Pr. der gleichm. Beschränkth. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Di 06.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit in dieser Formulierung:
Sei X ein Banachraum und Y ein normierter Raum, sowie [mm] T_{\alpha} \in [/mm] L(X,Y) [mm] \forall \alpha \in [/mm] A.
Gilt [mm] sup_{\alpha \in A} ||T_{\alpha}x|| [/mm] < [mm] \infty \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X, dann gilt auch [mm] sup_{\alpha \in A} ||T_{\alpha}|| [/mm] < [mm] \infty [/mm] .
Was ich suche, ist ein Gegenbeispiel, falls X nicht vollständig ist. Im Werner "Funktionalanalyis" habe ich zwar eins gefunden, aber nicht verstanden.
Vielen Dank und Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich gerade mit dem Prinzip der
> gleichmäßigen Beschränktheit in dieser Formulierung:
> Sei X ein Banachraum und Y ein normierter Raum, sowie
> [mm]T_{\alpha} \in[/mm] L(X,Y) [mm]\forall \alpha \in[/mm] A.
> Gilt [mm]sup_{\alpha \in A} ||T_{\alpha}x||[/mm] < [mm]\infty \forall[/mm] x
> [mm]\in[/mm] X, dann gilt auch [mm]sup_{\alpha \in A} ||T_{\alpha}||[/mm] <
> [mm]\infty[/mm] .
>
> Was ich suche, ist ein Gegenbeispiel, falls X nicht
> vollständig ist. Im Werner "Funktionalanalyis" habe ich
> zwar eins gefunden, aber nicht verstanden.
Toll ! Und was hast Du daran nicht verstanden ?
Ich hab den Werner vor mir.
X sei die Menge aller reellen (oder komplexen) Folgen [mm] (t_k) [/mm] mit [mm] t_k \ne [/mm] 0 für höchstens endlich viele k.
X sei normiert durch
[mm] ||(t_k)||= [/mm] max [mm] \{|t_k|: k \in \IN\}
[/mm]
[mm] T_n [/mm] : X [mm] \to \IR [/mm] ( [mm] \IC) [/mm] sei def. durch
[mm] T_n((t_k)):=nt_n.
[/mm]
Jedes [mm] T_n [/mm] ist ein stetiger linearer Operator und (zeige das mal !) [mm] ||T_n||=n.
[/mm]
Es ist also $ [mm] sup_{n \in\IN} ||T_{n}|| [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $
Sei [mm] x=(t_k) \in [/mm] X fest. Es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] t_k=0 [/mm] für k>m.
(1) für n>m ist [mm] |T_n(x)|=n|t_n|=0
[/mm]
(2) für n [mm] \le [/mm] m ist [mm] $|T_n(x)|=n|t_n| \le m|t_n| \le [/mm] m||x||.$
Aus (1) und (2) folgt:
[mm] $|T_n(x)| \le [/mm] m||x||$ für alle n [mm] \in \IN, [/mm]
also
[mm] $sup_{n \in\IN} |T_{n}(x)| \le [/mm] m||x|| < [mm] \infty$
[/mm]
Die Familie [mm] (T_n) [/mm] ist also punktweise beschränkt, aber nicht gleichmäßig beschränkt. Das liegt an der Unvollständigkeit des Raumes X.
Jetzt klarer ?
FRED
>
> Vielen Dank und Viele Grüße
> Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 06.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo Fred,
ja jetzt ist es wesentlich klarer. Ich werde heute abend nochmal darüber nachdenken.
Das Problem war die Folgenmenge. Ich wusste nicht was das für Folgen sind und deshalb war mir am Anfang schon nicht klar, warum nur endlich viele Folgen ungleich 0 sind. Ich habe da wohl ein Problem mit der Notation. Also das "d" im Werner steht dann hier für die Menge dieser Folgen, wie gerade beschrieben.
Du sagtest ich solle zeigen, dass die Operatornorm von [mm] T_{n} [/mm] =n ist.
Ist das nicht klar, wenn ich das supremum fordere und die "größte" Möglichkeit für [mm] ||t_{k}|| [/mm] <1 dann n ist? [mm] T_{n}x [/mm] ist ja gerade [mm] T_{n}t_{k} [/mm] und das eben mit Def. von [mm] T_{n} [/mm] ergibt [mm] nt_{n}. [/mm] Wenn ich überall Normen draufhaue, dann kann ich sie ja am Schluss reinziehen und habe nur noch [mm] n||t_{n}||, [/mm] wobei das letzte ja eben maximal 1 ist.
Wenn das so stimmt, hab ichs verstanden.
Vielen Dank!
