Primelement im ZPE-Ring < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich muss einen Beweis nachvollziehen und bekomme den Schluss irgendwie nicht hin. Die Aussage ist: Sei R ZPE-Ring (oder faktorieller Ring) und r [mm] \in [/mm] R. Dann gilt: r ist unzerlegbar [mm] \Rightarrow [/mm] r ist Primelement.
Beweis: Sei r unzerlegbar. Gelte r|a*b, etwa r*c=a*b. In der Zerlegung von a*b in ein Produkt unzerlegbarer Elemente tritt nach der Definition eines ZPE-Ringes ein zu r assoziierter Faktor auf.
Bis dahin verstehe ich alles. Aber nun folgt der Satz: Dies ist dann auch der Fall bei einem Faktoren a oder b, etwa bei b. Dann folgt r|b.
Was soll dieses "dies ist dann auch der Fall ..." bedeuten? KAnn mir das jemand veranschaulichen oder mit einem zusätzlichen Satz erklären?
Falls euch irgendeine meiner Definitionen fehlt, dann sagt einfach Bescheid und ich schiebe sie nach. Danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Fr 09.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich muss einen Beweis nachvollziehen und bekomme den
> Schluss irgendwie nicht hin. Die Aussage ist: Sei R
> ZPE-Ring (oder faktorieller Ring) und r [mm]\in[/mm] R. Dann gilt: r
> ist unzerlegbar [mm]\Rightarrow[/mm] r ist Primelement.
> Beweis: Sei r unzerlegbar. Gelte r|a*b, etwa r*c=a*b. In
> der Zerlegung von a*b in ein Produkt unzerlegbarer Elemente
> tritt nach der Definition eines ZPE-Ringes ein zu r
> assoziierter Faktor auf.
> Bis dahin verstehe ich alles. Aber nun folgt der Satz:
> Dies ist dann auch der Fall bei einem Faktoren a oder b,
> etwa bei b. Dann folgt r|b.
Genau.
> Was soll dieses "dies ist dann auch der Fall ..."
Nun: auf der linken Seite hast du eine Zerlegung in irreduzible Elemente, auf der rechten auch. Auf der linken Seite kommt $r$ vor. Nun ist die Zerlegung in irreduzible Elemente in ZPE-Ringen eindeutig (bis auf Assoziiertheit). Also muss auf der rechten Seite auch ein irreduzibles Element stehen, welches assoziiert zu $r$ ist.
LG Felix
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Dass heißt r ist assoziiert zu b und deshalb auch ein Teiler von b?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Sa 10.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Dass heißt r ist assoziiert zu b und deshalb auch ein
> Teiler von b?
Nein: $r$ ist assoziiert zu einem irreduziblen Teiler von $b$, und ist somit ebenfalls ein Teiler von $b$.
LG Felix
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