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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Nisse |
| Aufgabe | | Beweise oder widerlege: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form [mm]a^3+b^3, \quad a,b \in \IN[/mm]. |
Moin,
ich werde in den nächsten Tagen das Forum mit Zahlentheorie-Fragen fluten. Ich sitze in einem Intensivkurs zur Examensvorbereitung und muss in einer Woche 25 Aufgaben vorrechnen können (und sämtliche ZT-Theorie können). Mein Problem ist, dass gerade ZT-Probleme so oft von einer Lösungsidee abhängen...
Zu dieser Aufgabe beispielsweise habe ich überhaupt keinen Ansatz. Ich habe in der Theorie keinen Satz/Trick gefunden, der etwas über kubische Zerlegungen sagt.
Es würde mich überraschen, wenn es unendliche viele dieser Primzahlen gäbe, da die Kubikzahlen so weit gestreut sind. Ich habe ein paar kleine Primzahlen getestet und nur für 2=1³+1³ eine Zerlegung gefunden.
Kann mich jemand in die richtige Richtung stubsen?
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Hallo nisse,
> Beweise oder widerlege: Es gibt unendlich viele Primzahlen
> der Form [mm]a^3+b^3, \quad a,b \in \IN[/mm].
>
> ich werde in den nächsten Tagen das Forum mit
> Zahlentheorie-Fragen fluten.
Äh. Ich freu mich drauf. 
> Ich sitze in einem
> Intensivkurs zur Examensvorbereitung und muss in einer
> Woche 25 Aufgaben vorrechnen können (und sämtliche
> ZT-Theorie können). Mein Problem ist, dass gerade
> ZT-Probleme so oft von einer Lösungsidee abhängen...
Wohl wahr. Und nicht jede Lösungsidee stammt auch aus der Zahlentheorie.
> Zu dieser Aufgabe beispielsweise habe ich überhaupt keinen
> Ansatz. Ich habe in der Theorie keinen Satz/Trick gefunden,
> der etwas über kubische Zerlegungen sagt.
Hier ist eine einfache Betrachtung von Polynomen gefragt. Für n=2k-1 (dass [mm] n,k\in\IN [/mm] ist, dürfte klar sein) gilt: [mm] (a+b)|a^n+b^n
[/mm]
Das ist hier so allgemein gar nicht nötig. Es genügt [mm] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
[/mm]
> Es würde mich überraschen, wenn es unendliche viele
> dieser Primzahlen gäbe, da die Kubikzahlen so weit
> gestreut sind.
Diese Intuition solltest Du Dir in der Zahlentheorie lieber abgewöhnen. Vielleicht sind die Lösung einfach noch weiter gestreut. Als Auslöser für einen gewissen Argwohn mag die Einschätzung aber hilfreich sein.
> Ich habe ein paar kleine Primzahlen getestet
> und nur für 2=1³+1³ eine Zerlegung gefunden.
Probier lieber ein paar kleine a,b. Da hast Du schneller mehr Anschauungsmaterial. Tatsächlich ist es ja so, dass [mm] a^2-ab+b^2=1 [/mm] sein muss. Für welche a,b ist das erfüllt?
> Kann mich jemand in die richtige Richtung stubsen?
Ich hoffe, der Stupser war heftig genug...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:38 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Nisse |
> Hallo nisse,
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> > Es würde mich überraschen, wenn es unendliche viele
> > dieser Primzahlen gäbe, da die Kubikzahlen so weit
> > gestreut sind.
>
> Diese Intuition solltest Du Dir in der Zahlentheorie lieber
> abgewöhnen. Vielleicht sind die Lösung einfach noch
> weiter gestreut. Als Auslöser für einen gewissen Argwohn
> mag die Einschätzung aber hilfreich sein.
Ich halte mathematische Intuition für ein ziemlich hohes Gut, dass sich leider selbst in der Uni kaum vermitteln lässt. Daher trainiere ich es gerne. Aber natürlich würde ich mich nie darauf verlassen. Dafür sind schließlich Beweise da.
> > Kann mich jemand in die richtige Richtung stubsen?
>
> Ich hoffe, der Stupser war heftig genug...
Ja, danke, die Polynom-Zerlegung war genau das, was ich brauchte!
Hier ist jetzt meine Lösung:
Sei [mm] $p=a^3+b^3$ [/mm] prim. Sei o.E [mm] $a\geq [/mm] b$.
Betrachte [mm] $a^3+b^3 [/mm] = [mm] (a+b)(a^2-ab+b^2)$. [/mm] Da p prim ist, muss entweder $(a+b)$ oder [mm] $(a^2-ab+b^2)$ [/mm] eine Einheit sein. Da $(a+b)>1$ ist, kann $(a+b)$ keine Einheit sein. Da $p$ und $(a+b)$ positiv sind, muss auch $ [mm] (a^2-ab+b^2) [/mm] $ positiv sein. Also muss $ [mm] (a^2-ab+b^2) [/mm] $ eine positive Einheit sein, also: [mm] $a^2-ab+b^2=1$
[/mm]
(i) Sei $b=1$. Dann gilt [mm] $1=a^2-ab+b^2=a^2-a+1 \quad\Leftrightarrow\quad 0=a^2-a \quad\Leftrightarrow\quad [/mm] 0=a(a-1)$. Da [mm] \IZ [/mm] nullteilerfrei und [mm] $a\neq [/mm] 0$, muss $(a-1)=0$, also $a=1$ gelten.
