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| Aufgabe | Zeige, dass die die Gruppe [mm] S_3 [/mm] folgende Präsentation hat:
< x, y [mm] \mid x^2 [/mm] = 1, [mm] y^2 [/mm] = 1, [mm] (xy)^3 [/mm] = 1 > |
Hallo!
Ich habe den Beweis dazu vorliegen, aber mir ist das Prinzip wohl doch noch (immer) nicht ganz klar. Und zwar wird wie folgt vorgegangen:
Es wird ein Homomorphimus [mm] \varphi: [/mm] F (X, Y) [mm] \to S_3 [/mm] definiert mit [mm] \varphi [/mm] (x) = (12) und [mm] \varphi [/mm] (y) = (23). Der Homorphismus ist ein Epimorphismus und der Kern [mm] \varphi [/mm] = [mm] {x^2, y^2, (xy)^3}
[/mm]
Soweit alles klar. Nun soll gezeigt werden, dass der ker [mm] \varphi [/mm] mit dem normalen Abschluss der Menge dieser Elemente übereinstimmt.
Dazu wird ein beliebiges Wort aus dem Kern [mm] \varphi [/mm] genommen, also r= [mm] x_1^{k_1}y_1^{l_1} [/mm] ... [mm] x_s^{k_s}y_s^{l_s}x_{s+1}^{k_{s+1}}, [/mm] wobei alle Exponenten von Null verschieden, außer vielleicht der erste und letzte (Wort kann ebenso mit y beginnen und mit y aufhören) . Indem man nun die erste und zweite definierende Relationen verwendet, kann man schließlich zu einem Wort der Form r = (x)yxyxy...s(y) kommen, wobei die Buchstaben in den Klammern auch weg sein könnten. Indem wir die letzte definierende Relation verwenden streichen wir die Teilwörter xyxyxy und yxyxyx und bekommen ein Wort mit der Länge von höchstens 5 Buchstaben . Die möglichen 10 Wörter (x, y, xy, yx, xyx, yxy, xyxy, yxyx, xyxyx , yxyxy) werden allerdings von [mm] \varphi [/mm] allle nicht auf 1 abgebildet und somit folgt, dass nur das leere Wort von [mm] \varphi [/mm] auf die 1 abgebildet wird (neben den schon im Kern enthaltenen definierenden Relationen). r =1 ist also eine Konsequenz der definierenden Relationen.
Damit ist die Behauptung gezeigt.
---> Meine Frage: Ich habe ja ein beliebiges Element aus dem Kern als Anfangsschritt genommen und habe doch eigentlich nur gezeigt, dass außer den definierenden Relationen nur das leere Wort wieder auf die 1 abgebildet wird. Was hat der normale Abschluss damit zu tun? Wo habe ich gezeigt, dass diese Mengen übereinstimmen? Der normale Abschluss wird von R erzeugt und enthält neben r und seinen Inversen alle Konjugierten (also f, [mm] f^{-1} [/mm] aus F ) und alle Produkte. Das beliebige Wort r, ist das in der Form eines Elementes aus dem normalen Abschluss? Oder wie?
Alles andere ist mir dann klar. Habe also eigentlich nur die Frage zur Vorgehensweise, die ja aber zum Verständnis auch schon zentral ist...
Wäre superlieb, wenn mir da jemand helfen könnte!
Danke ,
lg
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 08.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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