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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Folgende Aufgabe bereitet mir noch Kopfzerbrechen, da ich eigentlich dachte, sie wäre recht einfach, ich nun aber nicht mal einen Ansatz habe...
Entwickle die Funktion [mm] f(z):=\bruch{z}{z^2+1} [/mm] in eine Potenzreihe um [mm] z_0=0 [/mm] und bestimme deren Konvergenzradius.
Nun habe ich in meinen Unterlagen leider nur einen Satz gefunden, der mir sagt, dass eine Funktion um einen beliebigen Punkt in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, wenn sie holomorph ist. Meine erste Frage: muss ich dann hier zuerst zeigen, dass sie überhaupt holomorph ist?
Macht man das mit der Potenzreihenentwicklung dann so, wie im Reellen? (nicht, dass ich das könnte...) Und wie ist das mit einer Taylorentwicklung? Kann man das hier machen? Wann kann man das überhaupt machen oder wann ist das sinnvoll?
Ach ja, und noch eine allgemeine Frage: Sind holomorphe Funktionen eigentlich Stoff von Analysis IV? Irgendwie steht da in den entsprechenden Büchern nämlich nur sehr wenig. Brauche ich da Funktionentheorie-Bücher? Ist das das Gleiche wie Funktionalanalysis? Oder ist das wieder was anderes...
Wäre für ein paar richtungsweisende Tipps sehr dankbar. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: Das Einzige, was ich schon versucht habe, war die Ableitung zu bestimmen. Aber das wird ein recht unhandlicher Term... Ob das richtig sein kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Do 12.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Christiane,
ich habe nicht so viel Zeit, aber es sei schon einmal erwähnt, dass die Funktion nicht auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph ist - bei [mm] $\pm [/mm] i$ liegen Polstellen vor. Dadurch wird der konvergenz Radius festgelegt.
Prinzipiell machst du aber eine Taylorriehe um den Entwicklungpunkt [mm] $z_0=0$ [/mm] . Diese Reihe konvergiert halt nicht überall.
Max
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Hallo bastiane!
Max hat in der Tat recht: Der Konvergenzradius wird genau der Abstand von 0 zum nächsten Pol sein.
Für die Reihe brauchst du einen Trick: Denk daran, dass [mm] $\ln (x^2+1)'=\bruch{2x}{x^2+1}$!
[/mm]
Gruß, banachella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Do 12.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Der Tipp von Kristine ist zwar völlig richtig und führt zum Ziel (auf so eine geniale Eingebung wäre ich nie gekommen), aber ich habe noch eine (vielleicht) elementarere Darstellung gefunden:
[mm] $\frac{z}{z^2+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\, \frac{1}{z+i} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\, \frac{1}{z-i} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\, \frac{i}{iz-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}\, \frac{i}{-iz -1}$,
[/mm]
und jetzt zweimal die geometrische Reihe entwickeln.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Do 12.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich bin ja nicht so.  Wie folgt geht es dann (mit meinem Ansatz) weiter:
... [mm] $\frac{1}{2}\, \frac{i}{iz-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}\, \frac{i}{-iz-1}$
[/mm]
$= - [mm] \frac{1}{2}i\, \frac{1}{1-iz} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}i\, \frac{1}{1+iz}$
[/mm]
$= - [mm] \frac{1}{2}i\, \sum\limits_{k=0}^{\infty} (iz)^k [/mm] + [mm] \frac{1}{2}i \, \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-iz)^k$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2}i\, \left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} z^k \cdot [(-i)^k - i^k] \right)$
[/mm]
$= [mm] -i\, \sum\limits_{k=0}^{\infty} i^{2k+1}\, z^{2k+1}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k z^{2k+1}$.
[/mm]
Auf das gleiche Ergebnis kommt man auch mit Kristines Ansatz:
Es gilt:
[mm] $\log(1+z^2) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{(z^2)^k}{k} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{z^{2k}}{k}$.
[/mm]
Leitet man beide Seiten ab, so folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe:
[mm] $\frac{2z}{1+z^2} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} [/mm] 2k [mm] \frac{z^{2k-1}}{k} [/mm] = 2 [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} z^{2k-1}$,
[/mm]
also:
[mm] $\frac{z}{1+z^2} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k z^{2k+1}$.
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Bastiane,
> Und bei Stefans Trick weiß ich leider auch nicht, wie man
> die geometrische Reihe entwickelt... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Ist das sehr
> kompliziert? Oder könnte ich das heute abend noch
> verstehen?
Sicherlich ist Dir diese Summenformel bekannt:
[mm]\sum\limits_{k = 0}^\infty {q^{k} } \; = \;\frac{1}{{1\; - \;q}}[/mm]
Diese Reihe konvergiert bekanntlich für [mm]\left| q \right|\; < \;1[/mm].
Damit kannst Du auch die Brüche, die in Stefan's Tipp vorkommen in eine entsprechende geometrische Reihe entwickeln.
Gruß
MathePower
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