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Mi 07.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ja jetzt ist es wesentlich klarer. Ich werde heute abend
> nochmal darüber nachdenken.
> Das Problem war die Folgenmenge. Ich wusste nicht was das
> für Folgen sind
Toll ! Was glaubst Du, was ich gestern gemacht habe ? Ich hab den "Werner" aus meinem Bücherregal geholt, hab das Kapitel "Glm. Beschränktheit" aufgeschlagen, hab nach dem Beispiel, von dem Du gesprochen hast, gesucht und wurde fündig. Dann hab ich gesehen, dass Werner von einem Raum d spricht. Mir war zunächst nicht klar, was er damit meint.
Und jetzt kommts: ich hab nachgeschlagen, stell Dir das mal vor ! Ist das nicht ganz allerliebst von mir ? Ich hab mir gedacht: der Kerstin kann ich das nicht zumuten.
> und deshalb war mir am Anfang schon nicht
> klar, warum nur endlich viele Folgen ungleich 0 sind.
?????? Ich glaube, Dir ist immer noch nicht klar, wie der Raum d aussieht.
Lies Du das mal im "Werner" nach. Oder soll ich das für Dich übernehmen ?
> Ich
> habe da wohl ein Problem mit der Notation. Also das "d" im
> Werner steht dann hier für die Menge dieser Folgen, wie
> gerade beschrieben.
> Du sagtest ich solle zeigen, dass die Operatornorm von
> [mm]T_{n}[/mm] =n ist.
> Ist das nicht klar, wenn ich das supremum fordere und die
> "größte" Möglichkeit für [mm]||t_{k}||[/mm] <1 dann n ist?
> [mm]T_{n}x[/mm] ist ja gerade [mm]T_{n}t_{k}[/mm] und das eben mit Def. von
> [mm]T_{n}[/mm] ergibt [mm]nt_{n}.[/mm] Wenn ich überall Normen draufhaue,
> dann kann ich sie ja am Schluss reinziehen und habe nur
> noch [mm]n||t_{n}||,[/mm] wobei das letzte ja eben maximal 1 ist.
> Wenn das so stimmt, hab ichs verstanden.
Mit Verlaub, Dein obiger "Beweis" ist nur Gerede und hat mit Mathematik nichts zu tun.
Formuliere mal einen ordentlichen Beweis für [mm] ||T_n||=n. [/mm] Dann werden wir sehen, ob Dir das so klar ist, wie Du sagst.
Nichts für ungut
Gruß FRED
>
> Vielen Dank!
> Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo Fred,
danke dir erstmal für deine Antwort.
Ja ich hatte mich noch verschusselt, bezüglich des Raums d. Hatte zuerst das Richtige da stehen. Dann hab ich ihm Bus auf dem Weg zur Arbeit nochmal alles umgeschrieben, weil ich dachte ich hätte mich vertan... warum auch immer. Also die Folgenglieder in einer Folge sind bis auf endlich viele 0 und die Menge der Folgen, die diese Bedingung erfüllen, bilden d.
Und ob du es glauben magst oder nicht, ich habe im Werner gesucht. Nur anscheinend nach dem Falschen. Ich habe nach den [mm] s_{m} [/mm] gesucht und dazu singuläre Punkte gefunden. War etwas verwirrend, denn die haben ja so mal gar nichts damit zu tun. Danach schaute ich im Internet und fand alles Mögliche. Das Ganze hat 2 Stunden gedauert und dann dachte ich, ich frage nach, denn selbst wenn ich dann das Richtige gefunden hätte, hätte ichs wohl nicht mehr erkannt.
Ich stelle nur dann Fragen, wenn ich nicht weiterkomme und das war hier der Fall.
Man mag mir einiges zu Recht unterstellen, aber Faulheit gehört mit Sicherheit nicht dazu. Neben dem Studium habe ich noch meine Kinder zu versorgen, eines, das schwerbehindert ist, zu pflegen und zu arbeiten, weil die drei ja auch irgendwas zu futtern brauchen und all das alleine. Deswegen lass mir aber trotzdem nicht im Studium den Hintern hinterhertragen oder irgendwas schenken.
Vielleicht kannst du so etwas nachvollziehen, wie es für mich ist, wenn du mir, nachdem ich schon soviel Zeit investiert habe, sagst "Soll ich das auch noch für dich übernehmen?", als ob ich auf der Couch gegammelt hätte und jetzt wünsche, dass mir jemand alles zu Füßen legt. Das kränkt mich.
Zu ||Tn|| =n : Na klar, ist das alles erstmal nur Gerede. Ich wollte wissen, ob ich auf dem richtigen Dampfer bin, ohne den Kopf direkt abgerissen zu bekommen.
