Potenzreihenring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Do 04.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Sei [mm] $\IC[[x_1,...,x_n]]$ [/mm] der Ring der formalen Potenzreihen und [mm] $m:=$ [/mm] sein maximales Ideal. Zeige:
1. [mm] $\bigcap_{k\geq1}m^k=\lbrace0\rbrace$
[/mm]
2. Seien [mm] $g_1,...,g_s\in [/mm] m$. Zeige, dass es einen eindeutigen Homorpismus [mm] $\varphi:\IC[[y_1,...,y_s]]\rightarrow\IC[x_1,...,x_n]]$ [/mm] gibt mit
[mm] $\varphi(y_i)=g_i,~~i=1,...,s$ [/mm] |
Hallo,
ich hab ohnehin schon Probleme mit dem Verständnis des Potenzreihenrings, da fällt es mir umso schwerer darin rumzurechnen. Kann mir vielleicht jemand helfen??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 04.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]\IC[[x_1,...,x_n]][/mm] der Ring der formalen Potenzreihen
> und [mm]m:=[/mm] sein maximales Ideal. Zeige:
>
> 1. [mm]\bigcap_{k\geq1}m^k=\lbrace0\rbrace[/mm]
>
> 2. Seien [mm]g_1,...,g_s\in m[/mm]. Zeige, dass es einen eindeutigen
> Homorpismus
> [mm]\varphi:\IC[[y_1,...,y_s]]\rightarrow\IC[x_1,...,x_n]][/mm] gibt
> mit
> [mm]\varphi(y_i)=g_i,~~i=1,...,s[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab ohnehin schon Probleme mit dem Verständnis des
> Potenzreihenrings,
Potenzreihen (zumindest konvergente) sind doch bereits ein Objekt der Analysis I. Mit den formalen Potenzreihen in der Algebra kannst du genauso arbeiten wie mit absolut konvergenten Potenzreihen in der Analysis.
> da fällt es mir umso schwerer darin
> rumzurechnen. Kann mir vielleicht jemand helfen??
Nun, bei 1. versuch doch mal dir zu ueberlegen, wie [mm] $m^k$ [/mm] aussieht. Fuer $k = 1$ sind das alle Potenzreihen, deren Konstanter Term 0 ist. Fuer $k = 1$ sind das alle Potenzreihen, bei denen der konstate Term und die Koeffizienten von [mm] $x_1, \dots, x_n$ [/mm] gleich 0 sind. Wie sieht [mm] $m^2$ [/mm] aus? Und [mm] $m^3$? [/mm] Und dann [mm] $m^k$ [/mm] allgemein?
Zu 2.: Also einen kannst du sicher schnell angeben. Tu das doch mal. Und ueberleg dir warum das wohldefiniert ist. (Das es dann ein Homomorphismus ist kann man leicht nachrechnen.)
Wenn du das hast, nimm dir irgendeinen Homomorphismus der dasselbe mit den [mm] $y_i$ [/mm] tut, und versuch zu zeigen dass die beiden gleich sind. Dafuer brauchst du 1. Vergleiche die Bilder der Homomorphismen in [mm] $\IC[x_1, \dots, x_n] [/mm] / [mm] m^k$ [/mm] fuer $k = 1, 2, 3, [mm] \dots$: [/mm] zeige, dass deren Differenz jeweils 0 ist, also in [mm] $m^k$ [/mm] liegt. Wenn du es fuer alle $k$ zeigst, liegt die Differenz in [mm] $\bigcap_{k \ge 1} m^k [/mm] = [mm] \{ 0 \}$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
