Primfaktorzerlegung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zerlegen Sie 36-37i im Ring [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] in ein Produkt von Primelementen. |
Hallo,
ich dachte eigentlich ich hätte das verstanden, aber komme auf keine Lösung. Bisher habe ich das gemacht:
[mm] N(36-37i)=36^2+37^2=3665=5*13*41
[/mm]
x Primfaktor, d.h. x teilt i) 5 , ii) 13 oder iii) 41
i) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{\epsilon (1+2i), \epsilon(1-2i)| \epsilon Einheit\}
[/mm]
ii) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{\epsilon (2+3i), \epsilon(2-3i)| \epsilon Einheit\}
[/mm]
iii) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{\epsilon (4+5i), \epsilon(4-5i)| \epsilon Einheit\}
[/mm]
So nun müsste doch eigentlich das Produkt von (-i) und je einem x aus i), ii) und iii) der Primfaktorzerlegung von 36-37i entsprechen, oder? Tuts aber irgendwie nicht :-(
Wäre super, wenn mir jemand sagen könnte, wo der Fehler liegt.
Gruß
congo
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| Aufgabe | | Zerlegen Sie 36-37i im Ring [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] in ein Produkt von Primelementen. |
Hallo,
ich dachte eigentlich ich hätte das verstanden, aber komme auf keine Lösung. Bisher habe ich das gemacht:
[mm] N(36-37i)=36^2+37^2=3665=5*13*41 [/mm]
x Primfaktor, d.h. x teilt i) 5 , ii) 13 oder iii) 41
i) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{\epsilon (1+2i), \epsilon(1-2i)| \epsilon Einheit\} [/mm]
ii) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{\epsilon (2+3i), \epsilon(2-3i)| \epsilon Einheit\} [/mm]
iii) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{\epsilon (4+5i), \epsilon(4-5i)| \epsilon Einheit\} [/mm]
So nun müsste doch eigentlich das Produkt von (-i) und je einem x aus i), ii) und iii) der Primfaktorzerlegung von 36-37i entsprechen, oder? Tuts aber irgendwie nicht :-(
Wäre super, wenn mir jemand sagen könnte, wo der Fehler liegt.
Gruß
congo
Hallo,
bei i) müsstest du neben 1+2i und 1-2i auch noch 2+i und 2-i
als mögliche Primfaktoren in Betracht ziehen ! Analog bei ii) und iii) .
LG Al-Chw.
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Danke für Deine Antwort!
> Hallo,
> bei i) müsstest du neben 1+2i und 1-2i auch noch 2+i und
> 2-i
> als mögliche Primfaktoren in Betracht ziehen ! Analog bei
> ii) und iii) .
Und dann alle möglichen Produkte durchprobieren? Geht das nicht schneller? Da würde ich doch in einer Klausur ewig Zeit mit verbringen...oder gibts da ne Regel welches Produkt zum Ziel führt?
Gruß
congo
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> Danke für Deine Antwort!
>
> > Hallo,
> > bei i) müsstest du neben 1+2i und 1-2i auch noch 2+i
> und
> > 2-i
> > als mögliche Primfaktoren in Betracht ziehen ! Analog
> bei
> > ii) und iii) .
>
> Und dann alle möglichen Produkte durchprobieren? Geht das
> nicht schneller? Da würde ich doch in einer Klausur ewig
> Zeit mit verbringen...oder gibts da ne Regel welches
> Produkt zum Ziel führt?
Naja, ich selber habe mir rasch ein kleines Programm geschrieben,
das mir alle Teiler von 36-37i gesucht hat. Mit etwas probieren habe
ich dann darunter drei passende Primfaktoren gesucht ... Mit meiner
"Methode" wäre ich also in einem Test auch ziemlich aufgeschmissen
gewesen ...
LG Al-Chw.
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Ok, danke für deine Antwort! Wundere mich nur, weil das eine ehemalige Klausuraufgabe ist...also falls noch jemand anders einen Hinweis auf einen schnelleren Lösungsweg hat, wäre ich dankbar 
Gruß
congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mo 19.07.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ok, danke für deine Antwort! Wundere mich nur, weil das
> eine ehemalige Klausuraufgabe ist...also falls noch jemand
> anders einen Hinweis auf einen schnelleren Lösungsweg hat,
> wäre ich dankbar
Deine Primfaktoren in [mm] \IZ [/mm] sind doch gottseidank alle [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4, und in der Vorlesung solltest du gelernt und bewiesen haben, wie die sich in [mm] \IZ[i] [/mm] verhalten.
Antwort: Sie zerlegen sich.
Das heißt aber, daß die gesuchte Primfaktorzerlegung aus 6 Primfaktoren besteht, nicht aus dreien, wie du anscheinend angenommen hast.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
wie sähe denn z.B. die Zerlegung des Faktors [mm] 3-2\,i [/mm] aus,
der nach deiner Angabe (falls ich die richtig verstanden habe)
noch nicht prim sein sollte ?
Der Betrag von [mm] \,3-2\,i\, [/mm] ist ja nicht 13 , sondern [mm] \sqrt{13} [/mm] !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 19.07.2010 | | Autor: | statler |
O Entschuldigung, die Hitze und das Alter, ich bin dehydriert.
> Hallo Dieter,
>
> wie sähe denn z.B. die Zerlegung des Faktors [mm]3-2\,i[/mm]
> aus,
> der nach deiner Angabe (falls ich die richtig verstanden
> habe)
> noch nicht prim sein sollte ?
>
> Der Betrag von [mm]\,3-2\,i\,[/mm] ist ja nicht 13 , sondern
> [mm]\sqrt{13}[/mm] !
Ich hatte die Zerlegung von 2665 (in der Frage falsch) im (Hinter-)Kopf, die ist natürlich (2+i)(2-i)(2+3i)(2-3i)(5+4i)(5-4i).
Sorry und Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo und Danke für Eure rege Beteiligung.
Ich habe nun die Primfaktorzerlegung:
(36-37i)=(-i)(2+i)(2+3i)(5-4i)
Allerdings nur durch rumprobieren, was mich echt ne Menge Zeit in der Klausur kosten würde....hab leider aus den Antworten noch nicht verstanden, obs da einen leichteren Weg zur Lösung gibt, oder nicht.
Gruß
congo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 20.07.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich habe nun die Primfaktorzerlegung:
>
> (36-37i)=(-i)(2+i)(2+3i)(5-4i)
>
> Allerdings nur durch rumprobieren, was mich echt ne Menge
> Zeit in der Klausur kosten würde....hab leider aus den
> Antworten noch nicht verstanden, obs da einen leichteren
> Weg zur Lösung gibt, oder nicht.
Trotz Hitze noch ein Versuch: Muß man wirklich so viel probieren? Deine Kandidaten hast du ja schnell gefunden. Um die Einheiten 1, -1, i, -i kümmerst du dich zuletzt (oder gar nicht). Dann der erste Versuch: (36-37i):(1+2i) geht leider nicht auf. Also muß (36-37i):(1-2i) aufgehen, gibt 22+7i. Jetzt (22+7i):(2+3i)=5-4i, Glück gehabt und fertig.
36-37i = (1-2i)(2+3i)(5-4i)
Fertig, weil die Zerlegung nur bis auf Einheiten eindeutig ist.
(Das war übrigens mein Weg.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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