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| Aufgabe | Sei L= L( [mm] \le [/mm] ; *, f) und R = [mm] (\IR_{\le0}; \le [/mm] ; *; f) eine L-struktur mit nichtnegativen reellen Zahlen als Individuen Bereich. Geben Sie L-Sätze [mm] \partial1,\partial2,\partial3,\partial4 [/mm] an, sodass gilt:
R |= [mm] \partial1 \gdw f^R [/mm] ist die konstante Funktion mit Wert 1 |
Huhu, verstehe hier, bei dem ersten Satz die Lösungen leider nicht ganz und nehme an das das ein Fehler ist :)
[mm] \partial1(x) \equiv \forall [/mm] x (f(x) * f(x) = f(x) [mm] \wedge \existsy [/mm] (y [mm] \le [/mm] x [mm] \wedge \neg [/mm] x=y))
ich verstehe nicht was das hier bedeutet f(x) * f(x) = f(x) müsste es nicht heissen [mm] \forall [/mm] y (f(y) * f(y) = x [mm] \wedge \existsy [/mm] (y [mm] \le [/mm] x [mm] \wedge \neg [/mm] x=y))
Dann wäre x eins und f(y) würde für alle Werte auf 1 gehen?
Hoffe ihr versteht was ich meine :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 08.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo AnnaK1990!
> Sei L= L( [mm]\le[/mm] ; *, f) und R = [mm](\IR_{\le0}; \le[/mm] ; *; f) eine
> L-struktur mit nichtnegativen reellen Zahlen als Individuen
> Bereich.
(Es soll sicherlich [mm] $\IR_{\ge0}$ [/mm] statt [mm] $\IR_{\le0}$ [/mm] heißen.)
> Geben Sie L-Sätze
> [mm]\partial1,\partial2,\partial3,\partial4[/mm] an, sodass gilt:
> R |= [mm]\partial1 \gdw f^R[/mm] ist die konstante Funktion mit
> Wert 1
> Huhu, verstehe hier, bei dem ersten Satz die Lösungen
> leider nicht ganz und nehme an das das ein Fehler ist :)
Ich auch.
> [mm]\partial1(x) \equiv \forall[/mm] x (f(x) * f(x) = f(x) [mm]\wedge \existsy[/mm]
> (y [mm]\le[/mm] x [mm]\wedge \neg[/mm] x=y))
Die Formel auf der rechten Seite enthält, so wie du sie getippt hast, die freie Variable y und ist somit gar kein Satz.
> ich verstehe nicht was das hier bedeutet f(x) * f(x) = f(x)
> müsste es nicht heissen [mm]\forall[/mm] y (f(y) * f(y) = x [mm]\wedge \existsy[/mm]
> (y [mm]\le[/mm] x [mm]\wedge \neg[/mm] x=y))
> Dann wäre x eins und f(y) würde für alle Werte auf 1
> gehen?
>
> Hoffe ihr versteht was ich meine :)
Leider nicht so wirklich.
Idee der Lösung war wohl die Folgende:
Für jedes [mm] $z\in\IR$ [/mm] gilt die Äquivalenz
[mm] $z=1\iff [/mm] z*z=z$ und [mm] $z\not=0$
[/mm]
(denn $z*z=z$ ist gleichbedeutend mit $z=1$ oder $z=0$).
Für [mm] $z\in\IR_{\ge0}$ [/mm] gilt weiter die Äquivalenz
[mm] $z\not=0\iff \exists y\in\IR_{\ge0}\colon y\le z\wedge y\not=z$.
[/mm]
Insgesamt erhalten wir so für jedes [mm] $z\in\IR_{\ge0}$
[/mm]
[mm] $z=1\iff z*z=z\wedge \exists y\in\IR_{\ge0}\colon y\le z\wedge y\not=z$.
[/mm]
Mithilfe der Formel
[mm] $\psi(z)\equiv z*z=z\wedge \exists y\; (y\le z\wedge y\not=z)$
[/mm]
haben wir also die Äquivalenz
[mm] $z=1\iff R\models \psi(z)$.
[/mm]
Es folgt die "Äquivalenzkette"
[mm] $f^R$ [/mm] ist die konstante Funktion mit Wert 1
[mm] $\iff$ $f^R(x)=1$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR_{\ge0}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $R\models \psi(f^R(x))$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR_{\ge0}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $R\models \forall x\; \psi(f(x))$
[/mm]
[mm] $\iff$ $R\models \forall x\;(f(x)*f(x)=f(x)\wedge \exists y\; (y\le f(x)\wedge y\not=f(x)))$.
[/mm]
Somit leistet der Satz
[mm] $\delta_1\equiv\forall x\;(f(x)*f(x)=f(x)\wedge \exists y\; (y\le f(x)\wedge y\not=f(x)))$
[/mm]
das Gewünschte.
Einfacher erscheint mir folgende alternative Wahl von [mm] $\delta_1$:
[/mm]
[mm] $\delta_1\equiv \forall x\;(\forall y\; [/mm] f(x)*y=y)$.
Das Entscheidende bei dieser Wahl: Für jedes [mm] $z\in\IR_{\ge0}$ [/mm] gilt die Äquivalenz
[mm] $z=1\iff \forall y\in\IR_{\ge0}\colon [/mm] z*y=y$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Mi 08.04.2015 | | Autor: | AnnaK1990 |
Huhu, vielen Dank für deine ausführliche Antwort, hat mir sehr geholfen!!! Leider darf man nicht z [mm] \not= [/mm] 0 schreiben, da die 0 nicht als konstante angegeben ist, trotzdem hat es geholfen ;)
Deine zweite Lösung ist 100mal genialer, da bin ich leider gar nicht drauf gekommen, vielen Dank!
EDIT: ach sehe gerade das du das z [mm] \not= [/mm] 0 dann gar nicht mehr benutzt hast... alles richtig! :)
$ [mm] z=1\iff z\cdot{}z=z\wedge \exists y\in\IR_{\ge0}\colon y\le x\wedge y\not=x [/mm] $. hier ist x wahrscheinlich z? also für alle z muss es ein kleineres Element geben ohne das z und y gleich sind, da bleibt dann nur die 1 übrig, die beide Sachen erfüllt, super
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 08.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Huhu, vielen Dank für deine ausführliche Antwort, hat mir
> sehr geholfen!!! Leider darf man nicht z [mm]\not=[/mm] 0 schreiben,
> da die 0 nicht als konstante angegeben ist, trotzdem hat es
> geholfen ;)
Man darf die 0 nicht innerhalb einer L-Formel verwenden. Aber wenn ich jenseits von Formeln über reelle Zahlen rede, darf ich natürlich auch von der reellen Zahl 0 reden... 
> [mm]z=1\iff z\cdot{}z=z\wedge \exists y\in\IR_{\ge0}\colon y\le x\wedge y\not=x [/mm].
> hier ist x wahrscheinlich z?
Genau: danke für den Hinweis! Ich korrigiere den Tippfehler gleich.
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