Präsentation von Zahlenreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle!
Ich muss eine Präsentation über Zahlenreihen halten, der gut eine halbe Stunde dauern soll.
Nun bin ich am Überlegen wie ich den Vortrag aufbauen soll.
Dachte mir, dass ich zuerst zwei Folien mache mit der Erklärung von Zahlenreihen:
- Reihe ist Summe der Glieder einer Folge
- endliche Folge -> endliche Reihe
- unendliche Folge -> unendliche Reihe
- Partialsummen
Dann das Vorstellen der einzelnen Reihenarten
Und wenn alle Reihenarten vorgestellt wurde die Konvergenz betrachten.
Oder ist es geschickter direkt nach dem Vorstellen einer Reihe die Konvergenz dafür zu erläutern?
Was meint ihr zu der Reihenfolge? Oder fehlt noch etwas?
Gruß PHANTOMIAS
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Hallo!
Ich würde direkt nach den unendlichen Reihen mit der Konvergenz anfangen, denn genau dabei tritt ja das Phänomen auf.
Danach kannst du natürlich an einigen Beispielen auch die Konvergenz zeigen, zumal es da ja Unterschiede im Beweis und so gibt.
Ich laß die Frage mal für andere Leute offen.
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Jetzt habe ich noch ein weiteres Problem:
An welcher Stelle baue ich die "absolute Konvergenz" ein?
Irgendwie finde ich es sehr schwierig einen roten Faden in die Präsentation zu bekommen.
Gruß PHANTOMIAS
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Hallo!
Bei solch einem Vortrag mache ich mir immer zuerst Gedanken, wie stark die Zuschauer eingebunden werden müssen und wieviel danach in den Mitschriften ob Mitschriften angefertigt müssen und wie viel davon.
Ich gehe jetzt mal von einem Vortrag im Sinne einer Art "Vorlesung" aus - bitte korrigiere mich, dalls es nicht so sein sollte. Bei solch einer Vorlesung müssen alle wichtigen Definitionen fallen. Ich finde es immer ganz nett, wenn solche Sachen wie
"unendliche Folge --> unendliche Reihe"
"endliche Folge --> endliche Reihe"
die Leute selbst folgern lässt. Mein Vorschlag für den Aufbau hält sich sehr an Wikipedia, weil ich den an sich sehr gut finde, wenn auch kurz: ![[]](/images/popup.gif) Reihe.
1. Einführung der Reihe mit haarscharfer Definition --> bis hierher in Wiki: "sie werden auch Partialsummen der Folge (ai) genannt"
2. Einige Beispiele: Einfache Folgen [mm] a_{n} [/mm] = n und dafür mal ein paar Reihenglieder berechnen lassen.
3. Jetzt eventuelle Bemerkungen für die zwei möglichen Fälle der Folgen: endlich oder unendlich. Zuhörer Entsprechendes für die Reihen folgern lassen, falls nicht zu trivial.
4. Überleitung: Bei den Folgen hatten wir Grenzwerte, man kann sich vorstellen dass es sowas auch für Reihen geben müsste. Definition, etc. bis hierher in Wiki: "Eine Reihe (sn) heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert"
5. Darlegung: Es ist ziemlich schwierig, solche Partialsummen für die Reihen für z.B. [mm] s_{1000} [/mm] zu berechnen, da man nicht plötzlich für alle möglichen Folgen eine entsprechende Summenformel herzaubern kann. Entsprechend schwierig ist es einen Grenzwert zu berechnen, man kann ja nicht einfach eine geschlossenen Summenformel auf Konvergenz überprüfen, weil man im Allgemeinen keine hat. --> Beispiele bringen: Oder fällt etwa jemanden spontan eine Summenformel für die Reihe der Folge
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{3^{n}}{2n}
[/mm]
ein? ^^
6. Also --> Es gibt zwei Möglichkeiten. Entweder wir suchen uns spezielle, öfter auftauchende Reihen auf, für die wir eine allgemeine Summenformel finden und somit auch leicht den Grenzwert der Reihe bestimmen können (Idee1), oder wir suchen uns ganz allgemeine Kriterien, womit wir bestimmte Reihen, deren Aussehen wir nicht genau kennen, gut auf Konvergenz untersuchen können, ohne den GW zu berechnen (Idee2).
7. Aufgreifen von Idee(1) --> Arithmetische / Geometrische Reihe / Harmonische Reihe und was du sonst noch so kennst
8. Beispiele
9. Überleitung zu den allgemeinen Kriterien.