Aber ehrlich gesagt, hätte ich das was ich "geredet" habe, nur als Gleichung formuliert.
Also so:
[mm] ||T_{n}||= sup_{||t_{k}|| \le 1} ||T_{n}t_{k}|| [/mm] = [mm] sup_{||t_{k}|| \le 1} [/mm] ||n [mm] t_{k} [/mm] || = [mm] sup_{||t_{k}|| \le 1} [/mm] n [mm] ||t_{k}|| [/mm] = n .
(Sorry, dass es so grausam aussieht, ich bekomm es gerade nicht besser hin)
Aber anscheinend ist das nicht ausreichend. Ich wüsste aber nicht an welcher Stelle das ganze hinkt.
Vielen Dank und Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Mi 07.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke dir erstmal für deine Antwort.
> Ja ich hatte mich noch verschusselt, bezüglich des Raums
> d. Hatte zuerst das Richtige da stehen. Dann hab ich ihm
> Bus auf dem Weg zur Arbeit nochmal alles umgeschrieben,
> weil ich dachte ich hätte mich vertan... warum auch immer.
> Also die Folgenglieder in einer Folge sind bis auf endlich
> viele 0 und die Menge der Folgen, die diese Bedingung
> erfüllen, bilden d.
>
> Und ob du es glauben magst oder nicht, ich habe im Werner
> gesucht. Nur anscheinend nach dem Falschen. Ich habe nach
> den [mm]s_{m}[/mm] gesucht und dazu singuläre Punkte gefunden. War
> etwas verwirrend, denn die haben ja so mal gar nichts damit
> zu tun. Danach schaute ich im Internet und fand alles
> Mögliche. Das Ganze hat 2 Stunden gedauert und dann dachte
> ich, ich frage nach, denn selbst wenn ich dann das Richtige
> gefunden hätte, hätte ichs wohl nicht mehr erkannt.
> Ich stelle nur dann Fragen, wenn ich nicht weiterkomme und
> das war hier der Fall.
> Man mag mir einiges zu Recht unterstellen, aber Faulheit
> gehört mit Sicherheit nicht dazu. Neben dem Studium habe
> ich noch meine Kinder zu versorgen, eines, das
> schwerbehindert ist, zu pflegen und zu arbeiten, weil die
> drei ja auch irgendwas zu futtern brauchen und all das
> alleine. Deswegen lass mir aber trotzdem nicht im Studium
> den Hintern hinterhertragen oder irgendwas schenken.
> Vielleicht kannst du so etwas nachvollziehen, wie es für
> mich ist, wenn du mir, nachdem ich schon soviel Zeit
> investiert habe, sagst "Soll ich das auch noch für dich
> übernehmen?", als ob ich auf der Couch gegammelt hätte
> und jetzt wünsche, dass mir jemand alles zu Füßen legt.
> Das kränkt mich.
O.K., es tut mir leid, wenn ich oben etwas zu "deftig" war. Nimmst Du die Entschuldigung an ?
Im Werner gibt es ein Symbolverzeichnis ab Seite 432 (wenn Du eine andere Auflage als ich hast, kann es auch auf einer anderen Seite sein). Dort findet man:
$d, [mm] c_0, [/mm] c, [mm] l^{\infty}$ \quad [/mm] Folgenräume (Beispiel I.1(f))
>
> Zu ||Tn|| =n : Na klar, ist das alles erstmal nur Gerede.
> Ich wollte wissen, ob ich auf dem richtigen Dampfer bin,
> ohne den Kopf direkt abgerissen zu bekommen.
> Aber ehrlich gesagt, hätte ich das was ich "geredet" habe,
> nur als Gleichung formuliert.
> Also so:
> [mm]||T_{n}||= sup_{||t_{k}|| \le 1} ||T_{n}t_{k}||[/mm] =
> [mm]sup_{||t_{k}|| \le 1}[/mm] ||n [mm]t_{k}[/mm] || = [mm]sup_{||t_{k}|| \le 1}[/mm]
> n [mm]||t_{k}||[/mm] = n .
Nein, so ist das nicht richtig.
[mm] ||T_{n}||= sup_{||(t_{k})|| \le 1} |T_{n}((t_{k}))|= sup_{||(t_{k})|| \le 1}n|t_n| \le sup_{||(t_{k})|| \le 1}n=n.
[/mm]
Damit hast Du zunächst nur
(1) [mm] ||T_n|| \le [/mm] n.
Setzen wir [mm] (t_k):=(0,....,0,1,0,,,,) [/mm] (wobei die 1 an der n-ten Stelle steht), so ist [mm] ||(t_k)||=1 [/mm] und
(2) [mm] |T_n((t_k))|=n [/mm] .
