Prim. Elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Di 22.01.2008 | | Autor: | Caroline |
Hallo liebe Forumuser,
ich habe eine Aufgab ein Algebra, bei der ich keine Ahnung habe wie die gehen soll, hoffe auf einen Ansatz bzw. Weg wie ich herangehen soll...
p Primzahl. Für n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] pr(p^{n}) [/mm] Anzahl der primitiven Elemente von [mm] \IF_{p^{n}}, [/mm] also derjenigen Elemente, die in keinem echten Teilkörper enthalten sind.
Zeigen sie:
a) [mm] F_{p^{n_{1}}} \le \IF_{p^{n_{2}}} [/mm] genau dann, wenn [mm] n_{1} [/mm] | [mm] n_{2}
[/mm]
b) Es ist pr(p) = p und | [mm] F_{p^{n}} [/mm] | = [mm] \summe_{k|n}pr(p^{k}).
[/mm]
c) Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] pr(p^{n}) [/mm] > 0
Folgern Sie hieraus den Satz vom primitiven Element für endl. Körper.
So, ich hoffe mir kann jmd. einen Ansatz für die einzelnen oder mind. 1 Teilaufgabe geben, wenn ich vllt. einen Ansatz habe, kann ich die anderen vllt. auch machen, wäre echt nett, ich komme näml. nicht weiter, egal was ich mir überlege :-(
Vielen Dank und LG
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Mi 23.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Caro
> ich habe eine Aufgab ein Algebra, bei der ich keine Ahnung
> habe wie die gehen soll, hoffe auf einen Ansatz bzw. Weg
> wie ich herangehen soll...
>
> p Primzahl. Für n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]pr(p^{n})[/mm] Anzahl der
> primitiven Elemente von [mm]\IF_{p^{n}},[/mm] also derjenigen
> Elemente, die in keinem echten Teilkörper enthalten sind.
>
> Zeigen sie:
>
> a) [mm]F_{p^{n_{1}}} \le \IF_{p^{n_{2}}}[/mm] genau dann, wenn [mm]n_{1}[/mm]
> | [mm]n_{2}[/mm]
Zeige: wenn [mm] $n_1$ [/mm] ein Teiler von [mm] $n_2$ [/mm] ist, dann ist [mm] $x^{p^{n_1}} [/mm] - x$ ein Teiler von [mm] $x^{p^{n_2}} [/mm] - x$. Was folgt daraus? (Wie sind die [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] denn definiert bzw. konstruiert?)
Umgekehrt: Wenn [mm] $\IF_{p^{n_1}} \subseteq \IF_{p^{n_2}}$ [/mm] gilt, dann muss ja [mm] $p^{n_1} [/mm] - 1$ ein Teiler von [mm] $p^{n_2} [/mm] - 1$ sein. Berechne doch mal den ggT mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, d.h. berechne $t := [mm] p^{n_2} [/mm] - 1$ modulo [mm] $p^{n_1} [/mm] - 1$. Da der ggT gerade [mm] $p^{n_1} [/mm] - 1$ sein muss, muss $t$ modulo [mm] $p^{n-1} [/mm] - 1$ gleich 0 sein. Aber was gilt dann fuer [mm] $n_2$? [/mm] (Hinweis: schreibe [mm] $n_2 [/mm] = q [mm] n_1 [/mm] + r$ mit $q, r [mm] \in \IZ$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] r < [mm] n_1$.)
[/mm]
> b) Es ist pr(p) = p und | [mm]F_{p^{n}}[/mm] | =
> [mm]\summe_{k|n}pr(p^{k}).[/mm]
Zu $pr(p) = p$: Welche Unterkoerper hat denn [mm] $\IF_p$?
[/mm]
Zu der Formel: Zeige diese per (starker) Induktion nach $n$. Fuer ein $n$ ueberleg dir, welche Unterkoerper [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] hat und wie diese ineinander enthalten sind. (Benutze a).)
> c) Für alle n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]pr(p^{n})[/mm] > 0
Wenn das nicht gelten wuerde, kannst du dann mit der Formel in Teil b) einen Widerspruch kreieren?
