Prime Restklasse < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl, n [mm] \in \IN. [/mm] Zeige dass die Gruppe [mm] $(\IZ_{p^{n}})^{\ast}$ [/mm] der Einheiten von [mm] (\IZ_{p^{n}}), [/mm] zyklisch ist. |
zunächst einmal zu obiger Notation.
Das soll "p hoch n" heißen, leider habe ich das nicht so ganz hingekriegt.
Edit: Aufgabentext ausgebessert, schachuzipus
Setze Indizes, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern
Zu Aufgabe:
Ich konnte nicht direkt zeigen, dass die Gruppe zyklisch sein muss.
Deshalb habe ich versucht die Elemente zu bestimmen:
Naja ich weis glaube ich mittlerweile, wie diese Gruppe der Einheiten aussieht.
und zwar gilt [mm] $\overline{x} \in (\IZ_{p^{n}})^{\ast} [/mm] , falls [mm] ggT(x,p^{n})=1.
[/mm]
Somit sind alle vielfachen von p nicht in der Einheitengruppe.
Nur wie beweist man das genau? Ich schreibe mal meine Gedanken auf, bis zu dem Punkt an dem ich nicht mehr vorankomme:
Sei also [mm] $\overline{x} \in (\IZ_{p^{n}})$ [/mm] mit [mm] $ggT(x,p^{n})\not= [/mm] 1$
Angenommen [mm] $\overline{x} \in (\IZ_{p^{n}})^{\ast}$ [/mm]
d.h. es gibt [mm] $\overline{y} \in (\IZ_{p^{n}})$ [/mm] , s.d. [mm] \overline{x} [/mm] * [mm] \overline{y} [/mm] = [mm] \overline{1}
[/mm]
Sei nun [mm] x_1 \in \overline{x} [/mm] und [mm] y_1 \in \overline{y} [/mm] gegeben mit
[mm] x_1=a*p^{n}+x [/mm] und [mm] y_1=b*p^{n}+y [/mm] , a,b [mm] \in \IZ [/mm] beliebig.
[mm] \Rightarrow x_1*y_1=(a*p^{n}+x)*(b*p^{n}+y)=(a*b*p^{n}+a*y+b*x)*p^{n} [/mm] +x*y
wegen [mm] (a*b*p^{n}+a*y+b*x)*p^{n} \in \overline{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x*y [mm] \in \overline{1}, [/mm] d.h. es gibt q [mm] \in \IZ [/mm] ,s.d. [mm] x*y=q*p^n+1
[/mm]
so bis hierhin alles ganz einfach, nur wo entsteht nun der Widerspruch??
warum kann [mm] x*y=q*p^{n}+1 [/mm] nicht sein? wäre super wenn mir jemand einen Tipp geben könnte
Grüße
|
|
| |
|
Hallo raubkaetzchen,
da entsteht kein Widerspruch. Du gibst ja schon vor, dass [mm] \overline{x} [/mm] und [mm] \overline{y} [/mm] zueinander inverse Restklassen sind.
Was Du aber zeigen willst, ist doch dass alle Restklassen [mm] \overline{cp} [/mm] nicht invertierbar sind. Dazu hast Du verschiedene Möglichkeiten. Du kannst z.B. zeigen, dass die kleinste Restklasse, in die ein Vielfaches von [mm] x\in\{\overline{cp}\} [/mm] fallen kann, [mm] \overline{p} [/mm] ist. Oder, einfacher, dass jede Restklasse, in die ein Vielfaches von x fällt, die Form [mm] \overline{dp} [/mm] mit [mm] d\in\IN_0 [/mm] und [mm] d\le p^{n-1} [/mm] hat.
Zur Notation im Formeleditor - [mm] \IZ_{p^n} [/mm] geht so: \IZ_{p^n}
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Do 24.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei p eine Primzahl, n [mm]\in \IN.[/mm] Zeige dass die Gruppe
> [mm](\IZ_{p^{n}})^{\ast}[/mm] der Einheiten von [mm](\IZ_{p^{n}}),[/mm]
> zyklisch ist.
Die Aussage stimmt nicht; siehe z.B. $p = 2$ und $n = 3$, also [mm] $p^n [/mm] = 8$. Dann ist die Einheitengruppe isomorph zu [mm] $\IZ_2 \times \IZ_2$.
[/mm]
Fehlt hier eine Voraussetzung wie $p [mm] \neq [/mm] 2$?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ja du hast recht!
Diese Aufgabe ist so nicht lösbar. Die Aufgabenstellung wird wahrscheinlich noch korrigiert. Falls dies geschehen sollte teile ich es euch mit.
Vielen Dank für eure Hilfe
|
|
|
|
