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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Beule-M |
Hallo,
zur Restgliedbestimmung nach Lagrange habe ich folgende Frage.
gegeben ist die Formel:
[mm] R_{n}(X) [/mm] = [mm] \bruch{ f^{(n+1)} * (T*X)}{(n+1)!} [/mm] * [mm] X^{n+1} [/mm] T=Theta--> (0<T<1)
Nach welcher Regel wähle ich den Wert für Theta aus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Beule-M!
Ich denke mal hier handelt es sich um ein Missverständnis.
Die Frage ist nicht, wie man [mm] $\theta$ [/mm] "auswählt". Die Aussage des Satzes ist lediglich, dass es ein solches [mm] $\theta$ [/mm] gibt. Man kann es nicht beliebig wählen.
Will man das Restglied genau bestimmen, eignet sich diese Darstellung nicht so gut. Dann nimmt man lieber die Integraldarstellung des Restgliedes:
[mm] $R_n(x) [/mm] = [mm] \int\limits_{x_0}^x f^{(n)}(t) \cdot (x-t)^{n-1}\, [/mm] dt$.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Beule-M |
Hallo,
im Text steht folgendes:
"Es ist in der Praxis jedoch nahezu unmöglich, den exakter Wert des Restgliedes zu bestimmen. Der durch die Vernachlässigung des Restgliedes entstandene Fehler kann daher in der Regel nur abgeschätzt werden. Dazu wird meist diese Formel verwendet."
Meine Aufgabe ist eigentlich Folgende:
gegeben ist die Näherungsformel:
[mm] \wurzel{1+h} \approx [/mm] 1+ [mm] \bruch{h}{2}
[/mm]
Das ist ja die Potenzreihe ersten Grades.
Für welche Werte h liefert die Näherung brauchbare Werte, die um nicht mehr als 10% von den Wahren Werten abweichen.
Ich wollte das Restglied bestimmen, dieses größer als 90 % des Wurzelausdruckes setzen und nach h auflösen.
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Hallo Matthias,
die Formel wird normalerweise nur für
| h | < 1 verwendet, für größere
Radikanden 1+h setzt man $1+h = [mm] a^2*(1+x)$,
[/mm]
[mm] $\sqrt{1+h} [/mm] = [mm] a*\sqrt{1+x}$ [/mm] so daß 0 < x < 1
gilt; das "Vorziehen" des a
ändert nichts an der prozentuellen Genauigkeit.
Da für die x die Reihenentwiklung
alternierende Vorzeichen und und Glieder
mit fallende Beträgen < 1 hat
ist
der Fehler nicht größer als das erste
weggegelassene Glied der Reihe.
Das
nächste Glied wäre [mm] $x^2/8$
[/mm]
und
wenn wir verlangen, daß [mm] $x^2/8 [/mm] < 1/10$
ist ist die 10% Forderung sicher erfüllt
- das wäre also für x bzw. h bis [mm] $\sqrt{0.8}$
[/mm]
( und eigentlich besser ) der Fall.
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