Damit haben wir mit (1) und (2): [mm] ||T_n||=n.
[/mm]
FRED
>
>
> (Sorry, dass es so grausam aussieht, ich bekomm es gerade
> nicht besser hin)
> Aber anscheinend ist das nicht ausreichend. Ich wüsste
> aber nicht an welcher Stelle das ganze hinkt.
>
>
> Vielen Dank und Viele Grüße
> Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 08.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo Fred,
natürlich nehm ich die Entschuldigung an.
In dem Symbolverzeichnis hatte ich ja, wie gesagt, schon geschaut nur eben nach dem falschen Symbol gesucht. Dass "d" ein bestimmter Folgenraum sein könnte, kam mir nicht in den Sinn. Deshalb auch die Aussage bzgl. der singulären Punkte.
Das meine Gleichheit nicht stimmt, liegt dann daran, dass die Norm von [mm] t_{k} [/mm] grundsätzlich auch weniger als eins sein könnte, wenn ich das richtig verstanden habe?
Falls ja, dann habe ich das Beispiel jetzt drauf.
Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> natürlich nehm ich die Entschuldigung an.
> In dem Symbolverzeichnis hatte ich ja, wie gesagt, schon
> geschaut nur eben nach dem falschen Symbol gesucht. Dass
> "d" ein bestimmter Folgenraum sein könnte, kam mir nicht
> in den Sinn. Deshalb auch die Aussage bzgl. der singulären
> Punkte.
>
>
> Das meine Gleichheit nicht stimmt, liegt dann daran, dass
> die Norm von [mm]t_{k}[/mm] grundsätzlich auch weniger als eins
> sein könnte, wenn ich das richtig verstanden habe?
> Falls ja, dann habe ich das Beispiel jetzt drauf.
Hallo Kerstin,
so ganz hast Du mich nicht überzeugt.
Die Idee ist folgende:
Nimm ein x [mm] \in [/mm] d mit $||x|| [mm] \le [/mm] 1$ und zeige:
[mm] $|T_n(x)| \le [/mm] n$.
Damit haben wir
(*) sup [mm] \{|T(x)|: x \in d , ||x|| \le 1 \} \le [/mm] n.
Wenn Du nun ein [mm] x_0 \in [/mm] d finden kannt für das [mm] $|T_n(x_0)| [/mm] =n$ ist, so folgt aus (*):
sup [mm] \{|T(x)|: x \in d , ||x|| \le 1 \}= [/mm] n.
Also: [mm] ||T_n||=n.
[/mm]
Gruß FRED
>
> Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
>
> Viele Grüße
> Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 08.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo Fred,
das war aber so wie du es dann hingeschrieben hast, gemeint (denke ich :) ). Wohl etwas unglücklich ausgedrückt.
Vielleicht etwas geschickter: Dass man diese eine bestimmte Folge angibt, sichert ab, dass es Folgen der Norm eins gibt in unserem Raum und damit dann eben die Gleichheit, weil ja das supremum, das von der Norm abhängt, gesucht ist.
Ich weiß, ein Beweis ist das nicht. Aber vom Verständnis her wie ich Operatornormen zeigen kann, könnte man es doch so beschreiben, oder?
Viele Grüße
Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 08.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Die Mitteilung oben drüber sollte eine frage werden. Ich konnte es nach dem Senden nur nicht mehr ändern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Mitteilung oben drüber sollte eine frage werden. Ich
> konnte es nach dem Senden nur nicht mehr ändern.
Ein Kochrezept zur Bestimmung der Operatorennorm gibt es nicht.
Oft (aber nicht immer) kann man es so machen:
Seien X und Y normierte Räume ( die Normen in beiden Räumen bez. ich mit $||*||$, Verwechslungen sind nicht zu befürchten) und
$T:X [mm] \to [/mm] Y$ stetig und linear.
Stellt man nun fest, dass mit einer Zahl [mm] \mu \ge [/mm] 0 stets
$||Tx|| [mm] \le \mu||x||$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X gilt,
so hat man schon mal $||T|| [mm] \le \mu$.
[/mm]
Sollte es ein [mm] x_0 \in [/mm] X geben mit
[mm] $||Tx_0|| [/mm] = [mm] \mu||x_0||$ [/mm] ,
so kannst Du sicher sein, dass $||T||= [mm] \mu$ [/mm] ist.
Ein solches [mm] x_0 [/mm] muss nicht existieren.
Aber in Folgen- oder Funktionenräumen hat man oft Glück.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Do 08.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Super, dann habe ich ja schonmal einige Fälle abgedeckt :)
Vielen Dank!
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