefasste).
> Was meinst du genau mit Koeff.vergleich? Wie komme ich
Nach dem Identitaetssatz gilt: Wenn zwei Potenzreihen [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] z_0)^k$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n [/mm] (z - [mm] z_0)^n$ [/mm] auf einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] die gleiche Funktion lieferen, dann gilt [mm] $a_k [/mm] = [mm] b_k$ [/mm] fure alle $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
> drauf, dass [mm]2 a_0 a_1 = 1[/mm] und [mm]\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} = 0[/mm]
> ist?
Das ist das Gleichsetzen der Koeffizienten der beiden Potenzreihen [mm] $\sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) [/mm] (z - [mm] 1)^n$ [/mm] und $1 [mm] \cdot [/mm] (z - [mm] z_0)^0 [/mm] + 1 [mm] \cdot [/mm] (z - [mm] z_0)^1 [/mm] + [mm] \sum_{k=2}^\infty [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] (z - [mm] z_0)^k$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo,
da wir in der Übung auch eine Potenzreihenentwicklung mit Taylor gemacht haben, denk ich, dass Sinn dieser Aufgabe es ist, auch die Taylorreihe anzuwenden. Nun hab ich da aber ein Problem bei der n-ten Ableitung....
Die Taylorreihe lautet allgemein (um 1 entwickelt):
$ q(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty \bruch{q^{n}(1)}{n!} [/mm] (z - [mm] 1)^k [/mm] $
Sei jetzt nun q(z) = [mm] \wurzel{z}
[/mm]
Zuerst habe ich einfache konkrete Werte eingesetzt, um dann auf die n-te Ableitung schließen zu können. So haben wir das auch in der Übung gemacht, und dann mit Induktion für alle n gezeigt:
[mm] q^{(0)}(1) [/mm] = [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1
[mm] q^{(1)}(1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*1^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] q^{(2)}(1) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4} *1^{ -\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] q^{(3)}(1) [/mm] = [mm] \bruch{3}{8} [/mm] * [mm] 1^{-\bruch{5}{2}}
[/mm]
[mm] q^{(4)}(1) [/mm] = [mm] -\bruch{15}{16} [/mm] * [mm] 1^{-\bruch{7}{2}}
[/mm]
... usw....
Man sieht hier, dass der Nenner jeweils immer [mm] 2^{n} [/mm] ist, die Vorzeichen alternieren, also brauche ich den Faktor [mm] (-1)^{n+1}, [/mm] weil bei einer geraden Ableitungszahl immer was negatives rauskommt. Jetzt habe ich ein Problem beim Zähler, ich erkenn hier keine Regelmäßigkeit:
[mm] q^{(n)}(1) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} \bruch{?}{2^{n}}
[/mm]
Wenn ich [mm] q^{(n)} [/mm] habe, kann ich das ja sofort in die Taylorformel einsetzen und hab dann die gesuchte Potenzreihenentwicklung, die ich dann noch mit Induktion für alle n zeigen muss und wäre fertig.
Kann mir bitte jemand helfen? Ich komm an der Stelle nicht weiter.
Danke, milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 12.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> da wir in der Übung auch eine Potenzreihenentwicklung mit
> Taylor gemacht haben, denk ich, dass Sinn dieser Aufgabe es
> ist, auch die Taylorreihe anzuwenden. Nun hab ich da aber
> ein Problem bei der n-ten Ableitung....
> Die Taylorreihe lautet allgemein (um 1 entwickelt):
>
> [mm]q(z) = \sum_{k=0}^\infty \bruch{q^{n}(1)}{n!} (z - 1)^k[/mm]
>
> Sei jetzt nun q(z) = [mm]\wurzel{z}[/mm]
>
> Zuerst habe ich einfache konkrete Werte eingesetzt, um dann
> auf die n-te Ableitung schließen zu können. So haben wir
> das auch in der Übung gemacht, und dann mit Induktion für
> alle n gezeigt:
>
> [mm]q^{(0)}(1)[/mm] = [mm]\wurzel{1}[/mm] = 1
> [mm]q^{(1)}(1)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\wurzel{1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*1^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> [mm]q^{(2)}(1)[/mm] = - [mm]\bruch{1}{4} *1^{ -\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]q^{(3)}(1)[/mm] = [mm]\bruch{3}{8}[/mm] * [mm]1^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
> [mm]q^{(4)}(1)[/mm] = [mm]-\bruch{15}{16}[/mm] * [mm]1^{-\bruch{7}{2}}[/mm]
> ... usw....
> Man sieht hier, dass der Nenner jeweils immer [mm]2^{n}[/mm] ist,
> die Vorzeichen alternieren, also brauche ich den Faktor
> [mm](-1)^{n+1},[/mm] weil bei einer geraden Ableitungszahl immer was
> negatives rauskommt. Jetzt habe ich ein Problem beim
> Zähler, ich erkenn hier keine Regelmäßigkeit:
>
> [mm]q^{(n)}(1)[/mm] = [mm](-1)^{n+1} \bruch{?}{2^{n}}[/mm]
>
> Wenn ich [mm]q^{(n)}[/mm] habe, kann ich das ja sofort in die
> Taylorformel einsetzen und hab dann die gesuchte
> Potenzreihenentwicklung, die ich dann noch mit Induktion
> für alle n zeigen muss und wäre fertig.
> Kann mir bitte jemand helfen? Ich komm an der Stelle
> nicht weiter.
Die erste Ableitung hat den Faktor [mm] $\frac{1}{2}$, [/mm] die zweite [mm] $\frac{1}{2} \cdot (-1)^1 \frac{1}{2}$, [/mm] die dritte [mm] $\frac{1}{2} \cdot (-1)^2 \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}$, [/mm] die vierte [mm] $\frac{1}{2} \cdot (-1)^3 \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 2}$, [/mm] etc. Die $n$-te Ableitung hat also den Faktor [mm] $(-1)^{n-1} \frac{1}{2^n} \prod_{k=1}^{n-1} [/mm] (2 k - 1)$. (Diese Formel gilt jedoch nicht fuer die nullte Ableitung!)
LG Felix
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