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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Sa 22.02.2014 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | | Die prädikatenlogische Sprache L enthalte das zweistellige Prädikatensymbol K. Zeigen Sie, dass die Formel $ [mm] \exists x_0 \forall x_1 K(x_0, x_1) [/mm] $ in der Struktur S = < [mm] \IZ, [/mm] I > nicht gilt, wenn [mm] \IZ [/mm] die Menge der ganzen Zahlen und I(K) die Relation "ist kleiner als oder gleich" [mm] (\le) [/mm] ist. |
Ich weiß wie ich das machen müsste, wenn ich eine prädikatenlogische Formel hab und zeigen soll, dass sie in einer Struktur gilt. Jedoch andersrum hab ich so meine Probleme :-/
Ich hab mir das so gedacht (also meine Beweisführung): Angenommen, die Formel würde in der Struktur S = < [mm] \IZ, [/mm] I > gelten. Dann müsste es ein kleinstes Element geben, dass kleiner oder gleich aller anderen Elemente ist. Da es aber zu jedem Element noch ein kleineres Element gibt, kann es kein kleinstes Element gelten, daher gilt die Formel $ [mm] \exists x_0 \forall x_1 K(x_0, x_1) [/mm] $ nicht in der Struktur S.
Kann man das so gelten lassen? Oder muss ich das noch irgendwie formaler hinschreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 So 23.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo starki!
> Die prädikatenlogische Sprache L enthalte das zweistellige
> Prädikatensymbol K. Zeigen Sie, dass die Formel [mm]\exists x_0 \forall x_1 K(x_0, x_1)[/mm]
> in der Struktur S = < [mm]\IZ,[/mm] I > nicht gilt, wenn [mm]\IZ[/mm] die
> Menge der ganzen Zahlen und I(K) die Relation "ist kleiner
> als oder gleich" [mm](\le)[/mm] ist.
> Ich hab mir das so gedacht (also meine Beweisführung):
> Angenommen, die Formel würde in der Struktur S = < [mm]\IZ,[/mm] I
> > gelten. Dann müsste es ein kleinstes Element geben, dass
> kleiner oder gleich aller anderen Elemente ist. Da es aber
> zu jedem Element noch ein kleineres Element gibt, kann es
> kein kleinstes Element gelten, daher gilt die Formel
> [mm]\exists x_0 \forall x_1 K(x_0, x_1)[/mm] nicht in der Struktur
> S.
>
> Kann man das so gelten lassen? Oder muss ich das noch
> irgendwie formaler hinschreiben?
Aus meiner Sicht ist deine Lösung vollkommen ok.
Wenn du es formaler machen möchtest, geht es z.B. so:
Angenommen die Formel [mm]\exists x_0 \forall x_1 K(x_0, x_1)[/mm] gilt in der Struktur $S$.
Dann gibt es ein [mm] $n_0\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $n_0\le n_1$ [/mm] für alle [mm] $n_1\in\IZ$.
[/mm]
Insbesondere [mm] $n_0\le n_0-1
Viele Grüße
Tobias
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