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| Aufgabe | Sei I := [mm] 60\IZ. [/mm] Finden Sie ein Ideal J von Z, so dass J kein Primideal und I + J ein
maximales Ideal von Z ist. |
Hallo!
Ich komme hier nicht weiter.
Also ich weiß, dass [mm] \IZ [/mm] ein Hauptidealring ist, also ist jedes Primideal auch maximal.
Dh. ich muss ein J finden welches nicht maximal ist, jedoch muss I+J trotzdem maximal bzw dann auch prim sein?
Ist das richtig?
Danke
Lg
Natasha
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Di 09.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei I := [mm]60\IZ.[/mm] Finden Sie ein Ideal J von Z, so dass J
> kein Primideal und I + J ein
> maximales Ideal von Z ist.
> Hallo!
> Ich komme hier nicht weiter.
> Also ich weiß, dass [mm]\IZ[/mm] ein Hauptidealring ist, also ist
> jedes Primideal auch maximal.
> Dh. ich muss ein J finden welches nicht maximal ist,
> jedoch muss I+J trotzdem maximal bzw dann auch prim sein?
> Ist das richtig?
Zweimal: Ja.
Ein Tip zum Ansatz: Du weisst, dass $I$ und $J$ Hauptideale sind, also etwa [mm] $I=a\IZ$ [/mm] und [mm] $J=b\IZ$. [/mm] Ebenso $I+J$ ist ein Hauptideal: vielleicht $I+J= [mm] c\IZ$. [/mm] In der Vorlesung habt ihr bestimmt besprochen wie $a$, $b$ und auch $c$ zusammenhaengen.
> Danke
> Lg
> Natasha
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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Danke für deine schnelle Antwort!
Aber wie stehen denn a,b,c zueinander? man kann ja nicht einfach [mm] a\IZ +b\IZ =c\IZ [/mm] rechnen.
LG Natsha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Di 09.09.2014 | | Autor: | felixf |
Moin Natsha!
> Danke für deine schnelle Antwort!
> Aber wie stehen denn a,b,c zueinander? man kann ja nicht
> einfach [mm]a\IZ +b\IZ =c\IZ[/mm] rechnen.
Haengt davon ab was man mit "einfach rechnen" meint 
Ihr habt ziemlich sicher in der Vorlesung ein Resultat über Hauptideale (evtl. in Hauptidealbereichen oder in euklidischen Ringen). Dort wird auch stehen, wie man aus $a$ und $b$ ein solches $c$ mit $c [mm] \IZ [/mm] = a [mm] \IZ [/mm] + b [mm] \IZ$ [/mm] finden kann.
Schau doch mal genau nach.
LG Felix
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$ [mm] a\IZ+b\IZ=ggt(a,b)\IZ [/mm] $ ist das richtig?
Das ist das einzige was ich dazu gefunden habe.
Danke!!
Lg Natasha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]a\IZ+b\IZ=ggt(a,b)\IZ[/mm] ist das richtig?
> Das ist das einzige was ich dazu gefunden habe.
> Danke!!
> Lg Natasha
sieht doch gut aus.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Natscha89 |
Danke!!
Dann versuch ich das mal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke!!
> Dann versuch ich das mal.
vielleicht hilft Dir ja auch
![[]](/images/popup.gif) sowas (Seite 23)
[mm] $(\IZ,+,*)$ [/mm] ist ein Hauptidealring, ein Ideal [mm] $(p)\,$ [/mm] ist also genau dann ein Primideal,
wenn [mm] $p\,$ [/mm] prim ist, und das ist auch gleichbedeutend mit [mm] "$(p)\,$ [/mm] ist maximal".
(http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptidealring#Teilbarkeit)
(Edit: Man muss hier bei dem Nullideal aufpassen, welches prim, aber nicht
maximal ist! Siehe auch http://www.matheboard.de/archive/509548/thread.html.)
[mm] $I=60\IZ$ [/mm] ist also weder Prim noch maximal. Jetzt suchst Du $J=b [mm] \IZ$ [/mm] mit einem
(nicht primen) $b [mm] \in \IZ$ [/mm] so, dass
[mm] $d:=\ggT(a,b)$ [/mm] prim ist (damit [mm] $d\IZ$ [/mm] Primideal und damit maximal wird).
Die Aufgabe ist also eigentlich sehr leicht, Du kannst sie äquivalent umformulieren
mit:
"Sei [mm] $a:=60\,.$ [/mm] Wir suchen $b [mm] \in \IZ$ [/mm] nicht prim so, dass
[mm] $\ggT(a,b)$ [/mm] prim ist."
In der Form würdest Du sie in der Schule vorgestellt bekommen. 
Also: Die Verpackung ist komplexer als der Inhalt.
P.S. Wenn Du es Dir ganz einfach machen willst: Schreibe erst mal eine
Primfaktorzerlegung von [mm] $60\,$ [/mm] hin... (eine, weil es in [mm] $\IZ$ [/mm] durchaus nicht nur
die Einheit [mm] $1\,$ [/mm] gibt).
Gruß,
Marcel
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Also wäre mein J:= [mm] 27\IZ [/mm] müsste es funktionieren, da ggt(30,27)=3 Also ich [mm] I+J=3\IZ [/mm] richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Do 11.09.2014 | | Autor: | hippias |
$ggt(30,27)=3$ ist richtig.
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