Primelement < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Fr 27.01.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | Es sei [mm] 2\in\IZ\wurzel{-5}
[/mm]
Man beweise, ob 2 Primelent in [mm] \IZ\wurzel{-5} [/mm] ist.
|
Zunächst erstaml die Definition:
Sei R ein Ring, a [mm] \in [/mm] R, es heißt
a ein Primelement, falls aus a|bc folgt, dass a|b oder a|c.
Beweis:
6 = (1 + [mm] \sqrt{-5}) [/mm] (1 - [mm] \sqrt{-5})
[/mm]
nun ist 2|6, wäre 2 Primelement, so müsste [mm] 2|(1+\sqrt{-5}) [/mm] oder [mm] 2|(1-\sqrt{-5})
[/mm]
gelten, was offensichtlich falsch ist.
Also ist 2 nicht Primelement
Meine Frage ist, wie man auf folgende Zeile kommt:
6 = (1 + [mm] \sqrt{-5})(1 [/mm] - [mm] \sqrt{-5})
[/mm]
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen.
Danke im voraus.
|
|
| |
|
Hallo Cloe,
diesen Beweis würde ich einen Standard-Beweis nennen. Man kommt auf die fragliche Zeile, weil sich irgendein schlauer Mensch das sich mal so gedacht hat.
Hier geht es darum, dass man im Ring [mm] $\IZ[\sqrt{-n}]$ [/mm] für gewisse $n$ die Zahl $1+n$ das Produkt aus 2 und einer anderen Zahl p ist, wobei p in [mm] $\IZ$ [/mm] eine Primzahl ist. Das ist z.B. für $n=5$, $n=13$ oder $n=37$ der Fall.
Dann gibt es in [mm] $\IZ[\sqrt{-n}]$ [/mm] zwei unterschiedliche Faktorisierungen von $1+n$. Einerseits gilt
$1+n=2p$
und andererseits
[mm] $1+n$=$1-(\sqrt{-n})^2$=$(1+\sqrt{-n})(1-\sqrt{-n})$
[/mm]
aufgrund der dritten binomischen Formel.
Man zeigt dadurch, dass die Zahl 2 (und auch die Zahl p) keinen der Faktoren in der zweiten Faktorisierung teilt, so dass sie kein Primelement ist. Der Ring [mm] $\IZ[\sqrt{-n}]$ [/mm] ist in diesem Fall speziell darauf zugeschnitten, dass man diese zweideutige Faktorisierung von $1+n$ hat. Die Frage ist also vielmehr, welche Zahl in diesem Ring muss ich betrachten, damit ich eine konventionelle und eine neuartige Zerlegung in Faktoren bekomme.
Hugo
PS: Du bist doch jetzt schon über ein Jahr im MatheRaum. Es wäre sehr nett, wenn du zumindest einige Details über deine Person in deinem Profil eintragen würdest; zum Beispiel wäre es hilfreich zu wissen, was du studierst oder beruflich tust und wie alt du ungefähr bist.
|
|
|
|
