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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:34 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | Es sei R = [mm] \IZ[i] [/mm] = [mm] \{a+bi:a,b \in \IZ\}.
[/mm]
Für jede der folgenden Wahlen des Hauptideals I sind folgende Fragen zu beantworten:
Ist R/I ein Integritätsring? Was ist |R/I|?
(a) I = (3)
(b) I = (5) |
Hallo :)
Ich habe die Lösungen zu dieser Aufgabe bereites, verstehe sie aber nicht und bitte euch daher um eure Hilfe.
Lösung von (a):
Es gilt 3 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4, weswegen sich 3 nicht als Summe zweier Quadrate schreiben lässt. Damit
ist (3) ein Primideal, womit [mm] \IZ[i]=(3) [/mm] nach Satz 2.2.3 (i) ein Integritätsring ist. Da [mm] \IZ[i] [/mm] laut
Übungen Euklidisch ist, ist es auch ein Hauptidealring, in welchem jedes vom Nullideal verschiedene
Primideal auch maximal ist. Damit ist nach Satz 2.2.3 (ii) [mm] \IZ[i]=(3) [/mm] sogar ein Körper,
der neun Elemente besitzt, und zwar [mm] \IZ[i]/(3) [/mm] = [mm] \{0,1,2,i,2i,i+1,i+2,2i+1,2i+2\}
[/mm]
Lösung von (b):
Wegen 5 = 4+1 = [mm] 4-i^{2} [/mm] = (2+i)*(2-i) ist das Hauptideal (5) kein Primideal. Daher ist R/I
wieder nach Satz 2.2.3 (i) kein Integritätsring, da er Nullteiler besitzt. Weiter gilt |R/I| = 25.
Was hat diese Kongruenz bei (a) mit dem Primideal zu tun? Ich sehe da leider überhaupt keinen Zusammenhang.
Und auch das [mm] \IZ[i]/(3) [/mm] = ... Ist das nicht eine Menge von Mengen? Wie kommt man denn da beispielsweise auf 1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Mi 29.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> Was hat diese Kongruenz bei (a) mit dem Primideal zu tun?
Ich nehme an, die Primzahlen in [mm]\IZ[i][/mm] wurden vorher so charaktisiert, oder? Die ergen dann Primideale (daher zu mindest auch der Name afaik).
> Und auch das [mm]\IZ[i]/(3)[/mm] = ... Ist das nicht eine Menge von Mengen? Wie kommt man denn da beispielsweise auf 1?
Naja, Repräsentatnen der Nebenklassen, halt etwas abgekürzt.
SEcki
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:59 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Sin777 |
Ich kann dir leider nicht folgen. Was meinst Du die Primzahlen wurden in [mm] \IZ[i] [/mm] so charakterisiert? Es ist ja zu zeigen, dass für a,b [mm] \in [/mm] R mit a*b [mm] \in [/mm] (3) folgt, dass a [mm] \in [/mm] R oder b [mm] \in [/mm] R.
Also: Wie kommt man denn nun hier darauf, dass (3) ein Primideal ist?
Vielen Dank :)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Sin777 |
Kann mir jemand erklären, warum (3) hier ein Primideal ist? Die Erklärung muss sich nicht an die gegebene Lösung halten :)
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Kann mir jemand erklären, warum (3) hier ein Primideal
> ist? Die Erklärung muss sich nicht an die gegebene Lösung
> halten :)
(3) ist genau dann ein Primideal, wenn 3 ein Primelement ist. Da der Ring faktoriell ist (sogar euklidisch), ist dies aequivalent dazu, dass 3 irreduzibel ist. Die Einheiten im Ring sind gerade die $x = a + b i$ mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$. Da die Funktion [mm]N : \IZ[i] \to \IN[/mm], $a + b i [mm] \mapsto a^2 [/mm] + [mm] b^2$ [/mm] multiplikativ ist, und da $N(3) = [mm] 3^2 [/mm] = 9$ ist, folgt daraus: 3 ist im Ring genau dann irreduzibel, wenn es kein $x$ im Ring gibt mit $N(x) = 3$. Oder anders gesagt: wenn man 3 nicht als Summe von zwei Quadraten schreiben kann.
Dass das nicht der Fall ist sieht man schnell. (Allgemein: ist $p$ eine Primzahl in [mm] $\IZ$ [/mm] mit $p [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \pmod{4}$, [/mm] so sieht man sofort, dass es kein $x$ im Ring mit $N(x) = p$ gibt, und somit $p$ im Ring [mm]\IZ[i][/mm] irreduzibel und somit prim ist.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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