(ii) Sei $b>1$. Dann gilt [mm] $1=a^2-ab+b^2 \geq a^2-aa+b^2= b^2>1$. [/mm] Dies ist ein Widerspruch.
Es kommt also nur Fall (i) vor.
Es gibt also nur eine Primzahl der gesuchten Form: [mm] $2=1^3^+1^3$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo nisse,
> >
> > > Es würde mich überraschen, wenn es unendliche viele
> > > dieser Primzahlen gäbe, da die Kubikzahlen so weit
> > > gestreut sind.
> >
> > Diese Intuition solltest Du Dir in der Zahlentheorie lieber
> > abgewöhnen. Vielleicht sind die Lösung einfach noch
> > weiter gestreut. Als Auslöser für einen gewissen Argwohn
> > mag die Einschätzung aber hilfreich sein.
>
> Ich halte mathematische Intuition für ein ziemlich hohes
> Gut, dass sich leider selbst in der Uni kaum vermitteln
> lässt. Daher trainiere ich es gerne. Aber natürlich
> würde ich mich nie darauf verlassen. Dafür sind
> schließlich Beweise da.
>
> > > Kann mich jemand in die richtige Richtung stubsen?
> >
> > Ich hoffe, der Stupser war heftig genug...
>
> Ja, danke, die Polynom-Zerlegung war genau das, was ich
> brauchte!
>
> Hier ist jetzt meine Lösung:
>
> Sei [mm]p=a^3+b^3[/mm] prim. Sei o.E [mm]a\geq b[/mm].
>
> Betrachte [mm]a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)[/mm]. Da p prim ist, muss
> entweder [mm](a+b)[/mm] oder [mm](a^2-ab+b^2)[/mm] eine Einheit sein. Da
> [mm](a+b)>1[/mm] ist, kann [mm](a+b)[/mm] keine Einheit sein. Da [mm]p[/mm] und [mm](a+b)[/mm]
> positiv sind, muss auch [mm](a^2-ab+b^2)[/mm] positiv sein. Also
> muss [mm](a^2-ab+b^2)[/mm] eine positive Einheit sein, also:
> [mm]a^2-ab+b^2=1[/mm]
>
> (i) Sei [mm]b=1[/mm]. Dann gilt [mm]1=a^2-ab+b^2=a^2-a+1 \quad\Leftrightarrow\quad 0=a^2-a \quad\Leftrightarrow\quad 0=a(a-1)[/mm].
> Da [mm]\IZ[/mm] nullteilerfrei und [mm]a\neq 0[/mm], muss [mm](a-1)=0[/mm], also [mm]a=1[/mm]
> gelten.
>
> (ii) Sei [mm]b>1[/mm]. Dann gilt [mm]1=a^2-ab+b^2 \geq a^2-aa+b^2= b^2>1[/mm].
> Dies ist ein Widerspruch.
>
> Es kommt also nur Fall (i) vor.
>
> Es gibt also nur eine Primzahl der gesuchten Form:
> [mm]2=1^3^+1^3[/mm].
>
>
Alles bestens,
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Noch 2 Bemerkungen:
1. Du schreibst oben: " Mein Problem ist, dass gerade ZT-Probleme so oft von einer Lösungsidee abhängen... "
Wieso gerade ZT-Probleme ? In der (Hochschul-)Mathematik sind auf jedem Gebiet Ideen gefragt.
2. Ab " $ [mm] a^2-ab+b^2=1 [/mm] $" kannst Du etwas einfacher und eleganter argumentieren:
$0 [mm] \le (a-b)^2 [/mm] = 1-ab$.
Damit ist ab [mm] \le [/mm] 1 und somit ist a=b=1.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Nisse |
> 1. Du schreibst oben: " Mein Problem ist, dass gerade
> ZT-Probleme so oft von einer Lösungsidee abhängen... "
>
> Wieso gerade ZT-Probleme ? In der (Hochschul-)Mathematik
> sind auf jedem Gebiet Ideen gefragt.
Ja, aber in der ZT sind die Lösungsideen oft sehr obskur.
Damit meine ich die oben schon diskutierte Intuition. Einfaches Beispiel: Wenn ich etwa eine Aufgabe sehe, die mit "Beweisen Sie folgende Gleichheit für alle $n [mm] \in\IN$" [/mm] anfängt, dann habe ich direkt den Ansatz, es mal mit vollständiger Induktion zu probieren.
In der ZT haben solche Strategien viel seltener Erfolg.
Oder so kommt es mir zumindest vor. Hm, vielleicht liegt es ja auch daran, dass mir ein "Blick für ZT" fehlt... Aber ich habe ja Euch! ;-]
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