10. Noch eine Art von Konvergenz: Absolute Konvergenz. An bisherigen Beispielen wie zum Beispiel der alternierenden und der normalen harmonischen Reihe das "Problem" zeigen.
11. Aufgreifen von Idee(2) --> Kriterien: Quotienten, Wurzel, Leibniz, ... Je nachdem wieviel du machen sollst, falls überhaupt. --> Hier immer die Bedeutung dazu sagen, dass einige dieser Kriterien absolute Konvergenz liefern.
12. Beispiele
Stefan.
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Hallo!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich habe jedoch noch ein paar Fragen dazu.
7. Aufgreifen von Idee(1) --> Arithmetische / Geometrische Reihe / Harmonische Reihe und was du sonst noch so kennst
Welche Reihe soll ich noch einbinden? Die alternierende Reihe etwa? Aber die Konvergenz der alternierenden Reihe kommt ja erst beim Leibniz-Kriterium, weiter unten. Sonst fällt mir spontan keine mehr ein.
9. Überleitung zu den allgemeinen Kriterien.
Warum soll es jetzt zu den allgemeinen Kriterien übergehen? Ich dachte, das geschieht erst in Punkt 11.? Oder meinst Du etwas Anderes damit?
Dein Punkt 11:
11. Aufgreifen von Idee(2) --> Kriterien: Quotienten, Wurzel, Leibniz, ... Je nachdem wieviel du machen sollst, falls überhaupt. --> Hier immer die Bedeutung dazu sagen, dass einige dieser Kriterien absolute Konvergenz liefern.
10. Noch eine Art von Konvergenz: Absolute Konvergenz. An bisherigen Beispielen wie zum Beispiel der alternierenden und der normalen harmonischen Reihe das "Problem" zeigen.
Wikipedia sagt mir was "absolute Konvergenz" ist (http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz). Jedoch muss ich gestehen, dass ich zwar weiß wie man das nachweist, aber den Sinn, warum man das überprüft, verstehe ich nicht so ganz.
Gruß PHANTOMIAS
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Hallo! Ich hoffe, du liest die Antwort noch, war eine Zeit lang nicht da 
> Hallo!
>
> Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich habe jedoch
> noch ein paar Fragen dazu.
>
> 7. Aufgreifen von Idee(1) --> Arithmetische / Geometrische
> Reihe / Harmonische Reihe und was du sonst noch so kennst
> Welche Reihe soll ich noch einbinden? Die alternierende
> Reihe etwa? Aber die Konvergenz der alternierenden Reihe
> kommt ja erst beim Leibniz-Kriterium, weiter unten. Sonst
> fällt mir spontan keine mehr ein.
Mir auch nicht. Aber ich wusste ja nicht auf welchem Niveau du dich bewegst oder für was das konkret ist, deswegen habe ich das offen gelassen. 
>
> 9. Überleitung zu den allgemeinen Kriterien.
> Warum soll es jetzt zu den allgemeinen Kriterien
> übergehen? Ich dachte, das geschieht erst in Punkt 11.?
> Oder meinst Du etwas Anderes damit?
> Dein Punkt 11:
>
> 11. Aufgreifen von Idee(2) --> Kriterien: Quotienten,
> Wurzel, Leibniz, ... Je nachdem wieviel du machen sollst,
> falls überhaupt. --> Hier immer die Bedeutung dazu sagen,
> dass einige dieser Kriterien absolute Konvergenz liefern.
Ja, es ist besser wenn du das noch vor die Überleitung schiebst. Es ist bloß immer wichtig, dass du den Grund dafür nennst, warum jetzt sowas kommt?
Ich sah zwei Möglichkeiten: Entweder man motiviert es über die kommenden Kriterien (welche nämlich manchmal sogar absolute Konvergenz liefern, und dann wäre es ja Verschwendung, es nicht zu sagen), oder man wirft noch das Problem der Umordnung von Reihen (siehe unten) auf. Ich hielt die erste für konventioneller und habe mir das deswegen praktisch "in" die Überleitung positioniert gedacht. Du kannst es natürlich auch anders machen
>
> 10. Noch eine Art von Konvergenz: Absolute Konvergenz. An
> bisherigen Beispielen wie zum Beispiel der alternierenden
> und der normalen harmonischen Reihe das "Problem" zeigen.
> Wikipedia sagt mir was "absolute Konvergenz" ist
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz). Jedoch
> muss ich gestehen, dass ich zwar weiß wie man das
> nachweist, aber den Sinn, warum man das überprüft, verstehe
> ich nicht so ganz.
