Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Potenzreihenentwicklung - Vorhilfe.de

Vorhilfe Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum

Forenbaum

Jura

Schule

Praxis

Technik

Mathe

Chemie

Medizin

Physik

Sport

Deutsch

Latein

Plenum

VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen...
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Dt. Schulen im Ausland:

Mathe-Seiten:

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Potenzreihenentwicklung

Potenzreihenentwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Uni-Komplexe Analysis" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Potenzreihenentwicklung: Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:56 Mi 18.05.2005
Autor:	Melli9181

Hallo!
Die andere Frage wegen den Potenzreihen hat mir ja schon sehr geholfen, aber geht das bei einer Entwicklung nicht um Null genauso?
Meine Aufgaben wäre: [mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6} [/mm] um [mm] z_{0}=0 [/mm]
und [mm] \bruch{1}{(z-i) ^{3}} [/mm] um  [mm] z_{0}=-i [/mm] zu entwickeln.

Meine bisherige Lösung:
[mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=\bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z -2}. [/mm] Mit der geometrischen Reihe komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=- \bruch{1}{3} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{3})^{n}z^{n} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{2})^{n}z^{n} [/mm]
Aber wie fasse ich das jetzt zu einer Reihe zusammen? Und der Konvergenzradius ist 2, oder? Weil die nächste Polstelle bei 2 ist.

Aber jetzt die zweite Aufgabe???
Das kann  man doch gar nicht als Partialbruchzerlegung schreiben, oder?
Wenn ich versuche als geo Reihe zu schreiben, komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{(z-i) ^{3}}=(\bruch{1}{(z-i) })^{3}=(\bruch{-1}{i}\summe_{n=o}^{ \infty}\bruch{1}{i})^{n}z^{n})^ [/mm] {3}.
Aber jetzt??
Der Konvergenzradius ist auch wieder 2, oder?
Ich hoffe mir kann jemand helfen?
Grüßle und danke, Melli

Bezug

Potenzreihenentwicklung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:30 Mi 18.05.2005
Autor:	Julius

Hallo melli!

>  Die andere Frage wegen den Potenzreihen hat mir ja schon
> sehr geholfen, aber geht das bei einer Entwicklung nicht um
> Null genauso?
>  Meine Aufgaben wäre: [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}[/mm] um [mm]z_{0}=0[/mm]
> und [mm]\bruch{1}{(z-i) ^{3}}[/mm] um  [mm]z_{0}=-i[/mm] zu entwickeln.
>
> Meine bisherige Lösung:
>  [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=\bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z -2}.[/mm] Mit
> der geometrischen Reihe komme ich auf:
> [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=- \bruch{1}{3} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{3})^{n}z^{n}[/mm]
> +  [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{2})^{n}z^{n}[/mm]

> Aber wie fasse ich das jetzt zu einer Reihe zusammen?

Ganz einfach:

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \left[ \left( \bruch{1}{2} \right)^{n+1} - \left( \bruch{1}{3} \right)^{n+1} \right] z^n$ [/mm]

> Und
> der Konvergenzradius ist 2, oder? Weil die nächste
> Polstelle bei 2 ist.

> Aber jetzt die zweite Aufgabe???
>  Das kann  man doch gar nicht als Partialbruchzerlegung
> schreiben, oder?
>  Wenn ich versuche als geo Reihe zu schreiben, komme ich
> auf:
>  [mm]\bruch{1}{(z-i) ^{3}}=(\bruch{1}{(z-i) })^{3}=(\bruch{-1}{i}\summe_{n=o}^{ \infty}\bruch{1}{i})^{n}z^{n})^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> {3}.
>  Aber jetzt??
>  Der Konvergenzradius ist auch wieder 2, oder?
>  Ich hoffe mir kann jemand helfen?

Die Aufgabe ist mal wieder nicht so einfach oder ich bin zu blöd eine einfache Lösung zu sehen. ;-)

Zunächst einmal muss man ja um $z=-i$ herum entwickeln, das scheinst du überlesen zu haben.

Es gilt ja:

$\frac{1}{1-\frac{z+1}{2i}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2i} \right)^n \cdot (z+i)^n$.

Ableiten liefert:

$\frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+1}{2i} \right)^2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{1}{2i} \right)^n (z+i)^{n-1}$.

Erneutes Ableiten führt zu

(*) $-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+1}{2i} \right)^3} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} n (n-1) \left( \frac{1}{2i} \right)^n (z+i)^{n-2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) \left( \frac{1}{2i} \right)^{n+2} (z+i)^n$.

Andererseits ist:

(**) $\frac{1}{(z-i)^3} = \frac{1}{(z+i-2i)^3} = \frac{1}{\left(\frac{z+i}{2i} -1 \right)^3} = - \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+i}{2i} \right)^3$.

(*) und (**) zusammen liefern die Lösung.

Viele Grüße
Julius

Bezug

Potenzreihenentwicklung: Danke

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	09:45 Do 19.05.2005
Autor:	Melli9181

Hallo Julius!
Vielen Dank!
Die Aufgabe war wohl wirklich nicht so einfach, aber jetzt ist es mir klar!
Grüßle, Melli

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Uni-Komplexe Analysis" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien