Potenzreihenentwicklungssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mo 21.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Sei [mm]f:\IC \to \IC[/mm] holomorph mit [mm]f^{(n)}(0)=n[/mm] für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]. Welchen Wert besitzt das Kurvenintegral [mm]\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-1|=R}\frac{f(z)}{z-1}dz[/mm] für R > 0, wobei [mm]|z-1|=R[/mm] den positiv durchlaufenen Kreis um 1 mit Radius R bezeichnet? |
Hallo,
ich hab das einfach so gemacht:
Nach dem Potenzreihenentwicklungssatz von Taylor gilt:
[mm] a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-c|=R}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz[/mm]
wenn ich das jetzt einfach hier anwende dann steht da:
[mm]\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-1|=R}\frac{f(z)}{z-1}dz=\frac{f^{(0)}(1)}{0!}=f(1)[/mm]
Stimmt das? Warum steht in der Angabe [mm]f^{(n)}(0)=n[/mm] das hab ich hier ja gar nicht gebraucht?
Vielen Dank fürs Anschaun!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mo 21.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f:\IC \to \IC[/mm] holomorph mit [mm]f^{(n)}(0)=n[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN_0[/mm]. Welchen Wert besitzt das Kurvenintegral
> [mm]\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-1|=R}\frac{f(z)}{z-1}dz[/mm] für
> R > 0, wobei [mm]|z-1|=R[/mm] den positiv durchlaufenen Kreis um 1
> mit Radius R bezeichnet?
> Hallo,
> ich hab das einfach so gemacht:
>
> Nach dem Potenzreihenentwicklungssatz von Taylor gilt:
> [mm]a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-c|=R}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz[/mm]
>
> wenn ich das jetzt einfach hier anwende dann steht da:
> [mm]\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-1|=R}\frac{f(z)}{z-1}dz=\frac{f^{(0)}(1)}{0!}=f(1)[/mm]
>
> Stimmt das? Warum steht in der Angabe [mm]f^{(n)}(0)=n[/mm] das hab
> ich hier ja gar nicht gebraucht?
Du bist ja auch nicht fertig. Stelle die Potenzreihe von f auf, weise nach, dass sie an der Stelle $z=1$ konvergiert und berechne $f(1)$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo!
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> > Sei [mm]f:\IC \to \IC[/mm] holomorph mit [mm]f^{(n)}(0)=n[/mm] für alle
> > [mm]n\in\IN_0[/mm]. Welchen Wert besitzt das Kurvenintegral
> > [mm]\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-1|=R}\frac{f(z)}{z-1}dz[/mm] für
> > R > 0, wobei [mm]|z-1|=R[/mm] den positiv durchlaufenen Kreis um 1
> > mit Radius R bezeichnet?
> > Hallo,
> > ich hab das einfach so gemacht:
> >
> > Nach dem Potenzreihenentwicklungssatz von Taylor gilt:
> > [mm]a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-c|=R}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz[/mm]
>
> >
> > wenn ich das jetzt einfach hier anwende dann steht da:
> > [mm]\frac{1}{2\pi i}\integral_{|z-1|=R}\frac{f(z)}{z-1}dz=\frac{f^{(0)}(1)}{0!}=f(1)[/mm]
>
> >
> > Stimmt das? Warum steht in der Angabe [mm]f^{(n)}(0)=n[/mm] das hab
> > ich hier ja gar nicht gebraucht?
>
> Du bist ja auch nicht fertig. Stelle die Potenzreihe von f
> auf, weise nach, dass sie an der Stelle [mm]z=1[/mm] konvergiert und
> berechne [mm]f(1)[/mm].
>
Hallo
wenn ich mir die Potenzreihe um den Entwicklungspunkt 1 anschaue dann sieht die doch so aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-1)^n [/mm] wobei [mm] a_n=\frac{f^{(n)}(1)}{n!} [/mm] gilt. Irgendwie bin ich zu blöd weiterzumachen.
Ein kleiner Denkanstoß wäre toll.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Mann ! Du hast doch gegeben: [mm] f^{(n)}(0)=n [/mm] für jeses n [mm] \in \IN_0.
[/mm]
Die Potenzreihenentwicklung um [mm] x_0=0 [/mm] sieht dann so aus:
$f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{ f^{(n)}(0)}{n!}z^n$ [/mm] für z [mm] \in \IC.
[/mm]
Also: $f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{n!}z^n$ [/mm] für z [mm] \in \IC.
[/mm]
Schreib die Potenzreihe mal aus, dann solltest Du sehen, das ein alter Bekannter rauskommt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
Ok, also kommt da für[mm]f(z)= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{n!}z^n[/mm] für z [mm]\in \IC.[/mm] e raus. Daraus ergibt sich dann, dass der Konvergenzradius 1 ist, also z=1 im Konvergenzbereich liegt und f(1) = e ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, also kommt da für[mm]f(z)= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{n!}z^n[/mm]
> für z [mm]\in \IC.[/mm] e raus.
Das ist doch Quatsch !
Es ist [mm] $f(z)=ze^z$ [/mm] !!!
> Daraus ergibt sich dann, dass der
> Konvergenzradius 1
Unsinn !
Der Konvergenzradius ist = [mm] \infty [/mm] !
> ist, also z=1 im Konvergenzbereich liegt
> und f(1) = e ist?
Das stimmt wieder (zufällig !)
FRED
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