Der Sinn, warum man Reihen auf absolute Konvergenz prüft, hängt mit der "Umordnung" von Reihen zusammen. Das Problem ist nämlich, dass man die alternierende harmonische Reihe so ziemlich gegen alles konvergieren lassen kann, was man will, wenn man es nur irgendwie aufschreibt (ACHTUNG: Dafür ist ein tiefgreifendes Verständnis für "unendlich" notwendig!)
Beispiel: Normalerweise gilt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{1}{n} [/mm] konvergiert
Ausgeschrieben also:
[mm] -\bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} -\bruch{1}{5} [/mm] + ... konvergiert
Schreibe ich die Summe aber so:
[mm] (-\bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] + (- [mm] \bruch{1}{3} -\bruch{1}{5} -\bruch{1}{7} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{11} [/mm] - [mm] \bruch{1}{13} [/mm] - ... ) + ...= [mm] -\infty
[/mm]
(In jeder Klammer ergibt sich mind. -0.5), so hat die Summe einen ganz anderen Wert, obwohl niemand abstreiten kann, dass irgendwann alle Glieder der Folge verwendet wurden. Solch eine Variabilität des Grenzwertes kann nicht passieren, wenn die Reihe absolut konvergent ist, weil man dann solche Umordnungsspielchen nicht machen kann
>
> Gruß PHANTOMIAS
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Hallo!
Danke für deine Antwort!
> > 7. Aufgreifen von Idee(1) --> Arithmetische / Geometrische
> > Reihe / Harmonische Reihe und was du sonst noch so
> kennst
> > Welche Reihe soll ich noch einbinden? Die alternierende
> > Reihe etwa? Aber die Konvergenz der alternierenden Reihe
> > kommt ja erst beim Leibniz-Kriterium, weiter unten. Sonst
> > fällt mir spontan keine mehr ein.
>
> Mir auch nicht. Aber ich wusste ja nicht auf welchem Niveau
> du dich bewegst oder für was das konkret ist, deswegen habe
> ich das offen gelassen.
Okay, aber soll ich jetzt die alternierende harmonische Reihe mit aufnehmen oder erst bei Idee2 einfließen lassen?
Im Prinzip fällt es meiner Ansicht nach sowohl unter Idee1 als auch Idee2.
> > 9. Überleitung zu den allgemeinen Kriterien.
> > Warum soll es jetzt zu den allgemeinen Kriterien
> > übergehen? Ich dachte, das geschieht erst in Punkt 11.?
> > Oder meinst Du etwas Anderes damit?
> > Dein Punkt 11:
> > 11. Aufgreifen von Idee(2) --> Kriterien: Quotienten,
> > Wurzel, Leibniz, ... Je nachdem wieviel du machen
> sollst,
> > falls überhaupt. --> Hier immer die Bedeutung dazu
> sagen,
> > dass einige dieser Kriterien absolute Konvergenz
> liefern.
>
> Ja, es ist besser wenn du das noch vor die Überleitung
> schiebst. Es ist bloß immer wichtig, dass du den Grund
> dafür nennst, warum jetzt sowas kommt?
> Ich sah zwei Möglichkeiten: Entweder man motiviert es über
> die kommenden Kriterien (welche nämlich manchmal sogar
> absolute Konvergenz liefern, und dann wäre es ja
> Verschwendung, es nicht zu sagen), oder man wirft noch das
> Problem der Umordnung von Reihen (siehe unten) auf. Ich
> hielt die erste für konventioneller und habe mir das
> deswegen praktisch "in" die Überleitung positioniert
> gedacht. Du kannst es natürlich auch anders machen
Nein okay, dann mache ich das auch so und folge deinem Vorschlag.
> > 10. Noch eine Art von Konvergenz: Absolute Konvergenz. An
> > bisherigen Beispielen wie zum Beispiel der
> alternierenden
> > und der normalen harmonischen Reihe das "Problem"
> zeigen.
> > Wikipedia sagt mir was "absolute Konvergenz" ist
> > (http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz). Jedoch
> > muss ich gestehen, dass ich zwar weiß wie man das
> > nachweist, aber den Sinn, warum man das überprüft, verstehe
> > ich nicht so ganz.
>
> Der Sinn, warum man Reihen auf absolute Konvergenz prüft,
> hängt mit der "Umordnung" von Reihen zusammen. Das Problem
> ist nämlich, dass man die alternierende harmonische Reihe
> so ziemlich gegen alles konvergieren lassen kann, was man
> will, wenn man es nur irgendwie aufschreibt (ACHTUNG: Dafür
> ist ein tiefgreifendes Verständnis für "unendlich"
> notwendig!)
