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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Potenzreihenentwicklung
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Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Fr 08.05.2009
Autor: johnny11

Aufgabe
Entwickeln Sie folgende Potenzreiche um 0:

[mm] cos(z^2-1) [/mm]

Ich bin wie folgt vorgegangen:

cos(w) = [mm] \bruch{e^{iw} + e^{-iw}}{2}. [/mm] Diese kann man jeweils einzeln gut entwickeln. So habe ich dann folgendes erhalten:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^k + (-i)^k}{2*k!} [/mm] * [mm] w^k [/mm]

Sei nun w := [mm] (z^2-1). [/mm]

[mm] \Rightarrow w^k [/mm] = [mm] (z^2-1)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{n-k} [/mm]

[mm] \Rightarrow cos(z^2-1) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n +(-i)^n}{2*n!} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{n-k} [/mm]

Doch wie kann ich nun diese zwei Summen zusammenfassen?




        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Fr 08.05.2009
Autor: Leopold_Gast

[mm]\cos(u-v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v[/mm]

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 So 10.05.2009
Autor: johnny11

Hallo,

> [mm]\cos(u-v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v[/mm]

Ja mit dieser Formel habe ich dann einen anderen Lösungsweg gekriegt.
Aber mich würde es wirklich noch sehr intressieren, wie ich den Ausdruck

[mm] cos(z^2-1) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n +(-i)^n}{2*n!}*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{n-k} [/mm] noch vereinfachen kann und in die Form einer Potenzreihe bringen kann...

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 So 10.05.2009
Autor: MathePower

Hallo johnny11,

> Hallo,
>  
> > [mm]\cos(u-v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v[/mm]
>
> Ja mit dieser Formel habe ich dann einen anderen Lösungsweg
> gekriegt.
>  Aber mich würde es wirklich noch sehr intressieren, wie
> ich den Ausdruck
>
> [mm]cos(z^2-1)[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n +(-i)^n}{2*n!}*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{n-k}[/mm]


Hier muss doch auch n von 0 aus laufen.


> noch vereinfachen kann und in die Form einer Potenzreihe
> bringen kann...


Untersuche zunächst den Ausdruck

[mm]\bruch{i^n +(-i)^n}{2*n!}[/mm]

Dieser verschwindet, wenn n ungerade ist.

Setzen wir n=2m. dann haben wir

[mm]cos(z^2-1) = \summe_{m=0}^{\infty} \bruch{\left(-1\right)^{m}}{\left(2m\right)!}*\summe_{k=0}^{2m}\vektor{2m \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{2m-k}[/mm]

[mm]=\summe_{m=0}^{\infty} *\summe_{k=0}^{2m}\bruch{\left(-1\right)^{m}}{\left(2m\right)!}\vektor{2m \\ k}*(z^2)^k*(-1)^{k}[/mm]

Jetzt wird das Ganze nach Potenzen von z geordnet,
wobei zuerst über k und dann über m summiert wird.

Klar ist, daß der Binomialkoeffizient nur definiert ist, wenn [mm]2m \ge k[/mm].

Daher ist

[mm]=\summe_{k=0}^{\infty} *\left(\summe_{2m \ge k}^{}\bruch{\left(-1\right)^{m}}{\left(2m\right)!}\vektor{2m \\ k}\right)*\left(-1\right)^{k}z^{2k}[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 So 10.05.2009
Autor: johnny11

Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen. Diese waren sehr hilfreich.
Grüsse johnny11

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