Primitivwurzel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Man zeige: Es gibt keine Primitivwurzel modulo 8. |
Hallo,
ich muss praktisch zeigen: Es gibt kein m mit [mm] ord(\overline{m})=\varphi(8)=4
[/mm]
wobei [mm] \overline{m}\in (\mathbb{Z}/8,\cdot)^{\ast} [/mm] ist.
Aber das kann ich so schlecht machen, ich kann ja nicht alle Zahlen durchgehen. Wenn ich annehme, dass eine solche Primitivwurzel m existiert, kann ich dann irgendwo zu einem Widerspruch gelangen? Ich habe bisher noch keinen gefunden.
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Hallo Unk,
> Man zeige: Es gibt keine Primitivwurzel modulo 8.
> Hallo,
>
> ich muss praktisch zeigen: Es gibt kein m mit
> [mm]ord(\overline{m})=\varphi(8)=4[/mm]
> wobei [mm]\overline{m}\in (\mathbb{Z}/8,\cdot)^{\ast}[/mm] ist.
So ist es.
> Aber das kann ich so schlecht machen, ich kann ja nicht
> alle Zahlen durchgehen.
Stimmt, obwohl die Versuchung ja groß ist. Zeig es sicherheitshalber gleich [mm] \mod{2^{17}}, [/mm] da lässt die Versuchung etwas nach, weil dann ja sogar Excel versagt. Noch besser wäre es allgemein [mm] \mod{2^n} [/mm] für n>2, da hast Du gleich was fürs Leben.
> Wenn ich annehme, dass eine solche
> Primitivwurzel m existiert, kann ich dann irgendwo zu einem
> Widerspruch gelangen?
Unterscheide gerade und ungerade m.
> Ich habe bisher noch keinen gefunden.
Bei den geraden m solltest Du leicht weiterkommen. Bei den ungeraden schau Dir vielleicht noch an, was [mm] \mod{16} [/mm] und/oder [mm] \mod{32} [/mm] so passiert, dann kommst Du wahrscheinlich auch drauf.
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Unk |
Es müsste doch eigentlich auch reichen, wenn ich [mm] U(\mathbb{Z}/8) [/mm] betrachte, wobei das die Menge aller invertierbaren Elemente modulo 8 sein soll, also alle Elemente a, für die gilt ggT(a,8)=1. Wenn ich zeige, dass die Gruppe (also U bzgl Multiplikation) nicht zyklisch ist, weiß ich doch, dass es keine Primitivwurzel gibt, weil die ja ein erzeugendes Element ist oder?
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Hallo Unk,
> Es müsste doch eigentlich auch reichen, wenn ich
> [mm]U(\mathbb{Z}/8)[/mm] betrachte, wobei das die Menge aller
> invertierbaren Elemente modulo 8 sein soll, also alle
> Elemente a, für die gilt ggT(a,8)=1. Wenn ich zeige, dass
> die Gruppe (also U bzgl Multiplikation) nicht zyklisch ist,
> weiß ich doch, dass es keine Primitivwurzel gibt, weil die
> ja ein erzeugendes Element ist oder?
Ja, das ist alles vollkommen richtig.
lg
rev
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