Das verstehe ich nicht. Was meinst du damit wenn du schreibst "dass man die harmonische Reihe so ziemlich gegen alles konvergieren lassen kann"?
Oh, mit Hilfe des untenstehenden Beispiels wird es mir klar, aber auch wiederum nicht, denn die gleiche Reihe kann doch nicht konvergieren und divergieren? Ich meine normalerweise kommt da doch ln(2) heraus, oder? Mit deiner Notation kiege ich ja dann -unendlich raus... Ich bin verwirrt
> Beispiel: Normalerweise gilt
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert
>
> Ausgeschrieben also:
>
> [mm]-\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4} -\bruch{1}{5}[/mm]
> + ... konvergiert
>
> Schreibe ich die Summe aber so:
>
> [mm](-\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2})[/mm] + (- [mm]\bruch{1}{3} -\bruch{1}{5} -\bruch{1}{7}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{9}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4})[/mm] + [mm](\bruch{1}{11}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{13}[/mm] - ... ) + ...= [mm]-\infty[/mm]
>
> (In jeder Klammer ergibt sich mind. -0.5), so hat die Summe
> einen ganz anderen Wert, obwohl niemand abstreiten kann,
> dass irgendwann alle Glieder der Folge verwendet wurden.
> Solch eine Variabilität des Grenzwertes kann nicht
> passieren, wenn die Reihe absolut konvergent ist, weil man
> dann solche Umordnungsspielchen nicht machen kann
Gruß PHANTOMIAS
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Danke für deine Antwort!
>
> > > 7. Aufgreifen von Idee(1) --> Arithmetische / Geometrische
> > > Reihe / Harmonische Reihe und was du sonst noch so
> > kennst
> > > Welche Reihe soll ich noch einbinden? Die
> alternierende
> > > Reihe etwa? Aber die Konvergenz der alternierenden Reihe
> > > kommt ja erst beim Leibniz-Kriterium, weiter unten. Sonst
> > > fällt mir spontan keine mehr ein.
> >
> > Mir auch nicht. Aber ich wusste ja nicht auf welchem Niveau
> > du dich bewegst oder für was das konkret ist, deswegen habe
> > ich das offen gelassen.
> Okay, aber soll ich jetzt die alternierende harmonische
> Reihe mit aufnehmen oder erst bei Idee2 einfließen lassen?
> Im Prinzip fällt es meiner Ansicht nach sowohl unter Idee1
> als auch Idee2.
>
>
> > > 9. Überleitung zu den allgemeinen Kriterien.
> > > Warum soll es jetzt zu den allgemeinen Kriterien
> > > übergehen? Ich dachte, das geschieht erst in Punkt 11.?
> > > Oder meinst Du etwas Anderes damit?
> > > Dein Punkt 11:
> > > 11. Aufgreifen von Idee(2) --> Kriterien:
> Quotienten,
> > > Wurzel, Leibniz, ... Je nachdem wieviel du machen
> > sollst,
> > > falls überhaupt. --> Hier immer die Bedeutung dazu
> > sagen,
> > > dass einige dieser Kriterien absolute Konvergenz
> > liefern.
> >
> > Ja, es ist besser wenn du das noch vor die Überleitung
> > schiebst. Es ist bloß immer wichtig, dass du den Grund
> > dafür nennst, warum jetzt sowas kommt?
> > Ich sah zwei Möglichkeiten: Entweder man motiviert es
> über
> > die kommenden Kriterien (welche nämlich manchmal sogar
> > absolute Konvergenz liefern, und dann wäre es ja
> > Verschwendung, es nicht zu sagen), oder man wirft noch das
> > Problem der Umordnung von Reihen (siehe unten) auf. Ich
> > hielt die erste für konventioneller und habe mir das
> > deswegen praktisch "in" die Überleitung positioniert
> > gedacht. Du kannst es natürlich auch anders machen
> Nein okay, dann mache ich das auch so und folge deinem
> Vorschlag.
>
>
> > > 10. Noch eine Art von Konvergenz: Absolute Konvergenz. An
> > > bisherigen Beispielen wie zum Beispiel der
> > alternierenden
> > > und der normalen harmonischen Reihe das "Problem"
> > zeigen.
> > > Wikipedia sagt mir was "absolute Konvergenz" ist
> > > (http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz). Jedoch
> > > muss ich gestehen, dass ich zwar weiß wie man das
> > > nachweist, aber den Sinn, warum man das überprüft, verstehe
> > > ich nicht so ganz.