Oder ein anderer Ansatz: welche Unterkoerper hat [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] und wie sind diese ineinander enthalten (das solltest du seit b) eh schon wissen)? Wenn du das herausgefunden hast, hast du sofort die Antwort fuer c).
> Folgern Sie hieraus den Satz vom primitiven Element für
> endl. Körper.
Was besagt denn der Satz, d.h. was musst du zeigen? Was koennte die Aussage mit dem obigen zu tun haben?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Caroline |
Hallo,
danke für die Antwort...
Ist [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] nicht allg. der Zerfällungskörper von [mm] X^{p^{n}} [/mm] X über [mm] \IF_{p}?
[/mm]
Das heißt, wenn ich zeige, dass [mm] X^{p^{n_{1}}} [/mm] X ein Teiler von [mm] X^{p^{n_{2}}} [/mm] X ist, heißt dies auch, automatisch, dass der erste Zerfällungskörper in dem 2. enthalten ist? Klingt logisch  ich werde es dann gleich probieren...
Also [mm] \IF_{p} [/mm] ist ja praktisch [mm] \IZ/p [/mm] also ein Körper mit p Elementen 0, 1, 2,...p-1
Ein primitives Element ist ja nun in keinem echten Teilkörper enthalten, das heißt, es gibt ja nur den kompletten Körper und den trivialen Körper, also sin ja p-1 Elemente primitiv, ich komme nicht auf die p. Heißt dies, dass auch 0 primitiv ist? Obwohl es ja in dem echten trivialen Teilkörper vorkommt... Wie sieht es da aus, ist 0 primitiv also wahrsch. aber wie kann ich da begründen?
Ist eigentlich der triviale Körper ein Körper, also mmh wartet mal ist nicht die Anforderung an Körper, dass sie die 1 enthalten? Also im trivialen ist ja 0 = 1, aber ist {0} überhaupt dann Teilkörper, weil er ja nicht die 1 vom Körper enthält, sondern eine private 1? Das könnte des rätsels lösung sein  wie trivial, dass ich da hängen geblieben bin, ich hoffe das ist die richtige lösung
Okay, vielen dank, ich hoffe meine überlegungen sind nun richtig, dann kann ich endl. Weitermachen
DANKE
LG
Caro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 23.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke für die Antwort...
>
> Ist [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] nicht allg. der Zerfällungskörper von
> [mm]X^{p^{n}}[/mm] X über [mm]\IF_{p}?[/mm]
> Das heißt, wenn ich zeige, dass [mm]X^{p^{n_{1}}}[/mm] X ein
> Teiler von [mm]X^{p^{n_{2}}}[/mm] X ist, heißt dies auch,
> automatisch, dass der erste Zerfällungskörper in dem 2.
> enthalten ist? Klingt logisch
Genau so ist es :)
> Also [mm]\IF_{p}[/mm] ist ja praktisch [mm]\IZ/p[/mm] also ein Körper mit p
> Elementen 0, 1, 2,...p-1
> Ein primitives Element ist ja nun in keinem echten
> Teilkörper enthalten, das heißt, es gibt ja nur den
> kompletten Körper und den trivialen Körper,
Was ist denn der ``triviale Koerper''? Etwa [mm] $\{ 0 \}$? [/mm] Das ist aber gar kein Koerper...
> also sin ja p-1
> Elemente primitiv, ich komme nicht auf die p. Heißt dies,
> dass auch 0 primitiv ist? Obwohl es ja in dem echten
> trivialen Teilkörper vorkommt... Wie sieht es da aus, ist 0
> primitiv also wahrsch. aber wie kann ich da begründen?
>
> Ist eigentlich der triviale Körper ein Körper, also mmh
> wartet mal ist nicht die Anforderung an Körper, dass sie
> die 1 enthalten? Also im trivialen ist ja 0 = 1, aber ist
> {0} überhaupt dann Teilkörper, weil er ja nicht die 1 vom
> Körper enthält, sondern eine private 1? Das könnte des
> rätsels lösung sein wie trivial, dass ich da hängen
> geblieben bin, ich hoffe das ist die richtige lösung
Genau, das ist des Raetsels Loesung ;)
> Okay, vielen dank, ich hoffe meine überlegungen sind nun
> richtig, dann kann ich endl. Weitermachen
>
> DANKE
Bitte!
LG Felix
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