> >
> > Der Sinn, warum man Reihen auf absolute Konvergenz prüft,
> > hängt mit der "Umordnung" von Reihen zusammen. Das Problem
> > ist nämlich, dass man die alternierende harmonische Reihe
> > so ziemlich gegen alles konvergieren lassen kann, was man
> > will, wenn man es nur irgendwie aufschreibt (ACHTUNG: Dafür
> > ist ein tiefgreifendes Verständnis für "unendlich"
> > notwendig!)
> Das verstehe ich nicht. Was meinst du damit wenn du
> schreibst "dass man die harmonische Reihe so ziemlich gegen
> alles konvergieren lassen kann"?
> Oh, mit Hilfe des untenstehenden Beispiels wird es mir
> klar, aber auch wiederum nicht, denn die gleiche Reihe kann
> doch nicht konvergieren und divergieren? Ich meine
> normalerweise kommt da doch ln(2) heraus, oder? Mit deiner
> Notation kiege ich ja dann -unendlich raus... Ich bin
> verwirrt
Damit ist der Riemannsche Umordnungssatz gemeint:
Ist eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe vorgelegt, so gilt:
1. Ist S [mm] \in \IR, [/mm] so gibt es eine Umordnung der vorgelegten Reihe, welche den Reihenwert S hat.
2. Es gibt divergente Umordnungen der vorgelegten Reihe.
FRED
>
> > Beispiel: Normalerweise gilt
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert
> >
> > Ausgeschrieben also:
> >
> > [mm]-\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4} -\bruch{1}{5}[/mm]
> > + ... konvergiert
> >
> > Schreibe ich die Summe aber so:
> >
> > [mm](-\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2})[/mm] + (- [mm]\bruch{1}{3} -\bruch{1}{5} -\bruch{1}{7}[/mm]
> > - [mm]\bruch{1}{9}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4})[/mm] + [mm](\bruch{1}{11}[/mm] -
> > [mm]\bruch{1}{13}[/mm] - ... ) + ...= [mm]-\infty[/mm]
> >
> > (In jeder Klammer ergibt sich mind. -0.5), so hat die Summe
> > einen ganz anderen Wert, obwohl niemand abstreiten kann,
> > dass irgendwann alle Glieder der Folge verwendet wurden.
> > Solch eine Variabilität des Grenzwertes kann nicht
> > passieren, wenn die Reihe absolut konvergent ist, weil man
> > dann solche Umordnungsspielchen nicht machen kann
>
> Gruß PHANTOMIAS
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Also ich verstehe das schon von der Definition her. Nur wie kann eine Reihe, die gegen ln(2) konvergiert, nun gegen -unendlich gehen, also divergieren.
Verstehe ich den wikipedia-Artikel dazu richtig, so kann jeder beliebige Wert S angenommen werden, falls nicht absolut konvergent.
Aber nochmal zu meinem Verständnis:
Ich habe die alternierende harmonische Reihe; die ist nicht absolut konvergent, konvergiert aber gegen ln(2). Jetzt ist es doch aber so, dass ich die einzelnen Glieder der Reihe umordnen kann. Aber da die Reihenfolge der Summation egal ist (Kommutativgesetz), so muss doch auch wenn ich das umordne gegen ln(2) konvergieren?!
Ich hoffe ihr versteht mein Gedankenproblem.
Gruß PHANTOMIAS
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Also ich verstehe das schon von der Definition her. Nur wie
> kann eine Reihe, die gegen ln(2) konvergiert, nun gegen
> -unendlich gehen, also divergieren.
> Verstehe ich den wikipedia-Artikel dazu richtig, so kann
> jeder beliebige Wert S angenommen werden, falls nicht
> absolut konvergent.
So ist es !
>
> Aber nochmal zu meinem Verständnis:
> Ich habe die alternierende harmonische Reihe; die ist
> nicht absolut konvergent, konvergiert aber gegen ln(2).
> Jetzt ist es doch aber so, dass ich die einzelnen Glieder
> der Reihe umordnen kann. Aber da die Reihenfolge der
> Summation egal ist (Kommutativgesetz), so muss doch auch
> wenn ich das umordne gegen ln(2) konvergieren?!
Das ist der Knackpunkt ! Die Reihenfolge der Summation ist eben bei unendlichen Reihen im allgemeinen nicht egal ( im gegensatz zu endlichen Reihen)
FRED
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> Ich hoffe ihr versteht mein Gedankenproblem.
>
> Gruß PHANTOMIAS
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